高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)最全版

1、數(shù)學(xué)知識點總結(jié)引言仁課程內(nèi)容：必修課程由5個模塊組成：必修1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、無函數(shù)）必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。 必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、 數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時, 進(jìn)一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)

2、計等內(nèi)容。選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊組成。選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。選修12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)、框圖 系列2：由3個模塊組成。常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù) 計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。選修21：數(shù)學(xué)史選講。 信息安全與密碼。 球面上的幾何。對稱與群。歐拉公式與閉曲面分類。 三等分角與數(shù)域擴充。選修22： 選修23： 系列3：由6個專題組成。選修31： 選修32： 選修33： 選修34： 選修35： 選修36：幾何證明選講。矩陣與變換。 數(shù)列與差分。坐標(biāo)系與參

3、數(shù)方程。 不等式選講。初等數(shù)論初步。優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步。 統(tǒng)籌法與圖論初步。 風(fēng)險與決策。系列4：由10個專題組成。選修4一1： 選修4一2： 選修43： 選修44： 選修4一5： 選修4一6： 選修47: 選修48： 選修4一9： 選修410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)?？键c：重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù) 難點：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點：集合與簡易邏輯：集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)

4、列的應(yīng)用三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函 數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用平面向量：有關(guān)概念與初等運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及其應(yīng)用不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng) 用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng) 用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量(10) 排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項式定理及其應(yīng)用(11) 概率與統(tǒng)計：

5、概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布(12) 導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(13) 復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運算高中數(shù)學(xué)必修1知識點第一章集合與函數(shù)概念k1.12集合1.1.11集合的含義與表示(1) 集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2) 常用數(shù)集及其記法n表示自然數(shù)集，n*或n+表示正整數(shù)集，z表示整數(shù)集，0表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.(3) 集合與元素間的關(guān)系對彖a與集合m的關(guān)系是,或者agm ,兩者必居其一.(4) 集合的表示法 自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾? 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合. 描述法：兀|兀具有的性質(zhì),其中兀為集

6、合的代表元素. 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5) 集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做 空集(0)1.1.2集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集ab(或ba)a屮的任一元素都 屬于b(1) aca(2) 0 q a(3) 若 ayb 且 byc,則 ac(4) 若 ab 且 bga,則 a = b或真子集aub 工(或bo a)ae b,且b屮至 少冇一元素不屬于 a(1)0ua (a為非空子集)*(2)若 aub且 buc,則 aczc集合 相等a = ba川的任一元素都 屬于b, b中

7、的任 一元素都屬于a(1) acb(2) bca(7)已知集合a有n(n>)個元素，則它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它有2"-1個非空子集，它有2"-2非空真子集.1.1.3集合的基本運算(8)交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集a bx| xg a 且xe b(1) a a = a(2) a 0 = 0(3) a be aa bub并集a bx| xg a, mkxe b(1) a a = a(2) a 0 = a(3) a b o aa bqbgd補集xxeu,lx a1 a ©a) = 02 a ©a) =

8、/v u (a)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法不等式解集| x < a(a > 0)xa<x<ai x |> a(a > 0)xx<-ax> acuc + b<c,ax + b> c(c > 0)把ax + b看成一個整體，化成x<a ,i x |> a(a > 0)型不等式來求解(2) 一元二次不等式的解法判別式 >0a = 0a<01.2.1函數(shù)的概念(1) 函數(shù)的概念 設(shè)a、b是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合a屮任何一個數(shù)兀，在

9、集合b屮都有 唯一確定的數(shù)/(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合a , b以及a到b的對應(yīng)法則.f )叫做集合a到 3的一個函數(shù)，記作f：a b. 函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則. 只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2) 區(qū)間的概念及表示法 設(shè)是兩個實數(shù)，且ovb,滿足as兀wb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做«,&；滿足兀vb的 實數(shù)兀的集合叫做開區(qū)間，記做力)；滿足a<x<b,或a<x<b的實數(shù)兀的集合叫做半開半閉區(qū)間， 分別記做也力)，(a,® ；滿足兀n a q 衛(wèi)空，b的實數(shù)x的集合分別記做 a,+0

10、0), (a,+00), (-00,b, (-00, b).注意：對于集合xa<x<b與區(qū)i'可(a,b),前者d可以大于或等于b,而后者必須a<b,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).(3) 求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： /(x)是整式時，定義域是全體實數(shù). /(尢)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù). /(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合. 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.ji(§) y = tan x111，兀 h avr + (k w z). 2 零(

11、負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零. 若/(兀)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集. 對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(兀)的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù)fgm的定義域應(yīng)由不等式a s g(x) < b解出. 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論. 由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4) 求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小 (大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值

12、與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度 不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值. 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或 最值. 判別式法：若函數(shù)y =于(勸可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于尤的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=o，則在a(y)o時，由于兀，歹為實數(shù)，故必須有二戻(刃4°(y)c(y)n0,從而確定函數(shù)的值域或最值. 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值. 換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為

13、三角函數(shù)的最值問題. 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值. 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或兒何方法確定函數(shù)的值域或最值. 函數(shù)的單調(diào)性法.1.2.2函數(shù)的表示法(5) 函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對 應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6) 映射的概念 設(shè)a、3是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則對于集合a中任何一個元素，在集合3中都有唯一的 元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合a , b以及a到b的對應(yīng)法則/)

14、叫做集合a到b的映射，記 作f:ab 給定一個集合a到集合b的映射，且如果元素d和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素q的象，元素q叫做元素的原象.k1.32函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(1) 函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 單調(diào)性如果對于屬于定義域i內(nèi) 某個區(qū)間上的任意兩個 自變量的值xi、x2,當(dāng)x1< x2 時，都有 f(xl) <f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū) 間上是增函數(shù). i iyy=o)f(x|)/f(x2)(1) 利用定義(2) 利用已知函數(shù) 的單調(diào)性(3) 利用函數(shù)圖象 (在某個區(qū)間圖象上升為增)(4) 利用復(fù)合

15、函數(shù)0x：xlx如果對于屬于定義域i內(nèi) 某個區(qū)間上的任意兩個 自變量的值xi、x2,當(dāng)x1< x2 時,都有 f(xl) >f(x2), 那么就說f(x)在這個區(qū) 間上是減函數(shù). yy=f(x)f(x 1)(1) 利用定義(2) 利用已知函數(shù) 的單調(diào)性(3) 利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖 象下降為減)(4) 利用復(fù)合函數(shù)0x,x2x 在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù), 減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù). 對于復(fù)合函數(shù)y = fg(x),令u = g(x),若y = f(u)為增，u = g(x)為增，則y = fg(x)為增；若

16、y = /(«)為減，u = g(x)為減，則丁 = fg(x)為增;若歹=/(%)為增，u = g(x)為減,則y = fg(x)為減；若y = f(u)為減,u = g(x)為增，則y = fg(x)為減.(2) 打“ j”函數(shù)/*(%) = % + -(67>0)的圖象與性質(zhì)于分別在(一8,-松、jn+oo)上為增函數(shù)，分別在石,0)、(0,而上為減函數(shù).(3) 最大(小)值定義一般地，設(shè)函數(shù)y = /(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)m滿足：(1)對于任意的xg/,都有/(x) < m :(2)存在xog/,使得/(x0) = m.那么，我們稱m是函數(shù)/(x)的最大

17、值，記作fnx) = m . 一般地，設(shè)函數(shù)= /(%)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：(1)對于任意的xe! f都有f(x) > m:(2)存在x0 g / ,使得/(x0) = zn.那么，我們稱加是函數(shù)/(x)的最小值，記作(%) = m .1.3.2奇偶性(4) 函數(shù)的奇偶性 定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 奇偶性如果對于函數(shù)f（x）定義 域內(nèi)任意一個x,都有 f（ x）= f （x）,那么函數(shù) f（x）叫做奇函數(shù). y-a(a.f(a)zt（1）利用定義（要 先判斷定義域是否 關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖 象關(guān)于原點對稱）(-a. f (-a)o ax如

18、果對于函數(shù)f（x）定義 域內(nèi)任意一個x,都有 f（ x）=f（x）,那么函數(shù) f（x）叫做偶函數(shù). y(-a. f (-a)(a.f(a)（1）利用定義（要 先判斷定義域是否 關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖 象關(guān)于y軸對稱）a oax若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且在x = o處有定義，則/（0） = 0. 奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反. 在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函 數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).k補充知識函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點法作圖：

19、確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖彖.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例兩數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等窗 數(shù)的圖象. 平移變換y = /(兀)心0,左移刃個單位0,右移|川個單位>y = f(x + h) y = f(x)40 .上移r個單位rvo,下移ml個單位= /（兀屮 仲縮變換y = /(兀)osvl,伸y = fm>y = af(x) 對稱變換y = f(x)y = -f(x)y = f(x)ly = f(-x) = /（無）原點? = _/（兀）y = fm>y

20、= px)y = f(x)、，d去掉y軸左邊圖彖yj （兀丿 保留），軸右邊圖象，并作其關(guān)丁'軸對稱圖彖y = fm保留謝上方圖彖、v i f（ |將x軸卜-方圖象翻折上去'）t八兀丿i（2）識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圉、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值 域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式屮參數(shù)的關(guān)系.（3）用圖函數(shù)圖彖形彖地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了 “形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得 問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.第二章基本初等函數(shù)（i）k2.13指數(shù)函數(shù)2.1.1指數(shù)與指數(shù)幕的運算（1）根式

21、的概念 如果xn =a,ar.xr,n> ,且nwn那么兀叫做。的兀次方根當(dāng)是奇數(shù)時,q的斤次方根用符號亦表示；當(dāng)是偶數(shù)吋，正數(shù)d的正的次方根用符號咖表示，負(fù)的z?次方根用符號-亦表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有次方根.當(dāng)為偶數(shù) 式子礪叫做根式，這里叫做根指數(shù)，d叫做被開方數(shù).當(dāng)為奇數(shù)時，d為任意實數(shù);時，6z > 0 .(2)(3)根式的性質(zhì)： 廟y=a；當(dāng)為奇數(shù)時，歷 =a；當(dāng)/?為偶數(shù)時，=a=分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是:沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù), 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)-a(>0)(6f <0)新二歷（a>0

22、,m,nwny且九>1）. 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0.指數(shù)取相反數(shù)._巴 1巴 a =()" a(丄y” (a > 0 w w zv+，且/? > 1). 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 a ar as = ars (a > 0, r. s g r)(ar)s = ct (a > 0, r, s g r)(ab)r = arbr (a > 0, z? > 0,廠 w 7?)2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y二= /（g>0且gh1）叫做指數(shù)函數(shù)a > 10 < 6z < 1圖象定義域r值域(0, +8)

23、過定點圖象過定點（0,1）,即當(dāng)兀=0時，> =1.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在r上是增函數(shù)在/?上是減函數(shù)ax > 1 (兀0)ax < 1 (x>0)函數(shù)值的ax = (兀=0)ax = a = o)變化情況ax < 1 (x<0)ax > 1 (x < 0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.k2.23對數(shù)函數(shù)2. 2.1對數(shù)與對數(shù)運算（1）對數(shù)的定義 若6tv=w（d>0,且qh1）,則兀叫做以d為底n的對數(shù)，記作x = ogan,其中d叫做底數(shù)，n叫做真數(shù). 負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù). 對數(shù)式與指數(shù)式的

24、互化：x = log, n o ax = n（ci > 0, g工1, n > 0）（2）幾個重要的對數(shù)恒等式log“ 1 = 0, log“ q = 1，log“=h.（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：ign,即log10n；自然對數(shù)：inn,即logen （其中£ = 2.71828）.（4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,qhl,m>0,n>0,那么加法：log“ m + oga n = log“ (mn)數(shù)乘：nlog“ m = log“ mn (/? e r) 減洙 log-log = loga-滬“n = nog hmn =osam(b0jier)

25、換底公式：lo缶 n = 12s(z?>0,11/71)“blog” a2. 2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù) 名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù) y = oga x(a > 0且ghi）叫做對數(shù)函數(shù)a > 10<a<l圖象定義域(0, +8)值域r過定點圖彖過定點(1,0),即當(dāng)兀=1時，y = 0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0, +00)上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況log“x>0 (x> 1) logrt x = 0 (兀=1) log“ x < 0 (0 < x < 1)logvo (x> 1) logn

26、= 0 (x = l) loga 兀0 (0 < x < 1)d變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，d越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)=于(兀)的定義域為a ,值域為c,從式子y =于(兀)屮解出x,得式子x =(p(y).如果對于y在c中的任何一個值，通過式子x =兀在a中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x =(p(y)表示兀是y的函數(shù)，函數(shù)x =(p(y)叫做函數(shù)y = y(x)的反函數(shù)，記作x= fy)，習(xí)慣上改寫成y =.(7)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng) = /(x)中反解出x=/-,(y)； 將x =

27、fl(y)改寫成y = y1 (x)，并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù)y = /(x)與反函數(shù))=fx)的圖象關(guān)于直線y = x對稱. 函數(shù)y = /(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y = fl(x)的值域、定義域. 若p(a,b)在原函數(shù)y = /(x)的圖象上，則p(b,a)在反函數(shù)y = f(x)的圖象上 一般地，函數(shù)y = /(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).k2.33冨函數(shù)(1) 幕函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y = 叫做幕兩數(shù)，其中兀為自變量，q是常數(shù).(2) 幕函數(shù)的圖象(3) 幕函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：帚函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)

28、時，圖象分布在第一、二 彖限(圖彖關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖 彖只分布在第一彖限. 過定點：所有的幕函數(shù)在(0,4-00)都有定義，并且圖彖都通過點(1,1) 單調(diào)性：如果qo,則幕函數(shù)的圖彖過原點，并且在0,+oo)上為增函數(shù).如果6z<0,則幕函數(shù)的圖象在(0,+oo)上為減函數(shù)，在第一彖限內(nèi)，圖象無限接近兀軸與y軸. 奇偶性：當(dāng)q為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)q為偶數(shù)時，幕函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)oc = l (其中pq互質(zhì)，pp和qwz),若#為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y =是奇函數(shù)，若為奇數(shù)g為偶數(shù)時，則y = 是偶函數(shù)，若p為

29、偶數(shù)g為奇數(shù)時，則y = 是非奇非偶函數(shù). 圖象特征：幕函數(shù)y =(0,+oo),當(dāng)al時，若0<兀<1,其圖象在直線y = x下方，若%>1 ,其圖象在直線y = xk方，當(dāng)a<時，若0 vxvl,其圖象在直線y = x±方，若兀1,其圖彖在直線y = x下方.k補充知識二次函數(shù)(1) 二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：/(%) = cue + z?x + c(d工0)頂點式：/(兀)=a(x-h)2 +k(a主0)兩根式:f(x) = a(x-xl)(x-x2)(tz0) (2)求二次函數(shù)解析式的方法 已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式. 已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與

30、對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式. 若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求/(兀)更方便.(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)廣(力=仮2+加+ c(dh0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為% = - ,頂點坐標(biāo)是 2ab2a4ac-b24a）. 當(dāng)d>0時，拋物線開口向上，函數(shù)任(8,上遞減，在,+8)上遞增，當(dāng)兀=時,2a2ala心二皺二蘭；當(dāng)d<0吋，拋物線開口向下，函數(shù)在(-8,-2上遞增，在-2,+8)上遞減，當(dāng)x = - 4a2a2a2a時 / znax （兀）=4ac-b24a 二次函數(shù)fx) = ax1 +/zr+c(aho)當(dāng)厶一4

31、必> 0時，圖彖與x軸有兩個交點"(心0)血2(心0),|購“2冃屛-無|二(4) 一元二次方程+zzr + c = o(d工0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng) 和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運用，下面結(jié)合二次 函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.設(shè)一元二次方程or? +加+ c = o(qho)的兩實根為石,兀2，且令f(x) = ax2 +bx+c ,從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置：判別丸a端點函數(shù)值符號.o/w®

32、k-.<xx2<k?.<=> 有且僅有一個根山(或兀2)滿足h<山(或匕)v層 <=> /&)/&) <0,并同時考慮/&)二0或/&)二0 這兩種情況是否也符合®k.<x<k2p<x2<p2o此結(jié)論可直接由推出.(5)二次函數(shù)/(x) = ax2 +z?x+c(dh0)在閉區(qū)i'njlp,q上的最值設(shè)于(兀)在區(qū)間上的最大值為m,最小值為加，令兀=*( + 9).(i )當(dāng)a0時(開口向上)若一 < p ,則 m = /(p)若 p<-<q,則 m =

33、/(-)若一 q ,則 m = f(q)2a2a2a2a若一<x(),則 m = jq) 2a徭p)(ii)當(dāng)ovo時(開口向下)hhhh若一一<p.則 m = f(p) 若 pw一<q.則m = f(一一)若一>q9 則 m = f(q) 2a2a2a2a若 一 < x0 ,則 m = f(q)2a ->xo，則 m = f(p). 2a第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y = /(x)(xgd),把使/(%) = 0成立的實數(shù)兀叫做函數(shù)，=/(x)(x g d) 的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y = /(x)的零點就是

34、方程f(x) = 0實數(shù)根，亦即函數(shù)y = f(x)的圖象與兀軸 交點的橫坐標(biāo)。即：方程/(%) = 0有實數(shù)根o函數(shù)y = /(x)的圖象與兀軸有交點o函數(shù)y = /(x)有零點.3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y = /(x)的零點：(代數(shù)法)求方程/(兀)二0的實數(shù)根；(2) (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)j = /(%)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的 性質(zhì)找111零點.4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù) y = ax2 +z?x+c(o 工 0).1 ) a>0,方程ax1 +bx+c = 0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與兀軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個 零點.2) =(),

35、方程ax2-bx-c = 0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次 函數(shù)有一個二重零點或二階零點.3) a<0,方程cue +bx+c = 0無實根，二次函數(shù)的圖象與兀軸無交點，二次函數(shù)無零點.高中數(shù)學(xué)必修2知識點第一章空間幾何體11柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征(1) 棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底而多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱abcde-a b c d e或用對角線的端點字母，如五棱柱 2幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等

36、多邊形；側(cè)血、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底血的 截面是與底面全等的多邊形。(2) 棱錐定義：有一個而是多邊形，其余各而都是有一個公共頂點的三角形，由這些而所圍成的兒何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐p-abcde幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的 平方。(3) 棱臺：定義：用一個平行于棱錐底而的平而去截棱錐，截而和底而之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺p-abcde幾何特征：上下底

37、面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(4) 圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)而展開圖是一個矩形。(5) 圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。(6) 圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之i'可的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。(7) 球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一

38、周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。12空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：(1) .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；(2) .平行于y軸的線長度變半，平行于x, z軸的線長度不變；(3) .畫法要寫好。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底而(3)畫側(cè)棱(4)成圖4圓臺的表面積s =+承/+加?25球的表面積s = 4ttr2(二)空間幾何體的體積1柱體的體積2錐體的體積 v = -s底x/23臺體的體積v=|(

39、5上+ js上s； + s下)x4球體的體積v = -ttr3上底縮小a上底縮小1.3空間幾何體的表面積與體積(-)空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2圓柱的表而積3圓錐的表面積s = 7rrl + 7rr2第二章直線與平面的位置關(guān)系21空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.11平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示(1) 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2) 平面通常用希臘字母a、b、y等表示，如平面a、平面b等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂 點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，

40、如平而ac、平面abcd等。3三個公理：(1) 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為aelbl => l aa£ abe a公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)(2) 公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：a、b、c三點不共線=> 有且只有一個平面a , 使 aw a、bw a、ce a 0公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。(3) 公理3：如果兩個不重合的平而有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：pe a n p =>a n p=l,且pel公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1

41、.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平而內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線abc/b強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空i'可這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點： 與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與o的選擇無關(guān)，為簡便，點o 般取在兩直線小的 一條上； 兩條異面直線所成的角

42、0 e(o,)； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算屮，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1) 直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點(2) 直線與平面相交一一有且只有一個公共點(3) 直線在平面平行一一沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a a來表示2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平僧平行的判定定理：平面外一條直線與此

43、平僧內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平血平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a «b p=a asb2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a 3b 3aab 二 pb cia ab a2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。223 - 224直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線而平行則線線平行。符號表示：a/ aa pa/ba a g =

44、 b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：a ba q 丫 二 aa/bp cl y = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2. 3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面a互相垂直，記作l丄a ,直線l叫 做平面a的垂線，平面a叫做直線l的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點p叫做垂足。l2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：小定理中的“兩條相交直線”這一條件不可

45、忽視；b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形a梭13ba2、二面角的記法:二面角a -1-0或a-ab-b3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 234直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 本章知識結(jié)構(gòu)框圖第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線1與x軸相交時，取

46、x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線1向上方向之間所成的角 a叫做直線1的傾斜角.特別地,當(dāng)直線1與x軸平行或重合時，規(guī)定a= 0° .2、傾斜角u的取值范圍：0°<180° .當(dāng)直線1與x軸垂直時，a= 90° .3、直線的斜率：一條直線的傾斜角a (a工90° )的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示,也就是k = tan a當(dāng)直線1與x軸平行或重合時，a =0° , k = tan0° =0;當(dāng)直線1與x軸垂直時，a二90。，k不存在.由此可知，一條直線1的傾斜角a 定存在，但是斜率k不一定存在.4、直線的斜

47、率公式：給定兩點pl (xl, yl),p2(x2, y2), xlhx2,用兩點的坐標(biāo)來表示直線p1p2的斜率：斜率公式：k=y2-yl/x2-xl3.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反z,如果它們的斜率相等，那么它 們平行，即片"-o k =%注意：上而的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立.即如果 kl=k2,那么一定有 l1/l22、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)， 那么它們互相垂直，即3.2.1直線的點斜式方程1&

48、gt;直線的點斜式方程：直線/經(jīng)過點出（兀0，幾），且斜率為丁一丁0=£（兀一兀0）2、直線的斜截式方程：已知直線/的斜率為k,且與y軸的交點為（0,b）y = kx + b3.2.2直線的兩點式方程1、直線的兩點式方程：已知兩點斥（石，兀2）,£（兀2，歹2）其中（無北兀2，丁1北丁2） y-yl/y-y2=x-xl/x-x22、直線的截距式方程：已知直線/與x軸的交點為a（6z,o）,與y軸的交點為b（o,b）,其中ao.bo3.2.3直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程ac + qy + c = o （a, b不同時為o）2、各種直線方程之間的互化

49、。3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式3.3.1兩直線的交點坐標(biāo)1、給出例題：兩直線交點坐標(biāo)l1 : 3x+4v-2=0 li： 2x+y+2=0解：解方程組3x4- 4yj- 2= i2兀+ 0+2=得 x=-2, y=2所以l1與l2的交點坐標(biāo)為m （-2, 2）3.3.2 兩點間距離兩點間的距離公式3.3.3 點到直線的距離公式1 點到直線距離公式： 點p（x0，兒）到直線l:ax+by+c = 0的距離為: 2、兩平行線i'可的距離公式:第四章己知兩條平行線直線厶和厶的一般式方程為厶：ax+bv+c. =0,圓與方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-z?)2

50、=r2圓心為a(a,b),半徑為r的圓的方程2、點m(x(),y()與圓(x-a)2+(y-b)2 = r2的關(guān)系的判斷方法:(1) (x0 -a)2 + (y0 -b)2>r2，點在圓外 (2) (x0 -ci)2 4-(yq -b)2 = r2，點在圓上(3) (%) d) +(y()b)2<r"，點在圓內(nèi)4.1.2圓的一般方程1、圓的一般方程：2+/+dx+ey+f = o2、圓的一般方程的特點：(1) x2和y2的系數(shù)相同，不等于0. 沒有xy這樣的二次項.(2) 圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)d、e、f,因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.(3) 、與圓的

51、標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓 心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1圓與圓的位置關(guān)系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)直線/： ax + by+c = 0 ,圓c： x2 + y2 + dx+ ey+ f = 0,圓的半徑為廠，圓心,一色)到直線的距2 2離為d,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下兒點：(1)當(dāng)d>r寸，直線/與圓c相離；(2)當(dāng)=廠時，直線/與圓c相切；(3) 當(dāng)dv廠時，直線/與圓c相交；4.2.2圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為/,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下兒點：(1

52、)當(dāng)/>/*, +r2時，圓g與圓相離；(2)當(dāng)/ = /)+r2時，圓c與圓c?外切；(3) 當(dāng)|廠一廠2 1< /<廠1 +廠2時，圓c|與圓相交；(4) 當(dāng)/ =m倉|時，圓g與圓c2內(nèi)切;(5)當(dāng)/<!，-, -r2|時，圓c|與圓c2內(nèi)含;423直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法用坐標(biāo)法解決兒何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的兒何元素，將平面兒何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成兒何結(jié)論.4.3.1空間直角坐標(biāo)系1、點m對應(yīng)

53、著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z), x、y、z分別是p、q、r在兀、y、z軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組(兀y,z),對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點3、空間中任意點m的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(兀,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐 標(biāo)，記m(x, y,z), a叫做點m的橫坐標(biāo)，y叫做點m的縱坐標(biāo)，z叫做點m的豎坐標(biāo)。432空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點片(西，到點/>(x2,y2,z2)之間的距離公式| 片 £ | = j(“ - 十® -力)? +也 -高中數(shù)學(xué) 必修3知識點第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意

54、義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2. 算法的特點：(1) 有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.(2) 確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3) 順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.(4) 不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.(5) 普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好 的步驟加以解決.1.1.2 程序框圖1、程序框圖基本概念：(一) 程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下兒部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（二）構(gòu)成程序框的圖形