歸納推理,提升數(shù)學智慧

1、關注歸納推理 提升數(shù)學智慧 關于小學生歸納推理能力培養(yǎng)的研究與實踐內容摘要：史寧中教授強調培養(yǎng)創(chuàng)新性人才必須重視對學生的歸納推理能力的培養(yǎng)。目前，教師專業(yè)知識缺乏，應試教育，以及教師的實踐研究不足和實踐策略缺失，直接影響了學生歸納推理能力的發(fā)展。由此，本文闡述了歸納推理能力的要義和重要性，梳理了承載培養(yǎng)學生歸納推理能力的教學內容，以及結合實踐提出了四條引導路徑。關鍵詞：歸納推理 教學內容 引導路徑一、對學生歸納推理能力培養(yǎng)現(xiàn)狀的調研與分析史寧中教授指出：歸納推理能力的培養(yǎng)對學生數(shù)學智慧的發(fā)展有著十分重要的意義；歸納推理應該引起數(shù)學課堂教學的重視。那么，目前小學數(shù)學教育對學生歸納推理能力培養(yǎng)的現(xiàn)

2、實狀況如何？于是，我對某鎮(zhèn)中心校、村完小的23位數(shù)學老師以及六年級105名學生進行了調研和分析。1、從教師層面調查結果分析現(xiàn)狀一：教師專業(yè)知識缺乏對教師的訪談和調查顯示（見表一）：有21.7%的教師不了解歸納推理。有47.8%的教師表示有所了解，但不能準確地舉例說明。部分教師說：“好像在讀師范時心理學課上聽老師講過，現(xiàn)在已經(jīng)忘了?！敝挥?0.4%的教師了解歸納推理，并能正確舉例?，F(xiàn)狀二：應試教育影響巨大培養(yǎng)歸納推理推理，更重要的意義在于發(fā)展學生的創(chuàng)新思維和數(shù)學智慧。調查顯示只有17.3%的教師表示比較重視對學生歸納推理能力的培養(yǎng)（見表一），其余教師在課堂教學中并沒有培養(yǎng)學生歸納推理能力的主動意

3、識。經(jīng)訪談得知，其中主要的原因是不了解和考試不會考到?？梢?，考試這根指揮棒仍然在發(fā)揮著巨大地影響?，F(xiàn)狀三：研究不足，策略缺失經(jīng)訪談得知，23名教師中沒有哪位教師對本主題進行深入實踐研究過。52.1%的教師表示不知道如何有效地在實踐中培養(yǎng)學生的歸納推理能力,47.8%的教師不完全清楚哪些教學內容的教學可以培養(yǎng)學生的歸納推理能力。表一：教師調查統(tǒng)計表題目選項人數(shù)百分率（）你了解什么是歸納推理嗎？請你舉例說明A 了解（能正確舉例）730.43B 了解（不能舉例）114782C 不了解521.74在教學中你重視對學生的“歸納推理”的能力培養(yǎng)嗎？是否經(jīng)常讓學生做如題1、題2這樣的練習？A 重視，有417

4、.40B 一般，偶爾1982.60C 不重視，沒有00.00關于培養(yǎng)學生的“歸納推理”能力你有什么困惑？（可以多選、不選或者補充）A 不知道教什么1147.82B 不知道怎么教1252.17C 其他00.002、從學生層面調研結果分析題1：觀察、兩個等式有什么特點，在其它等式的（ ）里填上適當?shù)姆謹?shù)。+= × += × （ ）+=（ ）× 6+（ ）=6×（ ）調研結果與分析：103名學生中有64名學生能完成算式，占總人數(shù)的62.14%，37.86%的學生不能從算式和算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并把規(guī)律運用在新的問題中。有36名學生完成算式，只占總人數(shù)的34.95%

5、?？梢姴糠謱W生雖然能從上面的算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能運用規(guī)律解決一般性問題。但是，一旦問題發(fā)生了某些變化，就不能很好的通過類比（整數(shù)與分數(shù)之間的關系）來解決稍復雜問題了。題2：以下這些圖形我們都稱之為同心圖形。 拿同心圓來說，最里面圓的直徑是2厘米，每相鄰兩個圓的直徑差是1厘米，請你計算一下：從里往外數(shù)，第2個圓與第1個圓的周長的差，第3個圓和第2個圓的周長的差以及第4個圓和第3個圓的周長的差。 通過計算你發(fā)現(xiàn)了什么？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，你能提出什么猜想？調研結果與分析：能回答問題的學生有86人，占了總人數(shù)的83.50%，除了那些不能進行正確計算的學生外幾乎都能發(fā)現(xiàn)兩個相鄰的圓之間周長的差是一樣的。但能

6、合理地提出猜想的學生只有12人，僅占總人數(shù)的11.65%?？梢妼W生缺乏對歸納的結果進行類比聯(lián)想的經(jīng)驗，導致發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想的能力非常薄弱，嚴重阻礙了學生創(chuàng)新思維的發(fā)展。由以上的調查結果分析來看，我認為有必要對歸納推理的要義和重要性做簡要的闡述，也有必要梳理一下承載培養(yǎng)學生歸納推理能力的教學內容，以及對如何在教學中培養(yǎng)學生歸納推理能力的實踐策略作進一步探討。二、歸納推理的要義與重要性思維的基本形式有概念、判斷和推理。所謂推理，就是從已知的判斷推出新的判斷的思維形式。它主要的形式有兩類：歸納推理和演繹推理。演繹推理是從一般原理到特殊事物的推理。而歸納推理則相反，它是從特殊事物推出一般原理的推理。

7、是基于經(jīng)驗和事實的推理。如：多個三角形的內角和是180°，得出所有三角形的內角和都是180°。我們把歸納推理分為完全歸納和不完全歸納。心理學上所說的歸納推理一般是指不完全歸納，而完全歸納與演繹推理一樣，都是用于科學證明的。由此，通過歸納推理得出的結論不一定正確，我們只能稱它為“猜想”。波利亞稱之為“合情推理”，“是一種冒風險的推理?！庇纱?，它需要演繹推理給予證明。在小學里，由于小學生掌握的數(shù)學知識和抽象思維能力有限，我們往往讓學生用舉例檢驗或因果分析的方法來代替數(shù)學上的嚴謹證明。 就方法而論，歸納推理涵蓋了觀察實驗、比較分類、因果分析、統(tǒng)計推斷、枚舉、歸納、類比等（這里所說

8、的“歸納”是指從特殊事例概括一般結論的方法或過程，是基于一個類的歸納推理，而像“類比”則是基于兩個類的推理）。波利亞指出：歸納過程的典型步驟為，我們注意到了某些相似性；然后是一個推廣的步驟，即把所說的相似性推廣為一個明確表述的一般命題；最后我們又應對所得出的一般命題進行檢驗。在小學數(shù)學內容中，像分類、探索規(guī)律、以及概念、定義、規(guī)則、概率和解決問題等學習都有體現(xiàn)歸納推理的思維過程。雖然亞里士多德創(chuàng)立的演繹推理對后世科學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，但意大利物理學家、天文學家伽利略認為：“現(xiàn)實的認識過程是歸納先于演繹，許多公式和定律都是從實驗結論中歸納出來的。”數(shù)學家舒爾更明確指出：“在數(shù)學研究中，非數(shù)

9、學的歸納法起著重要的作用?！睌?shù)學中許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費馬猜想、四色猜想、七橋猜想等都是經(jīng)歸納推理獲得的結論，雖然某些結論不一定正確，卻在很大的程度上推動了數(shù)學的發(fā)展。史寧中教授在新課程標準修訂過程中特別指出：“演繹推理可以表現(xiàn)為一種知識，而歸納推理可以表現(xiàn)為一種智慧?！薄皻w納推理有利于發(fā)現(xiàn)新的問題，是一種創(chuàng)新所要依賴的推理。如果教學中只有演繹沒有歸納是不利于創(chuàng)新人才培養(yǎng)的?！笔方淌谶€特別強調：歸納推理很難在中國傳統(tǒng)的過分注重傳授知識和技能的教學中得到實施，但為了培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，我們必須培養(yǎng)這種基于經(jīng)驗、通過想象和抽象推斷結果的能力，無論在時間上還是在內容上都應當給予足夠的重視。三

10、、承載培養(yǎng)學生歸納推理能力的教學內容小學數(shù)學教學中哪些內容的教學可以培養(yǎng)學生的歸納推理能力呢？我認為有這樣兩類，一類是顯性的，教材編排的意圖是非常明確的；另一類是隱性的，它隱含在一些練習或知識的內在聯(lián)系中，需要教師深入的挖掘。下面就對教材中比較典型的顯性內容做簡要的整理。表二：教材內容整理數(shù)與代數(shù)圖形與幾何數(shù)學思考一年級 9加幾的算式的規(guī)律探索 20以內退位減法表的規(guī)律探索圖形的認識，圖形特征地歸納分類找規(guī)律二年級乘法口訣表的規(guī)律探索除法算式中被除數(shù)、除數(shù)和商的變化規(guī)律角與軸對稱圖形的認識找規(guī)律三年級探索余數(shù)與除數(shù)之間的大小關系同分母分數(shù)和同分子分數(shù)的大小比較規(guī)律探索小數(shù)各位上的數(shù)表示實際意義

11、的歸納認識四邊形長方形周長計算公式的探索排列組合教學中初步對乘法原理的歸納重疊問題教學中思想方法的歸納四年級大數(shù)讀、寫法的歸納探索積和商的變化規(guī)律運算規(guī)律的探索基本數(shù)量關系的歸納平行四邊和梯形的認識三角形的分類，內角和、三邊關系的探索統(tǒng)籌思想教學中思想方法的歸納植樹問題教學中思想方法的歸納五年級因數(shù)與倍數(shù)單元中數(shù)的分類分數(shù)意義的歸納以及分數(shù)基本性質的探索多邊形面積的計算公式的探索。長方體表面積、體積計算公式的探索量一量，找規(guī)律用計算器探索規(guī)律找次品中的方法歸納六年級分數(shù)乘除法計算方法的探索比與比例的基本性質的探索圓周長和面積計算公式的探索雞兔同籠和抽屜原理教學中思想方法的歸納“數(shù)學思考”總復習

12、 除了表二中三塊內容外，概率與統(tǒng)計教學中的預測以也體現(xiàn)了歸納推理的過程。有些內容教材雖沒有編排，但也是很好的素材。第一，可以在練習中挖掘，比如探索長方形周長與面積的關系。第二，數(shù)學文化和數(shù)學游戲中也有很多很有價值的素材，比如猜數(shù)游戲、角谷猜想、神奇的缺8數(shù)等等。 四、構建課堂教學中培養(yǎng)歸納推理能力的引導路徑如何在課堂教學中有效培養(yǎng)學生的歸納推理能力呢？史寧中教授指出：“歸納推理能力的培養(yǎng)更多的依賴于過程的教育和經(jīng)驗的積累。”由此，教師在課堂教學中，設計合理的教學過程和并作有效地引導，將對學生的歸納推理能力的發(fā)展起著重要的作用。以下主要介紹四種較典型的課堂教學引導路徑：1、觀察分類歸納應用（以“

13、平行四邊形與梯形的認識”教學為例）觀察 出示各種形狀的平行四邊形、梯形和普通四邊形。也可以通過學生地操作“畫一畫”形成。注意給學生同一類圖形的形狀要多樣，因為這是抽象本質屬性的基礎。分類 接著教師提出要求：根據(jù)這些四邊形對邊之間的關系，你能給它們分分類嗎？分類需要學生要對觀察對象進行比較分析，發(fā)現(xiàn)對象之間的異同，找到屬于同類的對象，從而自主地進行了初步的抽象。歸納 學生分完類之后，首先對各類對象的共同本質進行抽象，比如讓學生說一說這一類圖形有什么共同的特征。接著教師要給這兩類圖形貼上語言標簽，即給它們取名。然后再讓學生說一說怎樣的圖形就是平行四邊形，怎樣的圖形就是梯形。這就是心理學上所說的概括

14、，即把抽象出來的共同的本質推廣到同類事物上去。應用 像定義的學習，由于怎樣的圖形是平行四邊形是一種人為的規(guī)定，所以無需對結論進行檢驗。我們可以讓學生用得出的結論去判斷一些四邊形是否是平行四邊形或梯形，從而進一步加深對這些某一類圖形特征的認識。2、觀察比較歸納分析（以“探索9加幾的算式中的規(guī)律”教學為例）觀察 以上已提及觀察的材料可以從學生那里來，也可以由教師直接呈現(xiàn)，有時候還可以是師生共同完成的。比如9加幾的算式，教師提供算式，學生計算結果，形成了觀察材料。當然，最后形成的觀察材料應該是有序的，有利于學生觀察的。比較 學生在觀察的基礎上，要對一個算式中“和”的個位上的數(shù)與另一個“加數(shù)”的關系進

15、行比較，同時還要在不同算式中做比較，這樣他們才會發(fā)現(xiàn)：在9加幾的算式中，“和”的個位上的數(shù)總要比另一個“加數(shù)”少1。歸納 幾道9加幾的算式中，算式雖然都在變化，其中卻有不變的東西。學生把他們觀察比較中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用較準確的語言概括出來，形成一般性結論。分析 這個規(guī)律是否屬于偶然還是有它必然的原因呢？這時就有必要進行因果分析。教師提問：同學們，為什么“和”個位上的數(shù)總是比另一“加數(shù)”少1呢？這1到底去哪兒了呢？抽象思維好一些的學生可能會發(fā)現(xiàn)其中的秘密，但對于大部分學生來說，僅僅從算式上觀察是不容易發(fā)現(xiàn)其中奧秘的。我們可以把抽象的算式直觀化，借實物圖展示湊十法的計算過程，學生就比較容易發(fā)現(xiàn)：原來那個

16、1跑到9那兒與它湊整十了。3、類比實驗歸納枚舉（以“比的基本性質為例”教學為例）類比 所謂類比就是根據(jù)兩類事物在某些屬性上的相同，推出它們其它的某一項屬性也可能相同的推理。類比和歸納是歸納推理中的兩種常用的方法，它們與聯(lián)想、直覺一起構成了發(fā)現(xiàn)新問題、提出猜想的思維基礎。在教學比的基本性質時，我們先來復習商不變性質和分數(shù)的基本性質，因為除法、分數(shù)和比，它們三者在本屬性上具有一致性。既然除法和分數(shù)都有這樣的基本性質，那么比是否也存在著這種基本性質呢？在類比的基礎上，猜想的提出就水到渠成。實驗 那么到底這個猜想是否正確呢？這就需要實驗操作來檢驗。數(shù)學上的實驗不一定要動手操作，計算同樣也是一種數(shù)學實驗

17、。這時，可以讓學生自己隨意寫一個比，并對比的前項和后項進行相同的計算，這時，課堂上就形成了由實驗直接獲得的一組數(shù)據(jù)。歸納 教師引導學生觀察這組數(shù)據(jù)，抽象出內在的規(guī)律，并把規(guī)律推廣到所有的比上，從而獲得了一般性的結論（比的基本性質）。枚舉 是否所有的比都具有這樣的性質呢？在小學里，學生只要再舉幾個例子，找不到反例，就視結論的正確性。雖然這樣的過程不夠嚴謹，但小學生的知識有限，再說小學數(shù)學內容，都比較形象，有學生的經(jīng)驗做支撐，學生心里一般不會有疑惑。4、問題類推歸納推廣（以“一道練習題”教學為例）問題 把4米長的繩子平均剪成5段，每段（ ）米，每段繩子是全長的（ ）。本題是學生比較容易出錯的一個問

18、題，主要考查學生對分數(shù)的意義和分數(shù)與除法關系的掌握情況?？吹竭@個問題，許多學生會在腦子里拼命搜尋類似的練習留下的記憶，造成機械式解題非常嚴重。類推 所謂類推就是基于數(shù)值一步一步推演的解答問題的方法。以上問題，可以先引導學生思考：如果把20米的繩子平均剪成5段，每段是幾米？每段是繩子的幾分之幾？結合圖學生會比較容易解決。接著再把20米改成15米，改成10米，改成5米， 改成4米，甚至還可以改成米，依次讓學生回答題目中的兩個問題，并形成板書。除了類推，有些問題還可以用“嘗試例舉”的方法，為歸納一般性的方法做好鋪墊，如用列表法解決“雞兔同籠”問題。歸納 有了以上類推的經(jīng)歷，再引導學生觀察。這時，學生就比較容易發(fā)現(xiàn)：求每段是多少米要把總長度除以剪成的段數(shù)，而求每段的長度與總長度的關系則要看分幾段，跟總長度無關。推廣 教學到這里，看似問題已經(jīng)解決，其實還沒有結束。我們可以把同樣的數(shù)學關系放入不同的情境中，從而獲得更深一層次的抽象。如把情境改成：把4個月餅平均分給5個人；把4千克的白糖平均分給5個人等。由此可以進一步抽象歸納得出：求每份數(shù)要把總數(shù)除以份數(shù)，而求每份數(shù)與總數(shù)的關系則要看平均分幾份，跟總數(shù)無關。在實際教學中，我們