平面場的復(fù)勢ppt課件

1、* *第四節(jié)第四節(jié) 平面場的復(fù)勢平面場的復(fù)勢一、用復(fù)變函數(shù)表示平面向量場二、平面流速場的復(fù)勢三、靜電場的復(fù)勢四、小結(jié)與思索一、用復(fù)變函數(shù)表示平面向量場平面定常向量場平面定常向量場: 向量場中的向量都平向量場中的向量都平行于某一個(gè)平面行于某一個(gè)平面S, 而且在而且在垂直于垂直于S 的任何一條直線的任何一條直線上的一切點(diǎn)處的向量都是上的一切點(diǎn)處的向量都是相等的相等的; 場中的向量也都與場中的向量也都與時(shí)間無關(guān)時(shí)間無關(guān).S0S顯然顯然, 向量場在一切平行于向量場在一切平行于S 的平面內(nèi)的分布情的平面內(nèi)的分布情況是完全一樣的況是完全一樣的, 可以用可以用So 平面內(nèi)的場表示平面內(nèi)的場表示. , 0 x

2、oyS 內(nèi)取定一直角坐標(biāo)系內(nèi)取定一直角坐標(biāo)系在平面在平面oxyAyAxA. yxyxiAAAjAiAA 為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)可可表表示示向向量量 , 表表示示由由于于場場中中的的點(diǎn)點(diǎn)可可用用復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)iyxz ).,(),()( ),(),( yxiAyxAzAAjyxAiyxAAyxyx 示示為為復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)可可表表所所以以平平面面向向量量場場.),(),( , ),(),( ,jyxviyxuAyxivyxuw 場場可作出對應(yīng)的平面向量可作出對應(yīng)的平面向量也也已知一個(gè)復(fù)變函數(shù)已知一個(gè)復(fù)變函數(shù)反之反之例如例如, 一個(gè)平面定常流速場一個(gè)平面定常流速場(如河水的外表如河水的外表)jyxviyxvvyx

3、),(),( , ),(),()( 表表示示可可以以用用復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)yxivyxvzvvyx 平面電場強(qiáng)度向量為平面電場強(qiáng)度向量為jyxEiyxEEyx),(),( . ),(),()( 表表示示可可以以用用復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)yxiEyxEzEEyx 二、平面流速場的復(fù)勢1. 流函數(shù)流函數(shù): 體的流速場體的流速場想流想流是不可壓縮的定常的理是不可壓縮的定常的理設(shè)向量場設(shè)向量場 v,),(),(jyxviyxvvyx . ),( ),( 都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與與其中速度分量其中速度分量yxvyxvyx假設(shè)它在單連域假設(shè)它在單連域 B 內(nèi)是無源場內(nèi)是無源場(即管量場即管量場), 0div

4、 yvxvvyx那末那末, yvxvyx 即即流線流線, ),( dd 的的全全微微分分為為某某個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù)于于是是yxyvxvxy .dd),(d yvxvyxxy ., xyvyvx ,),( 1cyx 因?yàn)榈戎稻€因?yàn)榈戎稻€ 0,dd),(d yvxvyxxy .dd xyvvxy 所以所以 , ),( 1都都與與等等值值線線相相切切上上每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的向向量量在在等等值值線線場場vcyxv . ),( 的的流流函函數(shù)數(shù)稱稱為為場場函函數(shù)數(shù)vyx 2. 勢函數(shù)勢函數(shù): ),( 即勢量場即勢量場內(nèi)的無旋場內(nèi)的無旋場又是又是如果如果Bv, 0rot v那么那么. 0 yvxvxy即

5、即, ),( dd 的全微分的全微分為某個(gè)二元函數(shù)為某個(gè)二元函數(shù)于是于是yxyvxvyx ,dd),(dyvxvyxyx ., yxvyvx .gradv ).( ),( 或或位位函函數(shù)數(shù)的的勢勢函函數(shù)數(shù)稱稱為為場場函函數(shù)數(shù)vyx 等勢線等勢線(或等位線或等位線) ),( 2cyx 等等值值線線平面流速場的復(fù)平面流速場的復(fù)勢函數(shù)勢函數(shù)(復(fù)勢復(fù)勢)柯西柯西 黎曼黎曼方程方程3. 平面流速場的復(fù)勢函數(shù)平面流速場的復(fù)勢函數(shù): , , 是是無無旋旋場場既既是是無無源源場場又又向向量量場場內(nèi)內(nèi)如如果果在在單單連連域域vB ,與與xyvyvx , , 同同時(shí)時(shí)成成立立yxvyvx , , xyyx 比比較

6、較后后得得在單連域內(nèi)可以作一個(gè)解析函數(shù)在單連域內(nèi)可以作一個(gè)解析函數(shù)).,(),()(yxiyxzfw yxivvv 因?yàn)橐驗(yàn)閥ix xix , )(zf . )( 表示表示可以用復(fù)變函數(shù)可以用復(fù)變函數(shù)所以流速場所以流速場zfvv 給定一個(gè)單連域內(nèi)的無源無旋平面流速場給定一個(gè)單連域內(nèi)的無源無旋平面流速場, 就可以構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)就可以構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)它的復(fù)勢與之對它的復(fù)勢與之對應(yīng)應(yīng); 反之反之, 假設(shè)在某一區(qū)域假設(shè)在某一區(qū)域(不論能否單連不論能否單連)內(nèi)給內(nèi)給定一個(gè)解析函數(shù)定一個(gè)解析函數(shù), 就有以它為復(fù)勢的平面流速就有以它為復(fù)勢的平面流速場對應(yīng)場對應(yīng), 并可以寫出該場的流函數(shù)和勢函數(shù)并可以寫出該

7、場的流函數(shù)和勢函數(shù), 得得到流線與等勢線方程到流線與等勢線方程, 畫出流線和等勢線的圖畫出流線和等勢線的圖形形, 即得描畫該場的流動(dòng)圖象即得描畫該場的流動(dòng)圖象.例例1 1. , ) 0( )( 數(shù)數(shù)和和勢勢函函數(shù)數(shù)試試求求該該場場的的速速度度、流流函函實(shí)實(shí)常常數(shù)數(shù)為為為為設(shè)設(shè)一一平平面面流流速速場場的的復(fù)復(fù)勢勢 aazzf解解,)( azf 因因?yàn)闉?, 0)( azfv所以場中任一點(diǎn)的速度所以場中任一點(diǎn)的速度 .軸正向軸正向方向指向方向指向 x ,),( ayyx 流流函函數(shù)數(shù); 1cy 流流線線是是直直線線族族,),( axyx 勢函數(shù)勢函數(shù). 2cx 等勢線是直線族等勢線是直線族xyo

8、流線流線等勢線等勢線 例例2 2. , . ) 0div , 0div ( 0div 并畫出流動(dòng)圖象并畫出流動(dòng)圖象流速場的復(fù)勢流速場的復(fù)勢的定常的定常試求由單個(gè)源點(diǎn)所形成試求由單個(gè)源點(diǎn)所形成的點(diǎn)為洞的點(diǎn)為洞而使而使的點(diǎn)為源點(diǎn)的點(diǎn)為源點(diǎn)有時(shí)稱使有時(shí)稱使源點(diǎn)源點(diǎn)的點(diǎn)統(tǒng)稱為的點(diǎn)統(tǒng)稱為在場論中將散度在場論中將散度 vvv解解. , , 遠(yuǎn)處保持靜止?fàn)顟B(tài)遠(yuǎn)處保持靜止?fàn)顟B(tài)在無窮在無窮而其他各點(diǎn)無源無旋而其他各點(diǎn)無源無旋點(diǎn)的源點(diǎn)點(diǎn)的源點(diǎn)內(nèi)只有一個(gè)位于坐標(biāo)原內(nèi)只有一個(gè)位于坐標(biāo)原不妨設(shè)流速場不妨設(shè)流速場 v由對稱性由對稱性,)( 00rrgvz 處處的的流流速速 , 到到原原點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離是是其其中中zzr

9、, 0的向徑上的單位向量的向徑上的單位向量是指向點(diǎn)是指向點(diǎn) zr . )(是一待定函數(shù)是一待定函數(shù)rg,0zzr 由于流體不可緊縮由于流體不可緊縮, 21內(nèi)內(nèi)不不可可能能積積蓄蓄心心的的圓圓環(huán)環(huán)域域流流體體在在任任一一以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中rzr , 21的的流流量量相相等等與與所所以以流流過過圓圓周周rzrz 流過圓周的流量為流過圓周的流量為 rzsrvNd0 rzsrrrgd)(00).(2zgz . 稱為源點(diǎn)的強(qiáng)度稱為源點(diǎn)的強(qiáng)度N . 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與 r.2)( zNzg 故故zzzNv 2 流流速速.12zN )( 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為復(fù)勢函數(shù)復(fù)勢函數(shù)zf)()(zvzf .1

10、2zN ,Ln2)( czNzf 復(fù)復(fù)勢勢函函數(shù)數(shù)為為) (21復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)iccc ,ln2),( 1czNyx 于于是是勢勢函函數(shù)數(shù)為為.Arg2),( 2czNyx 流函數(shù)為流函數(shù)為xyo)0( N)0( Nxyo藍(lán)色為等勢線藍(lán)色為等勢線, 紅色為流線紅色為流線.(流動(dòng)圖象如下流動(dòng)圖象如下)解解例例3 3. , , , . 0rot 并并畫畫出出流流動(dòng)動(dòng)圖圖象象試試求求該該流流速速場場的的復(fù)復(fù)勢勢態(tài)態(tài)無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)處處保保持持靜靜止止?fàn)顮铧c(diǎn)點(diǎn)面面上上僅僅在在原原點(diǎn)點(diǎn)有有單單個(gè)個(gè)渦渦設(shè)設(shè)平平的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為渦渦點(diǎn)點(diǎn)平平面面流流速速場場中中 v與例與例2類似類似,)( 0 rhvz 的的流流速

11、速設(shè)設(shè)場場內(nèi)內(nèi)某某點(diǎn)點(diǎn) , 00垂垂直直的的單單位位向向量量處處與與是是點(diǎn)點(diǎn)rz . )(有有關(guān)關(guān)的的待待定定函函數(shù)數(shù)是是僅僅與與zrrh ,0ziz 沿圓周的環(huán)流量為沿圓周的環(huán)流量為 rzsvd0 rzszhd)( ).(2zhz . 無關(guān)的常量無關(guān)的常量是與是與 r . 稱稱為為渦渦點(diǎn)點(diǎn)的的強(qiáng)強(qiáng)度度 i.2)(zzh ,12 ziv 流速流速,Ln2)( czizf 復(fù)勢函數(shù)為復(fù)勢函數(shù)為) (21iccc .ln2),( 2czyx 流函數(shù)為流函數(shù)為,Arg2),( 1czyx 于于是是勢勢函函數(shù)數(shù)為為對比例對比例1和例和例2的結(jié)果的結(jié)果, ,1 , iN兩者僅差因子兩者僅差因子外外換成換

12、成除了常數(shù)除了常數(shù) 因此因此,只須將例只須將例2圖中流線與等勢線位置互換圖中流線與等勢線位置互換, 即可得渦點(diǎn)所構(gòu)成的場的流動(dòng)圖象即可得渦點(diǎn)所構(gòu)成的場的流動(dòng)圖象.xyo)0( xyo)0( 藍(lán)色為流線藍(lán)色為流線, 紅色為等勢線紅色為等勢線.三、靜電場的復(fù)勢. jEiEEyx 設(shè)設(shè)平平面面靜靜電電場場當(dāng)場內(nèi)沒有帶電物體時(shí)當(dāng)場內(nèi)沒有帶電物體時(shí), 靜電場無源無旋靜電場無源無旋. 是是無無源源場場那那末末根根據(jù)據(jù) E, ),( dd 的全微分的全微分為某個(gè)二元函數(shù)為某個(gè)二元函數(shù)于是于是yxuyExExy .dd ),(dyExEyxuxy , 0div yExEvyx與討論流速場一樣與討論流速場一樣,

13、 , ),( 1都都與與等等值值線線相相切切向向量量上上每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的在在等等值值線線靜靜電電場場EcyxuE 就是說就是說, 等值線就是向量線等值線就是向量線, 即場中電力線即場中電力線. . ),(的的力力函函數(shù)數(shù)稱稱為為場場Eyxu 是無旋場是無旋場根據(jù)根據(jù) E, ),( dd 的全微分的全微分為某個(gè)二元函數(shù)為某個(gè)二元函數(shù)于是于是yxvyExEyx .dd),(dyExEyxvyx , 0rotn yExEvxyjyvixvv grad jEiEyx .E ).( ),( 電電勢勢或或電電位位的的勢勢函函數(shù)數(shù)是是場場所所以以Eyxv . ),( 2就是等勢線或等位線就是等勢線或等位

14、線等值線等值線cyxv : , 黎黎曼曼方方程程滿滿足足柯柯西西和和則則內(nèi)內(nèi)的的無無源源無無旋旋場場是是單單連連域域如如果果 vuBE. , xvyuyvxu 靜電場的復(fù)勢靜電場的復(fù)勢 (復(fù)電位復(fù)電位)在在B內(nèi)可決議一個(gè)解析函數(shù)內(nèi)可決議一個(gè)解析函數(shù),)(ivuzfw xuixvE 可以用復(fù)勢表示為可以用復(fù)勢表示為場場 E. )(zfi . i 的的復(fù)復(fù)勢勢相相差差因因子子靜靜電電場場的的復(fù)復(fù)勢勢和和流流速速場場 利用靜電場的復(fù)勢利用靜電場的復(fù)勢, 可以研討場的等勢線可以研討場的等勢線和電力線的分布情況和電力線的分布情況, 描畫出場的圖象描畫出場的圖象.例例4 4. 所產(chǎn)生的靜電場的復(fù)勢所產(chǎn)生的

15、靜電場的復(fù)勢無限長直導(dǎo)線無限長直導(dǎo)線的均勻帶電的的均勻帶電的為為求一條具有電荷線密度求一條具有電荷線密度Le解解oxy, 0 平平面面處處垂垂直直于于在在原原點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)導(dǎo)導(dǎo)線線zzL ,d hhL取微元段取微元段處處上距原點(diǎn)為上距原點(diǎn)為在在hdh .d he則其帶電量為則其帶電量為由于導(dǎo)線為無限長由于導(dǎo)線為無限長, 因此垂直于因此垂直于 xoy 平面的任平面的任何直線上各點(diǎn)處的電場強(qiáng)度是相等的何直線上各點(diǎn)處的電場強(qiáng)度是相等的.oxyhdh又由于導(dǎo)線上關(guān)于又由于導(dǎo)線上關(guān)于 z 平面對稱的兩帶電微元段平面對稱的兩帶電微元段所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的垂直分量相互抵消所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的垂直分量相互抵消, 只剩下

16、只剩下與與 xoy 平面平行的分量平面平行的分量.故所產(chǎn)生的靜電場為平面場故所產(chǎn)生的靜電場為平面場. jEiEEzyx 強(qiáng)度強(qiáng)度的電場的電場先求平面上任一點(diǎn)先求平面上任一點(diǎn)由庫侖定律由庫侖定律, d 處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為在在微元段微元段zh,dd22hrheE . 22yxzr 其其中中rEEd zt , 平平面面內(nèi)內(nèi)在在因因?yàn)闉樗笄蟮牡碾婋妶鰣鰪?qiáng)強(qiáng)度度zE , d 影之和影之和平面上投平面上投在在微元微元所以其大小為所有場強(qiáng)所以其大小為所有場強(qiáng)zE ,dcos22hhrteE . o d 平平面面的的交交角角與與為為其其中中yxEtoxyhdhrEEd z ,tan trh 因?yàn)橐驗(yàn)?cosdd 2ttrh 所以所以,cos12222rthr 22dcostrteE.2re , 的的方方向向考考慮慮到到向向量量 E.20rreE .2 zeE 用復(fù)數(shù)表示為用復(fù)數(shù)表示為iEzf )(.2zei ,1Ln2)( czeizf 復(fù)勢為復(fù)勢為) (21iccc .1ln