聯(lián)想“模型函數(shù)”破解抽象函數(shù)題

1、聯(lián)想“模型函數(shù)”破解抽象函數(shù)題一、中學(xué)階段學(xué)過(guò)的常見(jiàn)“模型函數(shù)”抽象函數(shù)模型函數(shù)f(x+y)=f(x)+f(y)y=kx（k為常數(shù)）f(x+y)=f(x)+f(y)-ay=kx+a（k,a為常數(shù)）f(x+y)=f(x)·f(y)y=ax（a0且a1）f(xy)=f(x)+f(y)y= (a0且a1)f(xy)=f(x) f(y)y=xn（n為常數(shù)）注：記憶方法：如和的函數(shù)等于函數(shù)的積對(duì)應(yīng)的模型函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，而積的函數(shù)等于函數(shù)的和對(duì)應(yīng)的模型函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)等。二、聯(lián)想“模型函數(shù)”破解抽象函數(shù)題例析【例1】已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當(dāng)x0時(shí)

2、，f(x) 0，f(-1)=-2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2，1上的值域.聯(lián)想：由f(x+y)=f(x)+f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=kx（k為常數(shù)）為奇函數(shù)，k0時(shí)為減函數(shù)，k0時(shí)為增函數(shù)，從而猜測(cè)：f(x)為奇函數(shù)且f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，且f(x)在2,1上有f(x)4,2.解析：設(shè)x1x2且x1，x2R， 則x2-x10， f(x2x1)0，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0，f(x2)f(x1),f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).令x=y=0,則f(0)=0,令y=-x，則f(-x)=-f(x)，f(x

3、)為R上的奇函數(shù).f(-1)=-f(1)=-2 ， f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4，-4f(x)2(x-2,1)，故f(x)在-2,1上的值域?yàn)?4，2注意：由f(x+y)=f(x)+f(y)斷定f(x)=kx（k為常數(shù)）是錯(cuò)誤的，犯了用特殊代替一般的錯(cuò)誤（解客觀題還是可以）.我們只能借助f(x)=kx（k為常數(shù)）來(lái)猜測(cè)f(x)的性質(zhì)，為解題指明方向，至于f(x)的性質(zhì)的得出，我們還是要由相關(guān)定義來(lái)嚴(yán)格證明，決不能含含糊糊.【例2】函數(shù)對(duì)任意、R，都有，并且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：是R上的增函數(shù)；（2）若，解不等式.聯(lián)想：由聯(lián)想“模型函數(shù)”y=kx+1（k為常數(shù)），由條件易知k0，從

4、而猜測(cè)：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，解析：（1）證明：設(shè)、R，且，則，.即，是R上的增函數(shù).（2），.不等式即為，是R上的增函數(shù)，于是，解之得.【例3】已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，（1）當(dāng)x0時(shí)，求f(x)的取值范圍；（2）判斷f(x)在R上的單調(diào)性聯(lián)想：由f(x+y)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=ax（a0,a1），當(dāng)a1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，且x0時(shí)，y1，x0時(shí)，0y1；0a1時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，且x0時(shí)，y1，x0時(shí)，0y1，從而猜測(cè)： f(x)為減函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1.解析：（1）因?yàn)閷?duì)于一切x、y

5、R，f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)0，令x=y=0，則f(0)=1，現(xiàn)設(shè)x0，則-x0，f(-x) 1，又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1， f(-x)= 1，0f(x)1（2）設(shè)x1、x2R ，且x1x2，則x1-x20，f(x1-x2) 1，則1f(x1)f(x2)， f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)【例4】設(shè)函數(shù)定義在R上，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：，且當(dāng)時(shí)，；（2）求證：在R上遞減；（3）設(shè)集合，若，求的取值范圍.（1）證明：在中，令，得，.設(shè)，則，令，代入條件式有，而，.（2）證明：設(shè)，則，.令，則代入條件式，得，即，在R上單調(diào)遞減.（3）解：由，又由

6、（2）知為R上的遞減，點(diǎn)集表示圓的內(nèi)部.由得點(diǎn)集表示直線.，直線與圓相離或相切.于是.【例5】已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)遞增，滿(mǎn)足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y),（1）證明f(1)=0；（2）求f(16)；（3）若f(x)+f(x-3)1，求x的范圍；（4）試證f(xn)=nf(x)（nN）.聯(lián)想：由f(xy)=f(x)+f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=（a0，a0）, 從而猜測(cè)：f(x)有f(1)=0，f(16)=2，解析：（1）令x=1，y=4，則f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)，f(1)=0；（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+

7、f(4)=2，（3）f(x)+f(x-3)=fx(x-3)1=f(4)，f(x)在（0，+）上單調(diào)遞增 x(x-3)4 -1x4 x-30 x3 ，即3x4， x（3，4 x0（4）f(xy)=f(x)+f(y)，f(xn)=f(x·xx)=nf(x)（nN） n個(gè)x【例6】已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切正實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x1時(shí)，f(x)1，f(2)=.（1）求證：f(x)0；（2）求證：f(x-1)=f(x)-1；（3）求證：f(x)在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)；（4）若f(m)=9，試求m的值.聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數(shù)”y=xa，從而

8、猜測(cè)：f(x)0，在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)，解析：（1）對(duì)任意x0，f(x)=f()=f()20，假設(shè)存在y0，使f(y)=0，則對(duì)任意x0，有f(x)=f(·y)=f()f(y)=0，這與已知矛盾，故對(duì)任意x0，均有f(x)0；（2）f(x)=f(x×1)=f(x)f(1)，f(x)0, f(1)=1，f(x)f()=f(·x)=f(1)=1， f(x-1)=f(x)-1；（3）設(shè)x1、x2(0,+)，且x1x2，則1，f()1，f(x2)=f(·x1)=f()f(x1)f(x1)， 即f(x2)f(x1)，f(x)在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù).（4）

9、f(2)=，f(m)=9 f(2)f(m)=1，f(2m)=1=f(1)，而f(x)在(0，+)是單調(diào)減函數(shù)，2m=1，即m=.【練習(xí)】1函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是_.分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以，解得或.2已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求證：是偶函數(shù). 分析：在中，令，得 令，得于是,故是偶函數(shù).3已知的定義域?yàn)?，且?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_.分析：在條件中，令，得 ，又令，得，4已知是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：，求的值.分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是， 所以,故是以8為周期的周期函數(shù)，從而5已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，若

10、，且，則的大小關(guān)系是_.分析：且， 又時(shí)，是增函數(shù)，是偶函數(shù)，,故6已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足，并且有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是_.分析：由知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸. 又有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱(chēng)性知必是方程的一個(gè)根，其余兩根關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，故.7已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1,且對(duì)任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2008)=_.解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+1即 g(x+5

11、)g(x), g(x+1)g(x).所以g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2008)=1.8.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱(chēng).分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸是，故的對(duì)稱(chēng)軸是.9已知函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，且對(duì)任意均有，又對(duì)任意的x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.（1）判斷函數(shù)的奇偶性。（2）證明函數(shù)在R上為單調(diào)減函數(shù)。（3）試求函數(shù)在m,n(m,nZ，且mn<0)上的值域.分析：在中學(xué)階段滿(mǎn)足性質(zhì)的只有：，又對(duì)任意的x>0,都有f(x)<0， ，顯然此函數(shù)為奇函數(shù)

12、，且在R上為減函數(shù)。類(lèi)比它的性質(zhì)，可以猜想本題的函數(shù)有關(guān)性質(zhì)。解：（1）令，得：，再令y=-x,得： 于是函數(shù)為奇函數(shù)。（2）對(duì)任意， （類(lèi)比的性質(zhì)）現(xiàn)設(shè)，且，則，顯然而由題意知道，對(duì)任意的x>0,都有f(x)<0，函數(shù)在R上為減函數(shù)。（3）由于函數(shù)在R上為減函數(shù)，故在m,n上為減函數(shù).在m,n上的最大值為，最小值為。又由于，同理：又f(3)=-3=3f(1)， ，因此函數(shù)在m,n上的值域?yàn)?n,-m.10已知函數(shù)y=f(x)（xR且x0），對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，又y=f(x)在（0，+）上是增函數(shù).（1）求f(1)、f(-1)的值

13、； （2）求證對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都有f(-x)=f(x)；（3）解不等式f(x)f(2x1)0.解: (1) f(1)=f(-1)=0 ;(2)略;(3)11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，且f(2)=-1. (1)求證：f(x)為奇函數(shù)； (2)試問(wèn)函數(shù)f(x)在區(qū)間-2008,2008上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最小值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(1)令x=y=0，則f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0，再令y=-x，則f(x-x)=f(x)+f(-x)f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù)(2)f(x+y)=f(x)+f(y) ，f(x)為奇函數(shù)， f(x-y)=f(x)+f(-y)f(x-y)=f(x)-f(y)設(shè)x1,x2R，且x1<x2，則f(x2-