直接證明與間接證明

1、2.22.2直接證明與間接證明直接證明與間接證明2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法推理推理合情推理合情推理演繹推理演繹推理歸納歸納(特殊特殊到到一般一般）類(lèi)比類(lèi)比（特殊特殊到到特殊特殊）三段論三段論（一般一般到到特殊特殊）復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明; 演繹推理得到的結(jié)論一定正確.綜合法綜合法 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論或所要解決的問(wèn)題的結(jié)果。出所要證明的結(jié)論或所要解決的問(wèn)題的結(jié)果。條件條件結(jié)論結(jié)論數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)推理?xiàng)l件條件定理定

2、理 公理公理定義定義P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc)4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a0 2bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.)2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+a+a2 2 2ac,b02ac,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) 2abc.) 2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.)4abc.證明證明: :1.綜合法:(順推證法)(由因?qū)Ч?/p>

3、)變式變式1：abcbacacbcbacba6)()()(, 0,222222且不全相等，求證已知練一練：3ccbabbacaa-cb cba求證：為不全等的正數(shù)，、已知練習(xí)：求證：練習(xí)：求證： 5321232log 19log 19log 19證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?1loglogabba所以所以 左式左式=log195+2log193+3log192 =log19(53223)=log19360.因?yàn)橐驗(yàn)閘og193600,b0)(a0,b0)的證明的證明. .a a + + b ba a b b2 2證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)? ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a

4、 a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2證明證明: :要證要證; ;只需證只需證; ;只需證只需證; ;只需證只需證; ;因?yàn)橐驗(yàn)? ; 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸

5、結(jié)為判定一個(gè)明直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做等）為止，這種證明的方法叫做分析法分析法 特點(diǎn)：特點(diǎn)：執(zhí)果索因執(zhí)果索因. .用框圖表示分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)用框圖表示分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn). .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法【分析法【分析法】要證要證 只需證只需證 只需證只需證 顯然成立顯然成立所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立格格 式式例例1:求證求證3526證明：

6、證明：為了證為了證 只需證只需證 展開(kāi)得展開(kāi)得82 1582 12 即即1512只需證只需證1512，因?yàn)?，因?yàn)?512成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。352622( 35)( 26)3526例例2求證：求證：372 5證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?都是正數(shù)，都是正數(shù)， 372 5和所以為了證明所以為了證明 372 5只需證明只需證明 22( 37)(2 5)展開(kāi)得展開(kāi)得102 2120即即215只需證明只需證明2125，因?yàn)?，因?yàn)?10成立，成立， 即證即證a a2 2(a-b)+b(a-b)+b2 2 (b-a)0(b-a)0成立。成立。 只需只需(a(a2 2-b-b2 2)(a-

7、b)0)(a-b)0證成立，證成立， 也就是要證也就是要證(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 20 0成立。成立。 即證即證(a-b)(a-b)2 20 0成立（成立（a+ba+b00） 而由已知條件可知，而由已知條件可知，abab，有，有a-b0a-b0， 所以所以(a-b)(a-b)2 20 0顯然成立，由此命題得證。顯然成立，由此命題得證。 設(shè)設(shè)a a、b b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且abab，求證：，求證：a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2 一般地，利用已知條件和某些已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義、一般地，利用已知條件和某些已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列

8、的推理、論證，最后推導(dǎo)定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法。特點(diǎn):“由因?qū)Ч毙〗Y(jié)小結(jié)綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法. .1.1.綜合法的定義綜合法的定義: : 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做明的方法叫做分析法分析法 2.2.