變量運(yùn)算研究

1、變量運(yùn)算研究（問(wèn)天老人著）人類(lèi)其所以有今天的繁榮與進(jìn)步，最重要的是得益于科學(xué)研究。數(shù)學(xué)是科學(xué)研究的萬(wàn)能工具、是科學(xué)的科學(xué)，然其有效部分現(xiàn)僅初等部分而已?，F(xiàn)行高等數(shù)學(xué)因致命的缺陷，幾乎成為一門(mén)閑置學(xué)科。本書(shū)指引您來(lái)到一片科學(xué)的新大陸，那里有一座可以使人類(lèi)受益無(wú)窮的數(shù)學(xué)寶藏，正在等待著您去挖掘、去利用。誰(shuí)是21世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家？誰(shuí)是21世紀(jì)對(duì)人類(lèi)貢獻(xiàn)最大的科學(xué)家？尊敬的讀者！也許他就是您！問(wèn)天老人肖像（攝于2010年）變量運(yùn)算研究目 錄第一章： 問(wèn)題的提出 （5）第二章： 用冪函數(shù)描述相關(guān)變量 （15）2-1 提取配算依據(jù) （15）2-1-1 對(duì)計(jì)算依據(jù)的有關(guān)規(guī)定 （15）2-1-2 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的選

2、擇 （17）2-1-3 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的多少 （19）2-1-4 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的疏密 （20）2-2 冪數(shù)列高階增長(zhǎng)定理 （22）2-3 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表 （24）2-4 將自變數(shù)列的首項(xiàng)調(diào)整為0 （25）2-5 冪函數(shù)的系數(shù)與其數(shù)列的關(guān)系 （29）2-6 單項(xiàng)冪通式的求法 （32）2-6-1 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列單項(xiàng)冪通式的求法 （32）2-6-2 一般單項(xiàng)冪通式的求法 （34）2-7 多項(xiàng)冪通式的求法 （40）2-7-1 解題的思路 （40）2-7-2 因變數(shù)列分離法 （43）2-7-3 首數(shù)列分離法 （69）2-8 近似冪通式的配法 （90）2-9 冪通式是如何描述變量的 （126）第三章： 冪函數(shù)的微分運(yùn)算

3、（135）3-1 微分公式的改善 （135）3-2 冪函數(shù)的微分運(yùn)算方法 （141）3-2-1 代數(shù)推導(dǎo)法 （141）3-2-2 自變量變換法 （143）3-2-3 增量遞減法 （169）3-2-3-1 提取計(jì)算依據(jù) （169）3-2-3-2 相關(guān)問(wèn)題、規(guī)定與說(shuō)明 （173）3-2-3-3 例題的計(jì)算 （175）第四章： 冪函數(shù)的積分運(yùn)算 （189）4-1 逆向推導(dǎo)法 （189）4-2 割距遞減法 （212）4-2-1 積分公式的改善 （212）4-2-2 對(duì)計(jì)算依據(jù)的相關(guān)規(guī)定 （215）4-2-3 確定預(yù)先自變數(shù)列的公差h （216）4-2-4 確定微分分割的水平數(shù)m （217）4-2-5

4、例題計(jì)算 （218）第五章： 三角函數(shù)糾錯(cuò) （228）5-1 三角函數(shù)定義的完善 （228）5-2 正弦函數(shù)的原形及其相關(guān)的微積分公式 （230）5-3 獨(dú)特的割線求導(dǎo)法 （233）5-4 正弦函數(shù)的變形及其導(dǎo)函數(shù) （239）第六章： 一般變量的運(yùn)算 （242）6-1 非均勻取點(diǎn)變形法 （242）6-1-1 解題的思路 （242）6-1-2 均勻取點(diǎn)、非均勻取點(diǎn)及取點(diǎn)函數(shù)（244）6-1-3 非均勻取點(diǎn)及其變形效果 （246）6-1-4 四種常用函數(shù)的判別及其最佳取點(diǎn)函數(shù)（246）6-1-4-1 四種常用函數(shù)的判別 （246）6-1-4-2 四種常用函數(shù)的最佳取點(diǎn)函數(shù) （248）6-2 分區(qū)近

5、似降次法 （248）6-2-1 分區(qū)近似降次的思路 （249）6-2-2 分區(qū)近似的降次效果 （249）6-2-3 數(shù)據(jù)誤差的引響與對(duì)策 （252）6-2-4 如何克服互相抵觸的兩對(duì)矛盾 （253）6-2-5 高階分析數(shù)陣 （254）6-2-3 如何確定分區(qū)的大小 （）第七章： 相關(guān)定理及問(wèn)題的證明 （）7-1 冪數(shù)列高階增長(zhǎng)定理的證明（）7-2 關(guān)于有窮數(shù)列有無(wú)窮多通式的證明（）7-3 關(guān)于修改冪定義的想法 （）附件一： 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列表（前11行的前11列）（）附件二： 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表（前10行）（）第一章 問(wèn)題的提出我是一個(gè)自然科學(xué)愛(ài)好者，畢一生之精力要為人類(lèi)作點(diǎn)貢獻(xiàn)。變量運(yùn)算是本人研究的

6、一個(gè)重要方面，并為此耗費(fèi)了近50年的精力，本文主要介紹本人在這方面的研究結(jié)果，希望它能起到拋磚引玉的作用。人類(lèi)其所以有今天的繁榮與進(jìn)步，最重要的是得益于科學(xué)研究。其實(shí)，所謂的科學(xué)研究，無(wú)非就是要找出現(xiàn)實(shí)世界中各種事物的變化規(guī)律，以達(dá)到趨利避害的目的。所以，任何科學(xué)研究，只要我們找出了相關(guān)變量之間的變化規(guī)律（函數(shù)公式），那么，其它問(wèn)題也就變成了解方程。因此，我們可以說(shuō)，數(shù)學(xué)是科學(xué)研究的萬(wàn)能工具，是科學(xué)的科學(xué)，任何科學(xué)研究都可以主要依靠數(shù)學(xué)來(lái)完成。可惜的是，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)還不能完全擔(dān)當(dāng)起這一任務(wù)。眾所周知，現(xiàn)實(shí)世界中的一切事物，無(wú)不可以賦之以量的概念，然，量有常量和變量之分，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)，解決常量問(wèn)題的

7、方法比較成熟，而真正能夠解決現(xiàn)實(shí)世界中變量問(wèn)題的方法，幾乎可以說(shuō)是還沒(méi)有。提到變量運(yùn)算，凡接受過(guò)高等教育的人都會(huì)想到那個(gè)令人敬畏的高等數(shù)學(xué)。據(jù)認(rèn)為，它是專(zhuān)門(mén)處理變量問(wèn)題的數(shù)學(xué)。眾所周知，現(xiàn)實(shí)世界中的一切事物，無(wú)不處在運(yùn)動(dòng)變化之中。我相信，變量問(wèn)題是人們經(jīng)常要遇到的問(wèn)題。因此，高等數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)有很高的應(yīng)用幾率才對(duì)。可事實(shí)卻并非如此，本人曾調(diào)查過(guò)一些學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的人，問(wèn)他們“是否應(yīng)用過(guò)高等數(shù)學(xué)”，他們的回答都是“從來(lái)沒(méi)有應(yīng)用過(guò)”；還有一位數(shù)學(xué)教授問(wèn)他的學(xué)生：“高等數(shù)學(xué)有那些用途”？一位學(xué)生回答說(shuō)：“到現(xiàn)在為止，我還看不出高等數(shù)學(xué)有什么用途”。出現(xiàn)這種情況，根本的原因有兩個(gè)。1 高等數(shù)學(xué)雖列出了一些典型

8、函數(shù)(變量)的運(yùn)算（微積分）公式，但是，如果你不知道原變量(運(yùn)算對(duì)象)的函數(shù)公式，這些運(yùn)算（微積分）公式也就毫無(wú)用處，可惜的是，數(shù)學(xué)上乞今為止，還沒(méi)有真正能夠求（配）變量（函數(shù)）公式的一般性方法。另外，現(xiàn)實(shí)世界中，屬于典型函數(shù)的變量非常罕見(jiàn)。所以，現(xiàn)高等數(shù)學(xué)幾乎成為一門(mén)閑置學(xué)科。2 現(xiàn)高等數(shù)學(xué)主要依靠“極限理論”來(lái)支撐。對(duì)此，我們可以分兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)。其一，“極限理論”所指出的，只是一條解決問(wèn)題的思路，要按照這一思路去解決問(wèn)題 還必須要有實(shí)現(xiàn)這一思路的數(shù)學(xué)方法。打個(gè)比方說(shuō)，你想要到火星去，那么，你必須要有能夠到達(dá)火星的交通工具。其二，根據(jù)“極限理論”所進(jìn)行的所謂推導(dǎo)，其實(shí)只是一種“是似是而非，掩

9、蓋無(wú)能的詭辯”。這無(wú)異是說(shuō)：“你想要到火星去，于是你便來(lái)到了火星上”。因此，我們可以說(shuō)，現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)中的“極限值”，其實(shí)只是猜測(cè)。缺少真正能計(jì)算出“極限值”的數(shù)學(xué)方法，這是現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的又一至命缺陷。3 三角函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，也是高等數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一。然而，不但三角函數(shù)的微積分公式是錯(cuò)誤的，就連它的定義也存在一個(gè)至命的漏洞。針對(duì)高等數(shù)學(xué)的至命缺陷，筆者進(jìn)行了如下方面的研究。1. 尋找描述變量的基本函數(shù)系統(tǒng)。這里所說(shuō)的“描述”就是“代表”的意思。對(duì)變量進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，這是實(shí)現(xiàn)變量運(yùn)算的第一步。沒(méi)有這一步，變量的一切運(yùn)算都將無(wú)法進(jìn)行。對(duì)于這一點(diǎn)，就是常量運(yùn)算也是如此，只不過(guò)，常量可以用一個(gè)

10、特定的常數(shù)來(lái)描述，而變量則必須用函數(shù)來(lái)進(jìn)行描述。冪函數(shù)是人類(lèi)最為熟悉，也是使用最為方便的一類(lèi)函數(shù)，從理論上說(shuō)（即不考慮計(jì)算工作量的問(wèn)題，假定我們可以配出無(wú)窮多項(xiàng)式），用冪函數(shù)可以配出任何數(shù)列的通函（項(xiàng)）公式。所以，我們選擇冪函數(shù)作為描述變量的基本函數(shù)系統(tǒng)（就象我們選擇10進(jìn)制計(jì)數(shù)作為基本計(jì)數(shù)系統(tǒng)一樣）。在遇到無(wú)法或者難于確定函數(shù)公式的變量時(shí)，我們都可以為它配一個(gè)冪通式（我們可以使配出的通式與參加配算的點(diǎn)絕對(duì)相符，但我們不能保證所配通式與未參加配算的點(diǎn)絕對(duì)相符。所以，嚴(yán)格的說(shuō)，所配通式有可能只是近似通式。但只要采取必要的措施，是能夠?qū)⒕_度提高到滿(mǎn)足應(yīng)用要求的。就象我們用有理數(shù)近似無(wú)理數(shù)一樣）。

11、2. 用冪函數(shù)描述現(xiàn)實(shí)世界中的變量（即為現(xiàn)實(shí)世界中的變量配冪函數(shù)通式，以下簡(jiǎn)稱(chēng)通式）?，F(xiàn)已找到的有效方法有行列式法、因變數(shù)列分離法和首數(shù)列分離法三種。該三種方法均可達(dá)到與參加配算的數(shù)據(jù)絕對(duì)相符的效果。但行列式法計(jì)算工作量太大、太復(fù)雜，所以，本書(shū)中將不會(huì)進(jìn)行介紹；因變數(shù)列分離法和首數(shù)列分離法，不但計(jì)算工作量少，而且其計(jì)算僅限于×÷法。如用首數(shù)列分離法配一個(gè)2次3項(xiàng)冪通式（即拋物線公式），僅進(jìn)行4次加或減法運(yùn)算、一次除法運(yùn)算。這比大學(xué)數(shù)學(xué)教材中的最小二乘法（僅限配拋物線公式，還不能保證與參加配算的數(shù)據(jù)絕對(duì)相符，嚴(yán)格的說(shuō)，更本不能算是數(shù)學(xué)方法）簡(jiǎn)單多了。3. 在三角函數(shù)方面，不但

12、補(bǔ)正了它定義上的漏洞，還引入了原形與變形兩種不同的概念，并重新給出了三角函數(shù)的微積分公式。4. 尋找真正能計(jì)算出“極限”值的數(shù)學(xué)方法，這是變量運(yùn)算的關(guān)鍵所在。筆者認(rèn)為，人類(lèi)對(duì)于變量運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，尚處在蒙昧階段，現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)根本就沒(méi)有看到變量運(yùn)算與常量運(yùn)算的異同之處。其理論和技術(shù)上的困難，其實(shí)就是因?yàn)橛贸Ａ窟\(yùn)算的觀點(diǎn)和方法去理解和解決變量問(wèn)題的結(jié)果。因此，筆者根據(jù)變量運(yùn)算的特點(diǎn)，在原函數(shù)（根據(jù)變化量求變化速度時(shí)，原函數(shù)是變化量函數(shù)；反之，根據(jù)變化速度求變化量時(shí)，原函數(shù)是變化速度函數(shù)）與變量運(yùn)算的目的值（即所謂的“極限”）之間，導(dǎo)入一個(gè)預(yù)先函數(shù)，這樣一來(lái)，變量運(yùn)算的目的值=。在微分運(yùn)算中，預(yù)先函數(shù)的

13、自變量是原函數(shù)的自變量x的增量；在積分運(yùn)算中，預(yù)先函數(shù)的自變量是各微分元的x值（即微分元的分割距離）；下限符號(hào)的作用是強(qiáng)調(diào)只有當(dāng)=0時(shí)，的函數(shù)值才是我們要求的所謂“極限值”。這樣一來(lái)，所謂的“極限”也就不存在了。因此，在已知原函數(shù)公式的情況下，微積分公式的推導(dǎo)，也就變成了普通的代數(shù)推導(dǎo)，根本無(wú)須利用其它任何“理論”去掩蓋任何東西。更為重要的是，在未知原函數(shù)公式的情況下，我們可以根據(jù)從原函數(shù)或者預(yù)先函數(shù)提取的數(shù)列直接計(jì)算出所謂的“極限值”（因?yàn)閺脑瘮?shù)或者預(yù)先函數(shù)提取的數(shù)列，攜帶著原函數(shù)或者預(yù)先函數(shù)的變化信息，），而將求（配）原函數(shù)的函數(shù)公式，或者預(yù)先函數(shù)的函數(shù)公式的計(jì)算省略掉，這就大大的減少了

14、計(jì)算的工作量?，F(xiàn)已找到的方法有兩種：1） 自變量變換法；2） 增量遞減法。前者適合于解冪類(lèi)函數(shù)題。其原理是，將要求計(jì)算的點(diǎn)的自變量（例如a）變換到等于0（即令a=0），然后再進(jìn)行計(jì)算（這種方法跟現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)求冪函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)，令=0是一脈相承的）。因?yàn)楫?dāng)自變量等于0時(shí)，冪函數(shù)除常數(shù)項(xiàng)以外的其它項(xiàng)都等于0（即都成為無(wú)效項(xiàng)），所以，我們能夠大大的減少計(jì)算的工作量。后者適合于解一般的函數(shù)題，其原理是，將所謂的“極限值”偶合到由預(yù)先函數(shù)所給定的一個(gè)有窮數(shù)列中（這跟現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)將“極限”表示為一個(gè)無(wú)窮數(shù)列的和，正好相反），然后，根據(jù)已知（非0時(shí)的函數(shù)值）求未知（=0時(shí)的函數(shù)值）。這就是我們進(jìn)行變量運(yùn)算的

15、基本思路。根據(jù)已知求未知，聽(tīng)起來(lái)好象很容易，其實(shí)，還真得費(fèi)一番周折，如，我們要求某變量自變量等于a時(shí)的變化速度，經(jīng)測(cè)量（或者計(jì)算），求得由預(yù)先函數(shù)所給定的有窮數(shù)列為Y0、2、0.5、2.5、4、1、-10.5，其中y0是預(yù)先函數(shù)=0時(shí)的函數(shù)值，即我們要求的“極限值”。因?yàn)閺脑摂?shù)列我們不能直接看出其變化規(guī)律，所以，y0的值我們不能直接確定。但是，如果該數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列（即該數(shù)列的所有數(shù)都相同，如下面變量運(yùn)算示意數(shù)陣的變列3所示），那么，y0的值就很好確定了，它就等于該數(shù)列的其它數(shù)（如下面變量運(yùn)算示意數(shù)陣變列3的未知數(shù)?3，就可以確定為-4）。因此，筆者的解題辦法是，讓該數(shù)列變化起來(lái)（如下面數(shù)陣所

16、示），直到變出一個(gè)常數(shù)列為止。因?yàn)樽兂鲈摮?shù)列的規(guī)則，是由我們主動(dòng)安排的，所以是已知的，因此，我們可以根據(jù)該常數(shù)列（如下面變量運(yùn)算示意數(shù)陣的變列3），及其變出該常列的規(guī)則（下面變量運(yùn)算示意數(shù)陣的變化規(guī)則是，下一列數(shù)是上一列數(shù)相鄰兩數(shù)的后一個(gè)數(shù)減去前一個(gè)數(shù)），逆向計(jì)算出y0的值（如下面變量運(yùn)算示意數(shù)陣，將?3確定為-4后，?2=3.5（-4）=7.5；?1=（-1.5）7.5=-9；Y0=2（-9）=11）。變量運(yùn)算示意數(shù)陣：Y0、 2、 0.5、 2.5、 4、 1、 -10.5。變列1：?1、-1.5、 2、 1.5、 -3、-11.5。變列2：?2、 3.5、-0.5、-4.5、-8.5。

17、變列3：?3、 -4、 -4、 -4。（?1、?2、?3均為不能直接計(jì)算出來(lái)的未知數(shù)）因此，我們可以將增量遞減法的計(jì)算過(guò)程歸納為兩句話：以變求不變；從不變求萬(wàn)變。應(yīng)當(dāng)指出的是，以變求不變的方法并非上面所例舉的一種，而是多種多樣，具體應(yīng)用那一種，或者綜合應(yīng)用那幾種，可以視具體情況而定。下面我們先介紹一下變量運(yùn)算的對(duì)象、內(nèi)容和有關(guān)規(guī)定，然后介紹本書(shū)內(nèi)容的安排。所謂“運(yùn)算對(duì)象”我們可以這樣來(lái)理解，設(shè)我們要根據(jù)a來(lái)求b，那么，我們就稱(chēng)a為運(yùn)算對(duì)象。變量運(yùn)算的對(duì)象有兩個(gè)：1 從變量中提?。y(cè)定或者計(jì)算出）的數(shù)據(jù)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)變量數(shù)據(jù)，又稱(chēng)之為計(jì)算依據(jù)）；2 變量的函數(shù)公式（以下簡(jiǎn)稱(chēng)變量公式，又稱(chēng)之為原函數(shù)）

18、。根據(jù)上述變量運(yùn)算的對(duì)象，變量運(yùn)算的內(nèi)容有如下一些方面：1 求變量數(shù)據(jù)的變量公式；2 求變量公式的變化速度（或速度公式）；3 求變量數(shù)據(jù)的變化速度（或速度公式）；4 根據(jù)變化速度公式（以下簡(jiǎn)稱(chēng)速度公式）求變化量（或變量公式）；5 根據(jù)變化速度數(shù)據(jù)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)速度數(shù)據(jù)）求變化量（或變量公式）。除上述5項(xiàng)外，還有求變量公式或者速度公式的函數(shù)值，但那屬于初等數(shù)學(xué)的范圍，本書(shū)不會(huì)進(jìn)行詳細(xì)介紹。上述1，數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為 “配通函公式”（對(duì)函數(shù)而言）或者 “配.通項(xiàng)公式”（對(duì)數(shù)列而言）。眾所周知，數(shù)學(xué)上對(duì)于一般的運(yùn)算都稱(chēng)之為“求”，而對(duì)上述1的運(yùn)算稱(chēng)為“配”，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)上根本就沒(méi)有真正能計(jì)算出“通函公式”或者

19、“通項(xiàng)公式”的數(shù)學(xué)方法。如高中數(shù)學(xué)教材中的配.通項(xiàng)公式，其實(shí)只是通過(guò)對(duì)數(shù)列的觀察來(lái)判定其通式。當(dāng)然，這只有在數(shù)列具有顯而易見(jiàn)的變化規(guī)律時(shí)才可以作到，否則是無(wú)能為力的；又如，大學(xué)數(shù)學(xué)教材中的最小二乘法（僅限配二次冪公式，即拋物線公式），其實(shí)也不能算是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法。首先，它必須根據(jù)對(duì)變量曲線圖像的觀察來(lái)確定是否屬于二次冪函數(shù)（實(shí)際上就是確定最高項(xiàng)的指數(shù)是否是2，當(dāng)然，這樣的方法，是無(wú)法保證其精確的）；其次，它的計(jì)算，也只是償試性的（所謂“最小二乘”就是針對(duì)二次項(xiàng)的修正措施而言的，其實(shí)，該措施本身也完全是錯(cuò)誤的）。真正的數(shù)學(xué)方法，其指數(shù)多高、系數(shù)多大，都應(yīng)當(dāng)是根據(jù)參加計(jì)算的數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的，一算就準(zhǔn)

20、，無(wú)須進(jìn)行任何方面的修正，本書(shū)所介紹的方法就是這種方法。所以，我們應(yīng)當(dāng)將“配”糾正為“求”。另外，上述1的計(jì)算對(duì)象其實(shí)都是數(shù)列，只不過(guò)它們的自變量是否取前若干號(hào)自然數(shù)的區(qū)別，所以我們將“配通函公式”和配.通項(xiàng)公式，統(tǒng)稱(chēng)為求通函公式，簡(jiǎn)稱(chēng)為求通式上述2，數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為“微分”，意思是求一個(gè)微小的分?jǐn)?shù)的值。而3則數(shù)學(xué)上沒(méi)有名目（當(dāng)然就更不會(huì)有計(jì)算方法了），因?yàn)?和3屬于同類(lèi)計(jì)算，所以，下面我們將2和3統(tǒng)稱(chēng)為微分運(yùn)算。上述4，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為“積分”，意思是將所有微分元du1-積累（加）起來(lái)。而5則數(shù)學(xué)上沒(méi)有名目，因?yàn)?和5屬于同類(lèi)計(jì)算，所以，下面我們將4和5統(tǒng)稱(chēng)為積分運(yùn)算。上述2和4要求的那個(gè)數(shù)（或者公式

21、），數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為 “極限值”（簡(jiǎn)稱(chēng)為“極限”），這是因?yàn)橐?jì)算出上述2所要求的那個(gè)數(shù)，就必須是；而要計(jì)算出上述4所要求的那個(gè)數(shù)，du1-的d就必須是0。因?yàn)楹?u1-兩個(gè)都是沒(méi)有意義的數(shù)，所以無(wú)法直接計(jì)算出來(lái)，故數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為“極限”。至于3和5的運(yùn)算，數(shù)學(xué)上連名目都沒(méi)有，當(dāng)然就更不會(huì)有計(jì)算方法了。而根據(jù)本書(shū)所介紹的方法，上述2、3、4、5要求的那個(gè)數(shù)（或者公式），是可以根據(jù)預(yù)先函數(shù)計(jì)算出來(lái)的。因此，所謂的“極限”已經(jīng)不再存在。所以，下面我們將2、3、4、5要求的那個(gè)數(shù)（或者公式），依次稱(chēng)之為微分值（也可按習(xí)慣稱(chēng)之為導(dǎo)數(shù)）、微分公式（也可按習(xí)慣稱(chēng)之為導(dǎo)函數(shù)）、積分值、積分公式，對(duì)于它們，我們乃可

22、按習(xí)慣稱(chēng)之為極限，只是，此極限非彼“極限”。彼“極限”是一個(gè)“能夠無(wú)限接近，但永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到，更不允許超過(guò)”的數(shù)；而此極限僅僅只是一個(gè)需要經(jīng)過(guò)計(jì)算來(lái)能確定的未知數(shù)。下面是以下各章內(nèi)容的安排。本書(shū)第二章用冪函數(shù)描述相關(guān)變量介紹的是求變量數(shù)據(jù)的冪通式的方法。其內(nèi)容包括：1 提取計(jì)算依據(jù)所要尊守的規(guī)則和需要注意的問(wèn)題；2 需要用到的定理、推理及輔助工具（標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列表和標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表）；3 具體的處理措施和計(jì)算方法（重點(diǎn)介紹自變量變換法和增量遞減法。）。在介紹具體的處理措施和計(jì)算方法時(shí)，我們采用了由特定到一般、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，繩序漸進(jìn)的介紹方法。這里應(yīng)當(dāng)指出的是，“特定”、“簡(jiǎn)單”的變量，現(xiàn)實(shí)世界中是十

23、分罕見(jiàn)的，甚至有可能根本就沒(méi)有。我們介紹求“特定”、“簡(jiǎn)單”變量?jī)缤ㄊ降臄?shù)學(xué)方法，主要是為了導(dǎo)出求“一般”、“復(fù)雜”變量?jī)缤ㄊ降臄?shù)學(xué)方法，因此，在學(xué)習(xí)時(shí)，求“特定”、“簡(jiǎn)單”變量?jī)缤ㄊ降臄?shù)學(xué)方法，一樣應(yīng)當(dāng)認(rèn)真學(xué)習(xí)、仔細(xì)領(lǐng)會(huì)。只有真正領(lǐng)會(huì)了求“特定”、“簡(jiǎn)單”變量?jī)缤ㄊ降臄?shù)學(xué)方法，才能更好的領(lǐng)會(huì)求“一般”、“復(fù)雜”變量?jī)缤ㄊ降臄?shù)學(xué)方法。本書(shū)第三章冪函數(shù)的微分運(yùn)算。介紹的是冪函數(shù)這一特定類(lèi)型變量的微分運(yùn)算方法。其內(nèi)容包括：1 將現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)中的“微分表示式”改造（取消“極限”，導(dǎo)入預(yù)先函數(shù)）成微分運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型；2 從微分運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出冪函數(shù)微分運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法；本書(shū)第四章冪函數(shù)的積分運(yùn)算。介紹

24、的是冪函數(shù)這一特定類(lèi)型變量的積分運(yùn)算方法。其內(nèi)容包括：1. 從微分運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出積分運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型；2 將冪函數(shù)微分運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法，推廣到冪函數(shù)的積分運(yùn)算中。本書(shū)第五章三角函數(shù)糾錯(cuò)。其內(nèi)容包括：1 指出三角函數(shù)的三大錯(cuò)誤；2 糾正三角函數(shù)的定義；3 引入原形與變形的概念，給出原形與變形及其相關(guān)的微積分公式。4 介紹一種獨(dú)特的割線求導(dǎo)方法。本書(shū)第六章一般變量的運(yùn)算。其內(nèi)容包括：1 采用變形的方法將不方便計(jì)算的變量轉(zhuǎn)變成方便計(jì)算的變量。2 在允許一定量誤差的情況下（在現(xiàn)實(shí)世界中，任何計(jì)算都是允許一定量誤差的）采用密集取點(diǎn)、分段計(jì)算的辦法以簡(jiǎn)化計(jì)算。本書(shū)第七章相關(guān)定理及問(wèn)題的證明。其內(nèi)容包括：1

25、 給出高階增長(zhǎng)定理的證明（它是用冪函數(shù)描述相關(guān)變量的關(guān)鍵性定理）；2 對(duì)幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的異議。這是一片資源極為豐富的數(shù)學(xué)新大陸；這是一座可以使人類(lèi)受益無(wú)窮的數(shù)學(xué)寶藏。正在等待著人類(lèi)去開(kāi)發(fā)、去發(fā)掘。本人的研究，還只是剛剛踏上這一片新大陸；還只是剛剛推開(kāi)這座寶藏的大門(mén)。我寫(xiě)這本書(shū)的目的，是希望它能激發(fā)讀者研究數(shù)學(xué)的熱情，將自已的聰明才智貢獻(xiàn)給人類(lèi)。由于水平所限，錯(cuò)誤和不當(dāng)之處一定很多，懇請(qǐng)讀者不吝指正。第二章 用冪函數(shù)描述變量要用數(shù)學(xué)來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界中形形色色的變量，首先就必須要用數(shù)學(xué)公式來(lái)對(duì)它們進(jìn)行描述（即用數(shù)學(xué)公式來(lái)代表它們），否則，一切都是不可能的。數(shù)學(xué)上，用來(lái)描述變量的公式被稱(chēng)之為函數(shù)；對(duì)于可

26、以描述某一具體變量的函數(shù)公式，我們將其簡(jiǎn)稱(chēng)之為通式。冪函數(shù)是人類(lèi)最為熟悉，也是應(yīng)用最為方便的一類(lèi)函數(shù)，如果不考慮通式的復(fù)雜程度，它們可以對(duì)任何變量進(jìn)行描述。因此，我們將冪函數(shù)作為描述變量的基本函數(shù)類(lèi)(就象我們將十進(jìn)制計(jì)數(shù)作為基本計(jì)數(shù)制一樣)。對(duì)于一個(gè)具體的變量來(lái)說(shuō)，我們可以用一個(gè)什么樣的冪函數(shù)來(lái)描述它，這需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的計(jì)算才能知道。這一章就來(lái)講述如何求變量的冪通式的問(wèn)題。2-1 提取計(jì)算依據(jù)提取計(jì)算依據(jù)是求通式的第一步，只有提取了符合要求的計(jì)算依據(jù)，才有可能求出符合要求的通式。2-1-1 對(duì)計(jì)算依據(jù)的有關(guān)規(guī)定所謂計(jì)算依據(jù)，就是求相關(guān)變量通式所需要的數(shù)據(jù)。計(jì)算依據(jù)包括自變量的數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)的因變量

27、的數(shù)據(jù)。自變量是我們能夠自主掌握的量，而因變量則是由自變量來(lái)確定的量。例如，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，我們要研究某種作物的產(chǎn)量與某種肥料的關(guān)系，施用多少肥料是我們能夠自主掌握的，它是自變量；而該種作物的產(chǎn)量則是由肥料的多少來(lái)確定的，它是因變量。又如，我們要研究鋼鐵的硬度與含碳量的關(guān)系，在鋼鐵中參入多少碳是我們能夠自主掌握的，它是自變量；而鋼鐵的硬度是由參入多少碳來(lái)確定的，它是因變量。由自變數(shù)據(jù)組成的數(shù)列，我們稱(chēng)之為自變數(shù)列，記為X0M。即：X0M =X0、X1、X2、X3、XM。M為任意正整數(shù)，下標(biāo)0-M是各數(shù)項(xiàng)的序號(hào)，X0稱(chēng)之為自變數(shù)列的首項(xiàng)；由因變數(shù)據(jù)組成的數(shù)列，我們稱(chēng)之為因變數(shù)列，記為Y0M。即：Y

28、0M =Y0、Y1、Y2、Y3、YM。 M為任意正整數(shù)，下標(biāo)0-M是各數(shù)項(xiàng)的序號(hào)，Y0稱(chēng)之為因變數(shù)列的首項(xiàng)。對(duì)于完整的計(jì)算依據(jù)我們記之為。在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中，對(duì)通項(xiàng)公式是這樣定義的：“如果數(shù)列AN的第N項(xiàng)AN與N之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式”。根據(jù)這個(gè)定義，各數(shù)項(xiàng)的序號(hào)即自變數(shù)列。而本文中自變數(shù)列與序號(hào)是不能混為一談的，自變數(shù)列是因變數(shù)列變化的原因，而序號(hào)僅決定各數(shù)項(xiàng)的先后次序，沒(méi)有其他作用。但自變數(shù)列也可以是0和1、2、3、M等前M個(gè)自然數(shù)。故本文中，如果沒(méi)有指明是自變數(shù)列(含自變數(shù)列和X0-M)或因變數(shù)列(含因變數(shù)列和Y0-M)則所稱(chēng)的數(shù)列實(shí)際上

29、是略去了自變數(shù)列的因變數(shù)列。用本文的方法求冪通式，必須按自變量等差提取計(jì)算依據(jù)，(即自變數(shù)列必須是一個(gè)等差數(shù)列)。如列2-1-12-1-4所示：例2-1-1： X04= 0、1、2、3、4；例2-1-2： X05= 2、5、8、11、14、17；例2-1-3： X05= 3、15、27、39、51、63；例2-1-4： X0M= C、C+H、C+2H、C+3H、C+MH。例2-1-4是因變數(shù)列的一般形式，C為自變數(shù)列的首項(xiàng)，它可以是任意常數(shù)，但在通式中，我們會(huì)把它調(diào)整為0；H是自變數(shù)列的公差可以是大于0的任意常數(shù)，但是，為了計(jì)算和通式應(yīng)用的方便，應(yīng)當(dāng)取整數(shù)；M為自然數(shù)，它是數(shù)列中數(shù)項(xiàng)的序號(hào)。因

30、變數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)與自變數(shù)列一一對(duì)應(yīng)，如下面表2-1-1、2-1-2所示表2-1-1：通式計(jì)算依據(jù)表一(數(shù)字來(lái)自于正弦函數(shù)表)X06X0X1X2X3X4X5X60度15度30度45度60度75度90度Y06Y0Y1Y2Y3Y4Y5Y60.000000.258220.500000.707110.866030.965921.00000表2-1-2：通式計(jì)算依據(jù)表二(一般形式)X0M X0X1X2X3XMCC+HC+2HC+3HC+MHY0-M Y0Y1Y2Y3YM表2-1-2中的Y0、Y1、Y2、Y3、YM均是在實(shí)驗(yàn)中所測(cè)定的因變數(shù)據(jù)，其它字母上面已經(jīng)定義過(guò)，這里不再重復(fù)。作為計(jì)算依據(jù)的所有數(shù)字，必須盡可

31、能的精確，無(wú)理數(shù)必須舍入成有理數(shù)，最好是十進(jìn)制數(shù)字。若含有分?jǐn)?shù)，計(jì)算時(shí)將增加大量的通約分運(yùn)算；若含有無(wú)理數(shù)，大量的運(yùn)算結(jié)果只能用符號(hào)和復(fù)雜的算式來(lái)表示。這樣的通式不要說(shuō)應(yīng)用，就是想要驗(yàn)算一下它的正確性都是不可能的。2-1-2 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的選擇作為計(jì)算依據(jù)的數(shù)據(jù)，有可能直接來(lái)自于測(cè)量，也有可能來(lái)自于科學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于提取計(jì)算依據(jù)的這兩類(lèi)點(diǎn)，按理說(shuō)，前者應(yīng)稱(chēng)為測(cè)量點(diǎn)，后者應(yīng)稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但為了敘述的方便，這里我們統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)最重要的是，不能把研究目標(biāo)丟失在實(shí)驗(yàn)區(qū)間之外。設(shè)A、B、C、D、為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的順序(請(qǐng)參閱圖2-1-1)，最好是A點(diǎn)就選在了研究目標(biāo)上，不過(guò)，在未作實(shí)驗(yàn)之前，我們是不知道研究目標(biāo)

32、在什么地方的。只能夠憑估計(jì)來(lái)確定。既是估計(jì)就不一定正確。所以，安排B點(diǎn)時(shí)還要進(jìn)行第二次估計(jì)，爭(zhēng)取使究目標(biāo)落在A、B兩點(diǎn)之間(如圖2-1-1所示，)，如果A、B兩點(diǎn)的因變量相等，則說(shuō)明研究目標(biāo)在A、B兩點(diǎn)之間，按自變量等差的原則，以A、B兩點(diǎn)為中心增加若干實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，以滿(mǎn)足計(jì)算的要求。若A、B兩點(diǎn)的因變量不相等(如圖2-1-2所示)，則按自變量等差的原則，在因變量較大的點(diǎn)的外側(cè)追加實(shí)驗(yàn)點(diǎn)(故圖2-1-2中C點(diǎn)選在B點(diǎn)右邊，D點(diǎn)也選在C點(diǎn)右邊)，如果因變量開(kāi)始變小(圖2-1-2中是D點(diǎn)的因變量已小于C點(diǎn))，則說(shuō)明研究目標(biāo)已包括在實(shí)驗(yàn)區(qū)間之內(nèi)，如果還需要增加實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，則選在起點(diǎn)(自變量最小的點(diǎn))與末點(diǎn)(自

33、變量最大的點(diǎn))之中，因變量較大的點(diǎn)的外側(cè)(圖2-1-2中D點(diǎn)的因變量大于A點(diǎn)，圖2-1-1：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)選擇示意圖1(A、B、E為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的順序)圖2-1-2：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)選擇示意圖2(A、B、F為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的順序)故E點(diǎn)乃選在D點(diǎn)的右邊，而E點(diǎn)的因變量小于A點(diǎn)，故F點(diǎn)選在A點(diǎn)外側(cè)，即左邊)。2-1-3 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的多少需要多少個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)才能求出相關(guān)變量的冪通式，這是一個(gè)非常重要的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，變量的通式越復(fù)雜，所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就越多，以求冪通式為例，若相關(guān)變量的通式為F(X)=A1XN+A2XN-1+A3XN-2+AN-1X2+ANX+C(A1、A2、AN均為有理數(shù)，N為正整數(shù)，C為常數(shù))，則所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為N+

34、1個(gè)，(即只少需要N+1個(gè)點(diǎn)才能確定一條N次冪曲線，也就是必須滿(mǎn)足Y0-M的MN的條件)，如果少于N+1個(gè)，所求出的通式雖然乃能與參加計(jì)算的所有數(shù)據(jù)都相符，但它卻并不一定就是該變量的真正通式，很可能只是實(shí)驗(yàn)區(qū)間(從自變量最小的點(diǎn)到自變量最大的點(diǎn)之間的區(qū)域)的一個(gè)近似公式(這是因?yàn)檫^(guò)任何一組點(diǎn)都有無(wú)窮多條曲線，而這無(wú)窮多條曲線中，最高項(xiàng)的指數(shù)不大于N的冪曲線卻只有唯一的一條)，它與實(shí)驗(yàn)區(qū)內(nèi)的其他點(diǎn)不一定全都相符，特別是離開(kāi)實(shí)驗(yàn)區(qū)間后，會(huì)與真正變量的曲線分道揚(yáng)鑣。但是，這種近似公式較之于精確公式卻要簡(jiǎn)單得多。并且，只需踩起簡(jiǎn)單措施，就可以將實(shí)驗(yàn)區(qū)間內(nèi)的誤差限制在允許的范圍之內(nèi)。因此，這種近似公式完

35、全能夠滿(mǎn)足應(yīng)用的要求。對(duì)于高度復(fù)雜的通式，計(jì)算所需的工作量會(huì)非常大，甚至?xí)鋈祟?lèi)的承受能力，更重要的是，應(yīng)用起來(lái)會(huì)更加困難。我相信，一個(gè)10次以上的冪通式，想要驗(yàn)算一下它的正確性都是十分困難的；另外，在科研中，無(wú)論是自變數(shù)據(jù)還是因變數(shù)據(jù)，都是由測(cè)量來(lái)確定的，而測(cè)量是沒(méi)有精確值可言的，根據(jù)不精確的數(shù)據(jù)求出來(lái)的通式，當(dāng)然也就只是近似通式；再者，現(xiàn)實(shí)世界中，真正屬于典型函數(shù)類(lèi)型的變量，也許根本就不存在。就拿我們地球上落體的軌跡來(lái)說(shuō)吧，其實(shí)它也并不是一條嚴(yán)格的拋物線。平時(shí)我們說(shuō)它是拋物線，這是在兩個(gè)假定之下說(shuō)的。其一是假定它在下落的過(guò)程中其重量不會(huì)發(fā)生變化，即假定它的下落是勻加速運(yùn)動(dòng)；其二是假定它是

36、在真空中下落的，即忽略了空氣的阻力。實(shí)際上，因?yàn)槿f(wàn)有引力的強(qiáng)弱與兩質(zhì)點(diǎn)的距離的平方成反比。所以，地球上的任何物體，在高空中的重量較之于地面要小，在下落的過(guò)程中它的重量會(huì)逐步加大。這就是說(shuō)，它下落的速度不是勻加速。所以，地球上落體的軌跡決不會(huì)是一條嚴(yán)格的拋物線。再說(shuō)，乞今為止，人類(lèi)還沒(méi)有在宇宙中找到真正的真空，即便是在實(shí)驗(yàn)室中也無(wú)法創(chuàng)造出真正的真空。物體下落時(shí)，空氣對(duì)它的阻力，與它本身的速度有關(guān)，與空氣的密度有關(guān)，與它比重的大小有關(guān)，。所以，地球上落體的軌跡因物而異，但全都是極為復(fù)雜的曲線。我認(rèn)為，現(xiàn)實(shí)世界中，極大多數(shù)變量的曲線都是極為復(fù)雜的，這種極為復(fù)雜的曲線，無(wú)論你用何種類(lèi)型的通式來(lái)描述它，

37、都是無(wú)窮多項(xiàng)式(就象實(shí)數(shù)系中存在無(wú)窮多的無(wú)理數(shù)一樣)。而我們?nèi)祟?lèi)所能完成的，永遠(yuǎn)只能是有限。所以要求出真正的精確通式，幾乎是不可能的，因此，我們應(yīng)當(dāng)考慮使用近似公式的問(wèn)題。前面我們已經(jīng)指出，10項(xiàng)以上的通式，應(yīng)用起來(lái)會(huì)十分困難，近似公式又能夠滿(mǎn)足應(yīng)用的要求。所以，我認(rèn)為，如果沒(méi)有特別的需要，參加計(jì)算的數(shù)據(jù)可限制在10對(duì)以下(即M10)。在這個(gè)限度之內(nèi)，如果你要求公式的近似程度高，可使用較多的計(jì)算數(shù)據(jù)；如果你要求通式較簡(jiǎn)單，可使用較少的計(jì)算數(shù)據(jù)。2-1-3 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的疏密實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的疏密應(yīng)視具體情況而定。這里我們分兩種情況講。1 如果變量的通式屬于典型類(lèi)型，且簡(jiǎn)單，計(jì)算數(shù)據(jù)又絕對(duì)精確，能求出精確通式，

38、實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的疏密無(wú)關(guān)緊要。只不過(guò)，這種情況是極為罕見(jiàn)的。一般來(lái)說(shuō)，可能會(huì)帶有測(cè)量的誤差和舍入的誤差。這種誤差的大小會(huì)出現(xiàn)在一定的范圍之內(nèi)，我們可以把它們看成是一些恒定量。因此我們可以通過(guò)加大各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之間的間距(即加大自變數(shù)列的公差)來(lái)降低誤差在計(jì)算依據(jù)中的比值，這樣求出來(lái)的通式要精確一些。2 如果變量的通式很復(fù)雜，甚至是無(wú)窮多項(xiàng)式，那么，我們是無(wú)法求出它的精確通式的。所以，我們只能為它求一個(gè)近似通式。求這種近似通式，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的分布越密，其近似程度就越高?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，如果一開(kāi)始就以很高的密度安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，有可能需要很多次實(shí)驗(yàn)才能將研究目標(biāo)鎖定，這就有點(diǎn)不合算了。解決的辦法是先用較大的距離安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)(如

39、圖2-1-3、2-1-4所示)，鎖定研究目標(biāo)后，再以因變量最大的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)(可以是一個(gè)點(diǎn)，也可以是兩個(gè)點(diǎn)，圖2-1-3中，除加密的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)外，C是因變量最大的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，圖2-1-4中，除加密的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)外，A和B都是因變量最大的實(shí)驗(yàn)點(diǎn))為中心，兩邊各追加若干個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行加密(未標(biāo)注字母的為加密的實(shí)驗(yàn)點(diǎn))。計(jì)算時(shí)，對(duì)于不再符合自變量等差的數(shù)據(jù)一律不再使用(圖2-1-3中A、E、F都是不再使用的點(diǎn)，圖2-1-4中，E是不再使用的點(diǎn))。圖2-1-3：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)加密示意圖1(未標(biāo)注字母的為加密的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)) 圖2-1-4：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)加密示意圖2(未加注字母的為加密的實(shí)驗(yàn)點(diǎn))(鏈接：反回目錄.doc)2-2 冪數(shù)列高階增長(zhǎng)定理

40、在第一章中，我們已經(jīng)指出，用冪函數(shù)可以求出任何有窮數(shù)列的通式。因此，求冪通式時(shí)，我們可以認(rèn)為，任何有窮數(shù)列都是由某一冪函數(shù)所給定的，故可將其稱(chēng)之為冪數(shù)列。這里，我們首先作一個(gè)這樣的規(guī)定：由同一個(gè)數(shù)組成的數(shù)列(如0.3、0.3、0.3、；1、1、1、；2、2、2、；A、A、A、；。等等，A為任意實(shí)數(shù))我們稱(chēng)之為常數(shù)列任何數(shù)列，只要它不是常數(shù)列，就都會(huì)有增長(zhǎng)數(shù)列。如，例2-2-1：數(shù)列0、2、4、6、8、10、12、14、。我們將它的后一數(shù)減去前一數(shù)，20=2；42=2；64=2；86=2；108=2；1210=2；1412=2；就得到它的增長(zhǎng)數(shù)列：2、2、2、2、2、。又如，例2-2-2：數(shù)列4

41、、6、12、28、60、114、196、。我們將它的后一數(shù)減去前一數(shù)，64=2；126=6；2812=16；6028=32；11460=54； 196114=82；就得到它的增長(zhǎng)數(shù)列：2、6、16、32、54、82、。象例2-2-1的增長(zhǎng)數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列，所以它不再有增長(zhǎng)數(shù)列，象這種情況，我們就稱(chēng)該數(shù)列只有一階增長(zhǎng)數(shù)列。但象例2-2-2，它的增長(zhǎng)數(shù)列又有增長(zhǎng)數(shù)列。它的增長(zhǎng)數(shù)列的增長(zhǎng)數(shù)列還有增長(zhǎng)數(shù)列。象這種有多階增長(zhǎng)數(shù)列的情況，我們分別將各階增長(zhǎng)數(shù)列依次稱(chēng)之為第一階增長(zhǎng)數(shù)列、第二階增長(zhǎng)數(shù)列、第三階增長(zhǎng)數(shù)列、第N階增長(zhǎng)數(shù)列(N為自然數(shù))。為便于計(jì)算和分析，我們應(yīng)當(dāng)把因變數(shù)列和各階增長(zhǎng)數(shù)列排列成數(shù)陣

42、的形式，例2-2-2排列成的數(shù)陣如下：因 變 數(shù) 列： 4、 6、12、28、60、114、196、。第一階增長(zhǎng)數(shù)列： 2、 6、16、32、54、 82、。第二階增長(zhǎng)數(shù)列： 4、10、16、22、28、。第三階增長(zhǎng)數(shù)列： 6、 6、 6、 。象這種數(shù)陣，按數(shù)學(xué)習(xí)慣，似應(yīng)稱(chēng)之為高階等差數(shù)陣，但是，為了強(qiáng)調(diào)求增長(zhǎng)數(shù)列時(shí)，是自變量較大的因變量減去自變量較小的因變量，所以，這里將其稱(chēng)之為高階增長(zhǎng)數(shù)陣。冪數(shù)列高階增長(zhǎng)定理：設(shè)數(shù)列Y0-M是由單項(xiàng)冪函數(shù)F(X)=AXN所給定的，其自變數(shù)列的公差為H，則它的第N階增長(zhǎng)數(shù)列是一個(gè)由AHNN！給出的常數(shù)列(A為任意常數(shù)，H為大于0的任意常數(shù)， N為任意正整數(shù)，

43、M為不小N的任意正整數(shù)，N！是N的階乘)。該定理是求冪通式的根據(jù)。因其證明的編幅較大，故將在后面另辟章節(jié)。2-3 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表利用標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表為輔助工具求冪通式，可以大大的減少計(jì)算工作量。附表二是該表的前11行。該表一個(gè)非常明顯的特征是，它的任何一行都比它的前一行多一階數(shù)，又比它的后一行少一階數(shù)，決不會(huì)出現(xiàn)有相同階數(shù)的行。有該10行表，可求出任何一個(gè)不高于10次的冪通式，或者任何一個(gè)不多于11個(gè)數(shù)項(xiàng)的數(shù)列的冪通式(不多于11個(gè)數(shù)項(xiàng)的數(shù)列只少會(huì)有一個(gè)不高于10次的冪通式)。這對(duì)于解決生產(chǎn)和科研中的大多數(shù)求通式問(wèn)題，已經(jīng)夠用。如有必要，該表可以無(wú)限延伸。下面我們來(lái)介紹標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表中的數(shù)

44、字是如何確定的。我們已經(jīng)知道，對(duì)于任何一個(gè)數(shù)列來(lái)說(shuō)，有可能會(huì)有多階增長(zhǎng)數(shù)列。對(duì)于各階增長(zhǎng)數(shù)列的第一數(shù)項(xiàng)(如上述例2-2-2第一階增長(zhǎng)數(shù)列的2，第二階增長(zhǎng)數(shù)列的4，第三階增長(zhǎng)數(shù)列的6)，我們將其簡(jiǎn)稱(chēng)之為首數(shù)，由各階增長(zhǎng)數(shù)列的首數(shù)組成的數(shù)列，我們簡(jiǎn)稱(chēng)為首數(shù)列。首數(shù)列的最后一個(gè)首數(shù)(即最高階增長(zhǎng)數(shù)列的首數(shù))我們簡(jiǎn)稱(chēng)為最高首數(shù)。如例2-2-2的首數(shù)列是：2、4、6。其中6是最高首數(shù)。對(duì)于系數(shù)為1的單項(xiàng)冪函數(shù)F(X)=1XN=XN (N取全體正整數(shù))我們稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)冪函數(shù)。對(duì)于由標(biāo)準(zhǔn)冪函數(shù)所給出的數(shù)列，且其自變數(shù)列的首項(xiàng)為0，公差為1，則我們將其稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列。附表一是標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列表前11行的前11列。標(biāo)

45、準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表中的各行數(shù)字，依次是各標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列的首數(shù)列。如F(X)=X1的標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列是(見(jiàn)附表一1行)：0、1、2、3、4、5、6、7、。它只有一階增長(zhǎng)數(shù)列：1、1、1、1、1、1、1、。所以，它的首數(shù)列只有一個(gè)數(shù)項(xiàng)1。所以，標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表的1行，只有第一列(即一階)有一個(gè)數(shù)1。又如F(X)=X2的標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列是(見(jiàn)附表一2行)：0、1、4、9、16、25、36、49、。它的第一階增長(zhǎng)數(shù)列是1、3、5、7、9、11、13、。它的第二階增長(zhǎng)數(shù)列是2、2、2、2、2、2、。它有兩階增長(zhǎng)數(shù)列, 第一階增長(zhǎng)數(shù)列的首數(shù)是1，第二階增長(zhǎng)數(shù)列的首數(shù)是2，其首數(shù)列是：1、2。所以，標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表的2行，第一

46、列(一階)有一個(gè)數(shù)字1，第二列(二階)有一個(gè)數(shù)字2。再如F(X)=X3的標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列是(見(jiàn)附表一的3行)：0、1、8、27、64、125、216、343、。它有三階增長(zhǎng)數(shù)列,其首數(shù)列是：1、6、6。所以，標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表3行的前三列分別有1、6、6三個(gè)數(shù)字。余可類(lèi)推。2-4 將自變數(shù)列的首項(xiàng)調(diào)整為0將自變數(shù)列的首項(xiàng)調(diào)整為0，是使用標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表求冪通式的必要條件。故該是大大減少計(jì)算工作量的決定性措施。我們知道，0的任何次冪都等于0。因此，我們只要確定了自變量為0的因變量，也就是確定了通式的常數(shù)項(xiàng)。換句話說(shuō)，自變量為0的因變量，就是通式的常數(shù)項(xiàng)。如的冪通式的常數(shù)項(xiàng)是4。又如的冪通式的常數(shù)項(xiàng)是3。

47、一般來(lái)說(shuō)，的通式的常數(shù)項(xiàng)等于Y0，上述數(shù)列中，H為大于0的任意常數(shù)，M為任意正整數(shù)，Y0、Y1、Y2、Y3、YM均可為任意常數(shù)。要使自變數(shù)列的首項(xiàng)為0，最簡(jiǎn)單的辦法是，提取計(jì)算依據(jù)時(shí)，將0作為自變數(shù)列的首項(xiàng)。如：例2-4-1 X0-5=0、1、 2、 3、 4、 5；例2-4-2 X0-5=0、2、 4、 6、 8、10；例2-4-3 X0-5=0、3、 6、 9、12、15；例2-4-4 X0-M=0、H、2H、3H、MH。例2-4-4是自變數(shù)列的首項(xiàng)為0的一般形式。H可以是大于0的任意常數(shù)，M為自然數(shù)。在現(xiàn)實(shí)中，有些變量是無(wú)法取0的；還有一些變量，雖然可以取0，但會(huì)增加確定數(shù)據(jù)或者計(jì)算的難

48、度。如，若我們以時(shí)間為自變量，它是沒(méi)有絕對(duì)起點(diǎn)的，所以我們是無(wú)法取絕對(duì)0值的；又如，求近似通式時(shí)，為了提高研究目標(biāo)附近區(qū)域的精確度，我們應(yīng)當(dāng)將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)盡可能的安排在研究目標(biāo)的附近區(qū)域(請(qǐng)參閱2-1-4 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的疏密一節(jié))。這樣，我們也就不能將0作為自變數(shù)列的首項(xiàng)了；再如，我們要研究某種肥料與農(nóng)作物產(chǎn)量的關(guān)系，而該種肥料土壤中是能夠供應(yīng)一部分的，若只以施用的肥料為自變量，自變數(shù)據(jù)就可以隋意確定，若要將土壤中供應(yīng)的部分也算作自變量，那就要首先確定土壤中供應(yīng)了多少該種肥料，這就要困難得多了。出現(xiàn)這種不能或不宜將0作為自變數(shù)列的首項(xiàng)時(shí)，那我們就只能將自變數(shù)列的首項(xiàng)調(diào)整為0。如X0-6=3、5、7、9、1

49、1、13、15，我們可以把它調(diào)整為X0-6=33、53、73、93、113、133、153=0、2、4、6、8、10、12。又如X0-6=4、7、10、13、16、19、22，我們可以把它調(diào)整為X0-6=44、74、104、134、164、194、224=0、3、6、9、12、15、18。一般，若X0-M=C、C+H、C+2H、C+3H、C+MH，我們可以把它調(diào)整為X0-M=CC、C+HC、C+2HC、C+3HC、C+MHC=0、H、2H、3H、MH。這里應(yīng)當(dāng)指出的是，根據(jù)調(diào)整后的自變數(shù)據(jù)求出的通式，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)調(diào)整的過(guò)程，使它與原題的自變數(shù)據(jù)相符。如，它的冪通式是F(X)=X3X2+2X+4，若

50、它的自變數(shù)列并非0、1、2、3、4、5、6、7，而是3、4、5、6、7、8、9、10，即，若我們將它的自變數(shù)列調(diào)整為X0-7=33、43、53、63、73、83、93、103。經(jīng)調(diào)整后求出的通式應(yīng)寫(xiě)成F(X3)= (X3)3(X3)2+2(X3)+4。這樣才能使通式與原自變數(shù)列相符。一般來(lái)說(shuō)，若自變數(shù)列沒(méi)有進(jìn)行過(guò)調(diào)整，其冪通式的形式為F(X)=A1XN+A2XN-1+A3XN-2+AN-1X2+ANX+D,若自變數(shù)列進(jìn)行過(guò)調(diào)整，則冪通式的形式為F(XX0)=B1(XX0)N+B2(XX0)N-1+B3(XX0)N-2+BN-1(XX0)2+BN(XX0)+Y0。上述兩式中，N為自然數(shù)， X0是

51、自變數(shù)列的首項(xiàng)，Y0是因變數(shù)列的首項(xiàng)，其余數(shù)字均由計(jì)算確定。這里我們還要指出一點(diǎn)，對(duì)自變數(shù)列進(jìn)行調(diào)整，實(shí)際上就是把自變數(shù)列的各數(shù)項(xiàng)同時(shí)縮小(或增大)若干量，因?yàn)樽宰償?shù)列發(fā)生了變化，所以其通式也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。如的通式是F(X)= X3-10X2+35X-38。而的通式是F(X)=X3-X2+2X+4。上述兩例，因變數(shù)列相同，自變數(shù)列不同，可以認(rèn)為，后者是由前者對(duì)自變數(shù)列進(jìn)行調(diào)整而來(lái)。它們的通式與因變數(shù)列都能絕對(duì)相符，但若按前者的自變數(shù)列進(jìn)行計(jì)算，不能利用標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列首數(shù)表對(duì)因變數(shù)列的首數(shù)列進(jìn)行直接分離。所以，其計(jì)算的工作量要大得多。當(dāng)然，我們也可以編一個(gè)適合題目的首數(shù)表對(duì)因變數(shù)列的首數(shù)列進(jìn)行直

52、接分離。不過(guò)，這樣作就必須給每一個(gè)計(jì)算題都建一個(gè)首數(shù)表。這不但不能減少計(jì)算工作量，反而會(huì)增加計(jì)算工作量。2-5 冪函數(shù)的系數(shù)與其數(shù)列的關(guān)系對(duì)于一般冪函數(shù)來(lái)說(shuō)，有可能它是一個(gè)多項(xiàng)式。對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)冪函數(shù)來(lái)說(shuō)，我們可以把它的各項(xiàng)都看成是一個(gè)獨(dú)立的函數(shù)，所以，在研究?jī)绾瘮?shù)的系數(shù)與其數(shù)列的關(guān)系時(shí)，我們只須考慮單項(xiàng)式的情況。設(shè)Y0-M=Y0、Y1、Y2、YM(M為數(shù)項(xiàng)的序號(hào)，可以是任何正整數(shù)，下同)是由單項(xiàng)冪函數(shù)F(X)=AXN(系數(shù)A為任意常數(shù)，指數(shù)N為任意正整數(shù))所給定的一個(gè)數(shù)列，若A=1，且自變數(shù)列的首項(xiàng)為0、公差為1，則它是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列，必定與標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列表標(biāo)注指數(shù)N的一行相符。若A1，則上述數(shù)列

53、變成Y0-M=A(Y0、Y1、Y2、YM)=AY0、AY1、AY2、AY3、AYM。對(duì)應(yīng)的各數(shù)項(xiàng)同時(shí)擴(kuò)大或縮小A倍(當(dāng)A1時(shí)是擴(kuò)大，反之是縮小)。因此，當(dāng)自變數(shù)列符合標(biāo)準(zhǔn)條件時(shí)，我們有式2-5-1：A=。(即各對(duì)應(yīng)數(shù)項(xiàng)的除商都等于A)我們知道，若BC=D，則ABAC=AD。所以，因變數(shù)列的各階增長(zhǎng)數(shù)列都會(huì)擴(kuò)大或縮小A倍。這也就是說(shuō)，構(gòu)成它的增長(zhǎng)數(shù)陣的所有數(shù)項(xiàng)都會(huì)擴(kuò)大或縮小A倍。因此，當(dāng)自變數(shù)列符合標(biāo)準(zhǔn)條件時(shí)，我們又有式2-5-2：A=；(即各對(duì)應(yīng)數(shù)項(xiàng)的除商都等于A)還有式2-5-3：A=。根據(jù)冪數(shù)列高階增長(zhǎng)定理：因變數(shù)列的最高首數(shù)=AHNN！。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列的系數(shù)A=1，自變數(shù)列的公差H=1。所以，標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列的最高首數(shù)=1×1NN!=N!.因此，當(dāng)自變數(shù)列符合標(biāo)準(zhǔn)條件時(shí)，又有式2-5-4：A=。當(dāng)自變數(shù)列的公差H1時(shí)則有式2-5-5：A=。該式與上式相比較，僅僅是分母增加了一個(gè)HN的因子。綜上所述，若因變數(shù)列可以由一個(gè)單項(xiàng)冪函數(shù)所給定，且自變數(shù)列符合標(biāo)準(zhǔn)條件，我們可以根據(jù)如下三條途徑中的任何一條求得系數(shù)A：1 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列與因變數(shù)列比值；2 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列的首數(shù)列與因變數(shù)列的首數(shù)列的比值；3 標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列的最高首數(shù)與因變數(shù)列的最高首數(shù)的比值。若因變數(shù)列可以由一個(gè)單項(xiàng)冪函數(shù)所給定，但自變數(shù)列的公差H1，計(jì)算時(shí)，我們可以首先將它忽略，按標(biāo)準(zhǔn)冪數(shù)列求出系數(shù)后，再給它的分母