羅爾、拉格朗日、柯西中值定理、洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.doc

1、 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容(3。1、3.2）3。1 中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理:（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）至少存在一點(diǎn)使得拉格朗日中值定理：（1)在上連續(xù)；（2)在內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo);（2）在內(nèi)每點(diǎn)處至少存在一點(diǎn)使得3.2 洛必達(dá)法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型:常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或;取對數(shù)化為基本形式1）型：取對數(shù)得，其中或；2）型：取對數(shù)得，其中或；3）型：取對數(shù)得，其中或。課后習(xí)題全解習(xí)題311.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件

2、?如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。（1); （2）.知識點(diǎn):羅爾中值定理。思路:根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：(1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且，在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。 （2）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且， 在上滿足羅爾定理的條件.令，得即為所求。2。驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。知識點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路:根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程,若得到的根則可驗(yàn)證定理的正確性.解：在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，要使，只要：，使,驗(yàn)證完畢。3.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的。解:要使，只

3、要，從而即為滿足定理的。4。試證明對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),從而有，即,解得，結(jié)論成立。5.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。知識點(diǎn):柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求.解:及在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)的每一點(diǎn)處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使,只要，解得， 即為滿足定理的數(shù)值.6.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.求證：存在,使。知識點(diǎn):羅爾中值定理的應(yīng)用。思路:從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為, 然后再利用羅爾中值定

4、理，便得結(jié)論.構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時(shí)常用的方法.證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即.注:輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過結(jié)論倒推，如：要使，只要 只要設(shè)輔助函數(shù)7。若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且,證明:在內(nèi)至少有一點(diǎn),使得。知識點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路:連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明： 在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù),在、內(nèi)連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，又，由羅爾定理，至少有一點(diǎn)、，使得、；又在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),從而由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)，使得.8。若4次方程有4個(gè)不同的實(shí)根,證明:的所有根皆為實(shí)根。知識點(diǎn):羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論方程根的

5、情況可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意,有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)零點(diǎn),分別設(shè)為，在、上連續(xù)，在、上可導(dǎo)，又，由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)、使得，即方程至少有3個(gè)實(shí)根，又三次方程最多有3個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立。9.證明：方程只有一個(gè)正根。知識點(diǎn)：零點(diǎn)定理和羅爾定理的應(yīng)用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點(diǎn)定理和羅爾定理得出結(jié)論.零點(diǎn)定理往往用來討論函數(shù)的零點(diǎn)情況；羅爾定理往往用來討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況.解：令，在上連續(xù)，且,，由零點(diǎn)定理,至少有一點(diǎn)，使得；假設(shè)有兩個(gè)正根，分別設(shè)為、（),則在在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，且，從而由羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使得,這不可能。方程只有一個(gè)正根.10。不用求出

6、函數(shù)的導(dǎo)數(shù),說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。知識點(diǎn):羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),可考慮利用羅爾中值定理。解： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)、，使得，即方程至少有三個(gè)實(shí)根，又方程為三次方程，至多有三個(gè)實(shí)根,有3個(gè)實(shí)根,分別為、.11。證明下列不等式：（1） ； （2） 當(dāng) 時(shí)， ；（3) 設(shè) ，證明； （4) 當(dāng)時(shí)，.知識點(diǎn):利用拉格朗日中值定理。思路:用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋找函數(shù)，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令， 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理,得。（2)令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得 ，,

7、從而當(dāng) 時(shí)，。（3）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理,得，,，即， 。（4)令，在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理，得，,，即當(dāng)時(shí)，.12。證明等式：.知識點(diǎn)：(為常數(shù)).思路：證明一個(gè)函數(shù)表達(dá)式恒等于一個(gè)常數(shù)，只要證證明：令，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有,;成立。13.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則。知識點(diǎn)：思路：因?yàn)?,所以當(dāng)設(shè)時(shí),只要證即可證明:構(gòu)造輔助函數(shù),則；。14.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且有,試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。知識點(diǎn)：拉格朗日中值定理的應(yīng)用。思路：關(guān)于導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處符號的判斷，根據(jù)已知條件和拉格朗日中值定理的結(jié)論,逐層分析各層導(dǎo)函數(shù)改變量和自變量改變量的符

8、號，得出結(jié)論.證明: 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，至少有一點(diǎn)、，使得，；又在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，從而至少有一點(diǎn)，使得.15。設(shè)在上可微，且試證明在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).知識點(diǎn)：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。思路:要證明在某個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn),只要證該函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。證明:，由極限的保號性知,(不妨設(shè)），對于，均有,特別地，使得，得；同理，由得（），使得，從而得；又在上連續(xù)，由介值定理知，至少有一點(diǎn)使得；在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo),且，由羅爾中值定理知，至少有一點(diǎn)、，使得,結(jié)論成立.16.設(shè)在閉區(qū)間上滿足，試證明存在唯一的，使得。知

9、識點(diǎn)：微分中值定理或函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論。證明：存在性。在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，至少有一點(diǎn),使得。唯一性的證明如下:方法一：利用反證法。假設(shè)另外存在一點(diǎn)，使得，又在（或）上連續(xù)，在(或）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知,至少存在一點(diǎn)（或），使得,這與在閉區(qū)間上滿足矛盾。從而結(jié)論成立。方法二:在閉區(qū)間上滿足,在單調(diào)遞增，從而存在存在唯一的，使得。結(jié)論成立。17.設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),且試用柯西中值定理證明：.知識點(diǎn)：柯西中值定理。思路:對、在上連續(xù)使用次柯西中值定理便可得結(jié)

10、論。證明：、及其各階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo)，且在每一點(diǎn)處，,又，連續(xù)使用次柯西中值定理得，,從而結(jié)論成立。習(xí)題3-21。用洛必達(dá)法則求下列極限:（1） ； （2） ； （3）; （4）；（5）; （6)； （7) ； （8); （9） ； （10）； （11）； (12）；（13）； （14)； （15）； （16）；（17）； (18）； (19)； (20)。知識點(diǎn):洛必達(dá)法則。思路:注意洛必達(dá)法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題,基本形式為：型與型未定式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達(dá)法則；對于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對于型、型與型的未定式，可通過

11、取對數(shù)等手段化為未定式；此外，還可以結(jié)合等價(jià)無窮小替換、兩個(gè)重要的極限、換元等手段使問題簡化。解： (1） ; （2） ；(3）；（4)；（5）；（6）；（7) ；（8）；(9） ；(或解為：）（10）；（或解為:當(dāng)時(shí)，,）（11）;（12）；（或解為:）（13）;(14）；（15）；（16)；(17）；(18)；（19）；（20）令,則 2。驗(yàn)證極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出。知識點(diǎn)：洛必達(dá)法則。思路：求導(dǎo)后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能說洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則不能解決所有的未定型極限問題。解: ，極限存在；若使用洛必達(dá)法則，得，而不存在，所以不能用洛必達(dá)法則求出。3。若

12、有二階導(dǎo)數(shù)，證明。知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則。思路：使用洛必達(dá)法則，對極限中的函數(shù)上下求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)定義得結(jié)論。證明: ，結(jié)論成立。4.討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。知識點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。思路：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性,要利用函數(shù)在一點(diǎn)處左、右連續(xù)的概念。解:,在處右連續(xù)；又，在處左連續(xù);從而可知，在點(diǎn)處連續(xù)。5.設(shè)在處二階可導(dǎo)，且.試確定的值使在處可導(dǎo)，并求，其中 。知識點(diǎn)：連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系、洛必達(dá)法則.思路：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性、可導(dǎo)性，一般考慮利用定義。解：要使在處可導(dǎo)，則必有在處連續(xù)，又在處，;由導(dǎo)數(shù)定義,。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.3）3.3 泰勒公

13、式泰勒中值定理：如果在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有階的導(dǎo)數(shù)，則對任一,有，此公式稱為階泰勒公式；其中（介于于之間），稱為拉格朗日型余項(xiàng);或,稱為皮亞諾型余項(xiàng)。階麥克勞林公式：其中（)或.常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）2)3)4）5）6）習(xí)題331。按的冪展開多項(xiàng)式。知識點(diǎn)：泰勒公式.思路：直接展開法.求按的冪展開的階泰勒公式，則依次求直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值，然后帶代入公式即可。解:,;,；,；;；;將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。2.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的三階泰勒公式。知識點(diǎn)：泰勒公式.思路：同1。解：，；，；，；;將以上結(jié)果代入泰勒公式，得,（介于與4之間）。3.把在點(diǎn)展開到含項(xiàng)，并

14、求.知識點(diǎn):麥克勞林公式.思路：間接展開法。為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論。解：;又由泰勒公式知前的系數(shù)，從而。4.求函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式。知識點(diǎn)：泰勒公式.思路：直接展開法,解法同1;或者間接展開法，為對數(shù)函數(shù)時(shí)，通常利用已知的結(jié)論。方法一：（直接展開），;，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式,得。方法二：。5。求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式。知識點(diǎn)：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論。方法一：，;,；，,;將以上結(jié)果代入泰勒公式,得 （介于與之間）。方法二: （介于與之間）.6。求函數(shù)的帶有皮亞諾型余

15、項(xiàng)的階麥克勞林展開式。知識點(diǎn):麥克勞林公式.思路:直接展開法，解法同1；間接展開法。中含有時(shí)，通常利用已知結(jié)論。方法一：，；，；，將以上結(jié)果代入麥克勞林公式,得 。方法二： 。7。驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，按公式計(jì)算的近似值時(shí)，所產(chǎn)生的誤差小于，并求的近似值，使誤差小于。知識點(diǎn):泰勒公式的應(yīng)用.思路:利用泰勒公式估計(jì)誤差,就是估計(jì)拉格朗日余項(xiàng)的范圍.解：;。8。用泰勒公式取,求的近似值，并估計(jì)其誤差。知識點(diǎn)：泰勒公式的應(yīng)用.解：設(shè),則,從而；其誤差為：。9。利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限：（1) ； （2） .知識點(diǎn):泰勒展開式的應(yīng)用。思路：間接展開法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開到適當(dāng)?shù)男问?，然后利用極限的運(yùn)算

16、性質(zhì)得到結(jié)果。解：（1）。（2)。10.設(shè)，證明：。知識點(diǎn)：泰勒公式。思路:用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個(gè)函數(shù),另一邊為其冪級數(shù)展開的一部分時(shí),可考慮用泰勒公式。解：（介于與之間）, ,，從而，結(jié)論成立。（也可用§3。4函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之）11.證明函數(shù)是次多項(xiàng)式的充要條件是.知識點(diǎn)：麥克勞林公式。思路：將按照麥克勞林公式形式展開，根據(jù)已知條件，得結(jié)論.解：必要性。易知,若是次多項(xiàng)式,則有.充分性.，的階麥克勞林公式為：，即是次多項(xiàng)式，結(jié)論成立。12。若在上有階導(dǎo)數(shù)，且證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.知識點(diǎn)：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明

17、，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理,驗(yàn)證在上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù)在處的泰勒展開式及已知條件得結(jié)論。方法一： 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得； 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得;依次類推可知，在 上可導(dǎo)，且,由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。方法二：根據(jù)已知條件，在處的泰勒展開式為：，從而得，結(jié)論成立。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3。4）3。4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判別法:設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加;（2）若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。1） 曲線凹凸性的概念：設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，如果對上任意兩點(diǎn)

18、，恒有，則稱在上的圖形是凹的;如果恒有,則稱在上的圖形是凸的。2）拐點(diǎn)的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)成為曲線的拐點(diǎn).曲線凹凸性的判別法:設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的;(2）若在內(nèi),則在上的圖形是凸的。習(xí)題341。證明函數(shù)單調(diào)增加。知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法.在某個(gè)區(qū)間上，（),則在單調(diào)增加（減少）。證明:(僅在處),在內(nèi)是單調(diào)增加的。2.判定函數(shù)的單調(diào)性。解：（僅在處),是單調(diào)增加的。3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:（1) ； （2）； （3）；（4)； (5)； （6）。知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.思路：利用一階導(dǎo)

19、數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1) 的定義域?yàn)?令，得，。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（2） 在內(nèi)，令，得；當(dāng) 時(shí)，有;當(dāng) 時(shí)，有；在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)嚴(yán)格單減。(3）的定義域?yàn)?令，得；為不可導(dǎo)點(diǎn)。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（4)的定義域?yàn)?，在內(nèi)嚴(yán)格單增。（5）的定義域?yàn)?，在上?yán)格單增。(6）的定義域?yàn)?，令，得；?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),；在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)嚴(yán)格單減。4。證明下

20、列不等式：（1） 當(dāng)時(shí)，； (2)當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí),； (4）時(shí),。知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式(見習(xí)題33第10題)，利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法.解:(1）方法一：令，則當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格單增；從而，即，結(jié)論成立。方法二:由泰勒公式，得(),，從而得，結(jié)論成立。（2）方法一：令,則當(dāng)時(shí),，在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而,在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi),，結(jié)論成立。注:利用的符號判斷的單調(diào)性，利用的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號，從而得出在某區(qū)間上的單調(diào)性,也是常用的一種方法。方法二：令，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)嚴(yán)格單增， ，從而有，即，結(jié)論成立。(3）令，則當(dāng)時(shí)有（僅在時(shí),）

21、，在上嚴(yán)格單增，從而有,即，結(jié)論成立.(4）令，則當(dāng)時(shí)，有從而在內(nèi)嚴(yán)格單增，,即在內(nèi)；再令，則當(dāng)時(shí)，從而在內(nèi)嚴(yán)格單增，,即在內(nèi)，結(jié)論成立。5。試證方程只有一個(gè)實(shí)根。知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而討論方程的根是常用的方法.解：易知,，即是方程的一個(gè)根；令，則(僅在處）,在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)實(shí)根。6。單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究例子：。知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.思路:利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。解：單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。（僅在處)，在內(nèi)嚴(yán)格單增;而在內(nèi)嚴(yán)格單減，在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而在上不單調(diào).7.求下列函數(shù)圖形的

22、拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間：(1)； （2) ; （3) ；（4）； (5) ； (6） 。知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論,使得思路更清晰一些。解：（1）,，當(dāng)時(shí),，在上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。（2）的定義域?yàn)?；，令，得；?dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí),；的凹區(qū)間為、，凸區(qū)間為、；拐點(diǎn)為。（3） 的定義域?yàn)椋?，在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。（4）的定義域?yàn)?，,在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點(diǎn)。（5） 的定義域?yàn)?，令，得；列表討論如下：

23、由上表可知，的凸區(qū)間為、，凹區(qū)間為，拐點(diǎn)為及。(6）的定義域?yàn)?，令，得；當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)，；的凹區(qū)間為,凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為。8。利用函數(shù)圖形的凹凸性,證明不等式：（1）； （2）。知識點(diǎn)：函數(shù)凹凸性的概念。思路：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時(shí)可考慮利用函數(shù)的凹凸性。證明：(1）令，,在內(nèi)是凹的。利用凹函數(shù)的定義,，有，結(jié)論成立。(2)令，在內(nèi)，在內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義，,有，結(jié)論成立.9.求曲線的拐點(diǎn).知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.思路：同7。解：的定義域?yàn)椋?令,得,；現(xiàn)列表討論如下:由上表可知，拐點(diǎn)為、。10。問及為何值時(shí)，點(diǎn)為曲線的拐

24、點(diǎn)？知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：拐點(diǎn)通常是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)或者是不可導(dǎo)點(diǎn)。又高階可導(dǎo)的函數(shù)的拐點(diǎn)一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。解：的定義域?yàn)?，；將代入中，得?將代入中，得:;由得,，。11.試確定曲線中的、，使得在處曲線有水平切線，為拐點(diǎn)，且點(diǎn)在曲線上。知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用可導(dǎo)函數(shù)的拐點(diǎn)一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數(shù)中的待定參數(shù).解：，； 將代入，得 將分別代入與中，得 ； 將代入中，得 由得，,，。12.試確定中的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：可導(dǎo)的拐點(diǎn)必為二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn);依此求出

25、拐點(diǎn)坐標(biāo)，寫出法線方程，根據(jù)已知條件，求出值.解：的定義域?yàn)?；?令,得.易知,當(dāng)?shù)娜≈低ㄟ^的兩側(cè)時(shí),會(huì)變號,與均為的拐點(diǎn)；，兩拐點(diǎn)處法線方程分別為:，;又兩法線過原點(diǎn),將代入法線方程，得,解得。13.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，如果，而，試問是否為拐點(diǎn)，為什么？知識點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)極限的保號性和拐點(diǎn)的定義得結(jié)論。方法一：，不妨設(shè)，即；由極限的保號性知,必存在,使得，均有;從而當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí),有；為拐點(diǎn).內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.5）3。5 函數(shù)的極值與最大值最小值極值的概念：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)（），恒有（或），則稱在點(diǎn)處取得極大值（或極小值)，而成為函數(shù)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.函數(shù)極值的判別法第一充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（可以不存在），（1)若在的左鄰域內(nèi),；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極大值；（2）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，,則在處取得極小值；（3）若在的左鄰域內(nèi)，不變號，則在處沒有極值。注：第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性。第二充分條件：設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則(1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。注:利用駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。函數(shù)的最大值和最小值：注意函數(shù)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系習(xí)題351。求下列函數(shù)的極值：（1） ； (2）； （3