《因式分解》圖解教學(xué)設(shè)計(jì)《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》-蘇州市第一中學(xué)

1、1 本文發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2003 年第 3 期因式分解圖解教學(xué)設(shè)計(jì)215006 蘇州市第一中學(xué)劉祖希圖解教學(xué)法 是一種由來(lái)已久的教學(xué)形式， 可以譽(yù)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思想的縮影. 圖解通常呈現(xiàn)表格式、樹(shù)圖式、流程圖式、統(tǒng)計(jì)圖式、示意圖式等. 圖解法較多地出現(xiàn)在單元復(fù)習(xí)和本章小結(jié)，也零星出現(xiàn)在教科書(shū)正文部分，如實(shí)數(shù)分類、三角形四邊形分類等，其主要目的是將零散的知識(shí)進(jìn)行疏理、精簡(jiǎn)、概括、形式化、結(jié)構(gòu)化，以助理解記憶. 是否可以突破目前圖解對(duì)象僅僅限于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的狀況，將圖解對(duì)象擴(kuò)大為整個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程，包括認(rèn)知規(guī)律、思想方法、學(xué)習(xí)技巧、操作要點(diǎn)，這是有待進(jìn)一步探索的問(wèn)題. 因式分解是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，技巧

2、性極強(qiáng)， 因此愈發(fā)凸現(xiàn)方法的重要性. 研究者們創(chuàng)造了多種教學(xué)方法，如變?cè)枷氪?lián)法、仿造想象法、類比法12等等本文運(yùn)用傳統(tǒng)圖解法使因式分解教學(xué)條理化、系統(tǒng)化，達(dá)到分散難點(diǎn)、最終突破難點(diǎn)的目的, 其主體是因式分解的知識(shí)系統(tǒng)圖1 因式分解在教材中的地位、聯(lián)系分 式 的 運(yùn) 算因 式 分 解整 式 的 乘 除整 式 的 加 減2 一級(jí)知識(shí)系統(tǒng)圖便于行文，將因式分解知識(shí)系統(tǒng)圖分解為一級(jí)、二級(jí)兩個(gè)層次. 主要用途一般步驟基本方法基本概念因式分解3 二級(jí)知識(shí)系統(tǒng)圖31 因式分解的基本概念分解，要求分解徹底加深理解，可類比因數(shù)）分解（與其他因式無(wú)關(guān)各因式內(nèi)部化簡(jiǎn)、繼續(xù)項(xiàng)數(shù)次數(shù)部整理后繼續(xù)）分解：各因式內(nèi)哪些

3、多項(xiàng)式可能進(jìn)行（原來(lái)的次數(shù)數(shù)次數(shù)分散：各因式的次逆乘積，與整式的乘法互整式代數(shù)和變?yōu)檎降囊蚴椒纸夂蟮淖兓郝梢蚴椒纸獾囊罁?jù)：分配整式整式整式式因式分解的定義：多項(xiàng)基本概念因式分解322 32 因式分解的一般步驟必要化簡(jiǎn)繼續(xù)分解繼續(xù)分解必要化簡(jiǎn)四項(xiàng)以上式三項(xiàng)式二項(xiàng)式一般步驟：多項(xiàng)式因式分解在各因式內(nèi)部分組分組完全平方公式平方差公式提公因式33 因式分解的主要用途.底分解情況，采取局部、不徹靈活應(yīng)用：可根據(jù)實(shí)際分式的約分、化簡(jiǎn)因式分解法解方程簡(jiǎn)便計(jì)算主要用途因式分解34 因式分解的基本方法)() 12()2(133)(4)44(432)(4) 1(4)12(32)(323322212223132

4、22232322442242222下略拆項(xiàng)法：如下略添項(xiàng)法：如，下略，可令換元法：如下略配方法：如，展開(kāi)比較系數(shù)，下略分解為待定系數(shù)法：如設(shè)）十字相乘法：（不舉例特殊技巧學(xué)精神察能力、思維品質(zhì)、科分組可以鍛煉學(xué)生的觀”或“六項(xiàng)式：分成“”或“五項(xiàng)式：分成“”或“四項(xiàng)式：分成“分組的技巧結(jié)合前兩種基本方法分組是一種策略，緊密分組分解法述，口到、心到、手到熟記三個(gè)公式的文字?jǐn)㈨?xiàng)”是關(guān)鍵識(shí)別多項(xiàng)式中的“平方運(yùn)用公式法程貫穿于因式分解的全過(guò)準(zhǔn)確、徹底提公因式的要求、互為相反數(shù)：型如、：型如相差倍數(shù)、：型如完全一樣公因式的類型大公約數(shù)系數(shù)：找各項(xiàng)系數(shù)的最低次字母：找相同字母的最找公因式的方法提公因式法一

5、般方法基本方法因式分解aaaaaaaaaaaayxxxxxxxxnxmxxxaakaaaa4 教學(xué)注意事項(xiàng)以上圖解基本涵蓋了教學(xué)全過(guò)程，但要實(shí)效性突破難點(diǎn)，還必須對(duì)幾個(gè)教學(xué)要點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)3 化此處文字較多暫不采用圖解法. 41 加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練為什么“乘法公式”在整式乘法中的應(yīng)用要比在因式分解中的應(yīng)用自然流暢得多？說(shuō)明我們的學(xué)生習(xí)慣運(yùn)算、不習(xí)慣思維，長(zhǎng)于聚合思維、弱于發(fā)散思維，教師應(yīng)該有意識(shí)加強(qiáng)逆向思維、發(fā)散思維訓(xùn)練，不僅是在因式分解一章中，還必須在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中42 把握各種方法的關(guān)鍵學(xué)習(xí)因式分解，要抓住關(guān)鍵，要讓學(xué)生知道，方法有限，經(jīng)過(guò)有限探索一定可以解決“提公因式法”的關(guān)鍵是準(zhǔn)確、徹底、及時(shí)

6、，隨時(shí)隨地；“運(yùn)用公式法”的關(guān)鍵是善于識(shí)別“平方項(xiàng)”；“分組分解法”的關(guān)鍵是勇于探索、迎難而上、永不氣餒的意志品質(zhì)43 足量訓(xùn)練、注重總結(jié)因式分解是每一代人學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)每一代人都要犯的錯(cuò)誤，比如分解不徹底這些錯(cuò)誤完全可以通過(guò)足量訓(xùn)練，做到訓(xùn)練有素、熟能生巧總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，比如“輪換對(duì)稱形式的多項(xiàng)式的分解結(jié)果也具有輪換對(duì)稱性”這一不爭(zhēng)事實(shí)，就可以幫助我們快速分解因式43 緊貼課本、打好基礎(chǔ)充分使用課本習(xí)題，循序漸進(jìn)，打好基礎(chǔ)，防止任意拔高難度尤其是接受較慢的學(xué)生可以要求他們對(duì)三個(gè)公式、 三種方法的文字?jǐn)⑹鲎龅?“三個(gè)到”：口到、心到、手到，背得熟、想得到、寫(xiě)得出44 設(shè)計(jì)題組、層層領(lǐng)悟可以精心編選題組，使學(xué)生點(diǎn)滴進(jìn)步、正反思考、逐步參悟如：提公因式法：(1)2221abba；(2)2(21212bnabmba，則m， n運(yùn)用公式法：(1)122xx；(2)412xx；(3)21222xx分組分解法：（略可以按多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)由四項(xiàng)到六項(xiàng)進(jìn)行安排，也可以按分組時(shí)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)、或第一項(xiàng)和第三項(xiàng)、或第一項(xiàng)和第四項(xiàng)搭配分別進(jìn)行設(shè)計(jì)）4 因式分解及其方法的簡(jiǎn)單運(yùn)用：(1)若0)2() 1(22yx，則yx；(2)若052422baba，則ba= ；(3)請(qǐng)你仿造 (1) (2)自己編一個(gè)類似題目：(4)若,5yx則yx66；(5)若,6,5 xyyx則2