線性代數(shù)2012期末考試題及答案

1、 （2011至2012學(xué)年第2學(xué)期） 考試時(shí)間：110分鐘 7100059 _ 試卷總分：100分 閉卷 學(xué)生自帶普通計(jì)算器： 否 題號(hào) 三三 四四 五五 六六 七七 八八 九九 十十 十十_ _ 十二十二 總分總分 得分 評(píng)卷 教 、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 1、A和B均為階矩陣，H（A-B）2=A3-2T1B + B4 5,則必有（ ） A A = E； B B = E； C A = B D AB = BA. 2、 設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB二AC,則必有（ ） A. A 二0 B BHCH、J A=0 C. AH（、J B=C D A 工 0 時(shí) B二C 3、 設(shè)A是矩陣，

2、則齊次線性方程組山=0有非零解的充分必要條件是（） A. A的行向量組線性無關(guān) B. A的列向量組線性無關(guān) C. A的行向量組線性相關(guān) D. A的列向量組線性相關(guān) 4、若心是方程AX=B的解，心是方程AX=O的解，則（）是方程AX=B的解（CGR） 3 設(shè)3階矩陣A的行列式A二8,已知A有2個(gè)特征值一1和4,則另一特征值為 _ . 4 如果XX2都是方程AX = O的解，且X嚴(yán)X2,則血”| = _ ； 5、設(shè)向量組a, = （l,0,0）f,a2 = （-l,3,O）7；a3 = （U2,-l）7 線性 （填相關(guān)或無關(guān)） H 線性代數(shù)A 課程名稱: 課程代碼: 考試形式: A. xA + c

3、x2 B. cxx + cx2 C. cVj - cx2 D. cxx + x2 5、設(shè)矩陣A的秩為則A中（ A.所有:r1階子式都不為0 C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 ） B.所有t1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 二、填空題（每小題3分, 共15分） 0 1、已知向量a = （13,2,4）r與0 =伙,一1,一3,2幻卩正交,貝1“ = 2、 口 -2 0、 1 o ,求/(A)。 0 2 2召 一 3X9 + w + 5X4 = 0 五、（10分）求齊次線性方程組-3珀+勺+ 2-4無=o的一個(gè)基礎(chǔ)解系及其 -X, - 2X7 + 3 + 兀4 = 0 3 112 一5 1

4、三 5 分）計(jì)算行列式 0 3 -4 1 -1 四、（10 分）已知/（X） = X2+4X-1, fl 0 通解. 得分I六、（12分）判定二次型/=-彳-環(huán)-球+4中2+4.也-4卩3的正定性，并求 該二次型的秩。1、D； 2、D； 3N D： 4、A： 5、C 個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過該極大線性無關(guān)組表示出來. 110 o 0 o 八、（12分）已知矩陣4 = 1 1 0 與B 0 3 0, 0 0 3 0 0% 相似 1 = 2 -1 ，a2 = 2 5 2 ，a3 = 3 5 -7 -1 -1 -4 -1 I,的秩及一 9 口 七、（10分）求向量組: （2）求可逆矩陣P,

5、使得PAP = B。 竺J九.（6分）設(shè)3階矩陣A的特征值為2 （二重），-4, 一.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：選對得3分，不選或選錯(cuò)得0分1、D； 2、D； 3N D： 4、A： 5、C 二、填空題（每小題3分，共15分）： 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：填對得3分，不填或填錯(cuò)得0分 _1 K 24； 2、； 3、-2； 4、0； 5、無關(guān) 0 1 ? 三、計(jì)算行列式（12分） 1、原式=40； . 10分 四、（10分） 解 (-3 -4 0) A2 = 4 -3 0 4分 1 0 0 4 / 廠4 -8 0、 4A = 8 4 0 8分 . 0 8 7 0 -12 0 0 3 3 心）

6、12 0 0 -12 3 . 10分 3 0 11 .1 10 / 五、（12分） 2 -3 1 5 -1 -2 3 1、 1 0 -1 1、 4 = -3 1 2 -4 0 7 -7 -7 0 1 -1 -1 -2 3 0 X -7 7 7 / 0 0 0 。解：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A為: 4 分 一般解為: 兀2 =兀3 +兀 兀3 =2 （勺為自由未知量） 2x 3X2 + 屯 + 5耳=0 _3曲 + 羽 + 2X3 -4X4 = 0 一 2X7 + 3X3 + x4 =0 1、D； 2、D； 3N D： 4、A： 5、C 六.(12分) 解：二次型對應(yīng)的矩陣為 -1 2 =3 0

7、 . 2 分 2 -1 -12 2 2 -1 -2 =-130 . 2 分 = 5y . 八、(8分) 解：解:、由于A與B相似，則tr(A)=tr(B) o因?yàn)?5 故齊次線性方程組的通解為X二k| 1 +k2 1 1 0 伙Ik?為常數(shù)) 10分 2 - - 所以矩陣的秩為3, 即二次型的秩為3 七.(10分) 解：向量組對應(yīng)的矩陣為 r 1 2 3 2 5 5 (CZ|6Z2CZ4)= -1 2 -7 -1 -1 -4 -1、 0 5 0、 6 0 1 -1 0 17 0 0 0 1 9丿 、0 0 分 8分 10分 ,(3) = 3 + x, 的特征值為 1 = 1 0： . 2 分 所以矩陣的秩為3 所以為一組極大無關(guān)組 (2)、因?yàn)锽的特征值為人=0丸=3仏=2 ,所以A A =0,/i2=3, = 2o1 2 當(dāng)入=0時(shí)，它對應(yīng)的特征向量為4=(1-1,0)