新北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、-3 -二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納1 .定義：一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0),那么y叫做x的二次函數(shù).2 .二次函數(shù)y ax2的性質(zhì)(1)拋物線y ax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y軸.(2)函數(shù)y ax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.當(dāng)a 0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為 y ax2 (a 0).3 .二次函數(shù) y ax2 bx c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.4 .二次函數(shù)y ax2 bx c用配方法可化成：y ax h 2 k的形式，其中hk 4ac b .2

2、a4a222- 2 一5.二次函數(shù)由特殊到一般， 可分為以下幾種形式：y ax2；y ax2 k;y a x h二y a x h k；2 y ax bx c.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn) a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng) a 0時(shí)，開口向上；當(dāng) a 0時(shí)，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于y軸(或重合)的直線記作 x h.特別地，y軸記作直線x 0.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法(1)公式法： y ax2 bx cb a x2a2,

3、2.4ac b y一口/ b 4ac b 、- 口+小b,，頂點(diǎn)是(,),對稱軸是直線 x4a2a 4a2a(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y a x h 2 k的形式，得到頂點(diǎn)為(h, k),對稱軸是直線x h.(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失 9.拋物線y ax2bx c中，a,b,c的作用(1) a決定開口方向及開口大小，這與y ax2中的a完全一樣.(2) b和a共同決定拋物線對稱軸的位置 .由于拋物

4、線y ax2 bx c的對稱軸是直線bbbx ，故：b 0時(shí)，對稱軸為y軸；士 0 (即a、b同號(hào))時(shí)，對稱軸在 y軸左側(cè)； 0(即a、 2aaab異號(hào))時(shí)，對稱軸在 y軸右側(cè).(3) c的大小決定拋物線 y ax2 bx c與y軸交點(diǎn)的位置.c 0 ,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；c當(dāng)x 0時(shí)，y c,，拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0, c)：0,與y軸交于正半軸； c 0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)，則 B 0.a10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2y axx 0 ( y軸)(0,0)

5、2y ax k當(dāng)a 0時(shí)x 0 ( y軸)(0, k),2 y ax h開口向上x h(h,0)2y a x h k當(dāng)a 0時(shí)x h(h, k)2y ax bx c開口向卜b x2a(_b_ 4ac b2 2a' 4a )11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1) 一般式：y ax2 bx c.已知圖像上三點(diǎn)或三對 x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：y ax h 2 k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式(3)交點(diǎn)式：已知圖像與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式：y a x x1 x x212.直線與拋物線的交點(diǎn)(1) y軸與拋物線y ax2 bx c得交點(diǎn)為(0,

6、 c).(2)與y軸平行的直線x h與拋物線y ax2 bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h , ah 2 bh c).(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程 ax2 bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在 x軸上)0拋物線與x軸相切；沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平彳T于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3) 一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ,則橫 坐標(biāo)是ax2 bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2(5) 一次函數(shù)y kx n k 0的圖像l與一次函數(shù)y ax bx c a 0的圖像G的交點(diǎn)，由萬程組y kx n2t的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一組解時(shí)y ax bx c l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)l與G沒有交點(diǎn).(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y ax2 bx c與x軸兩交點(diǎn)為A x1,0 , B x2,0 ,由