量子力學(xué)導(dǎo)論第6篇答案

1、第六章 中心力場(chǎng)6.1) 利用6.1.3節(jié)中式（17）、（18），證明下列關(guān)系式相對(duì)動(dòng)量 （1）總動(dòng)量 （2）總軌跡角動(dòng)量 （3）總動(dòng)能 （4）反之，有 （5） ， （6）以上各式中，證： ， （17） ， （18）相對(duì)動(dòng)量 （1）總動(dòng)量 （2）總軌跡角動(dòng)量 由（17）、(18)可解出，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）?？倓?dòng)能 （4）從（17），(18)式可解出（5）式；從（1），(2)式可解出（6）式.6.2) 同上題，求坐標(biāo)表象中、和的算術(shù)表示式，解： （1）其中 ，而 ，同理，；（利用上題（17）（18）式。） ；仿此可設(shè) （2）代入（1）中，得 （3） （4）只要將（3）、（4）

2、式中的、以相應(yīng)的算符代入即可。6.3）利用氫原子能級(jí)公式，討論下列體系的能譜：（a）電子偶素（positronium，指束縛體系）（b）u原子（muonic atom）（c）u子偶素（muonium，指束縛體系）解：由氫原子光譜理論，能級(jí)表達(dá)式為：, 。（a）電子偶素能級(jí) ，（）（b）u原子能級(jí) ，（）（c）u子偶素能級(jí)，（）6.4）對(duì)于氫原子基態(tài)，計(jì)算。解： * 在求坐標(biāo)系中，空間反演：（）。氫原子基態(tài)波函數(shù)為 （1）宇稱(chēng)為偶。由于均為奇宇稱(chēng)算符，所以 （2）由于各向同性，呈球?qū)ΨQ(chēng)分布，顯然有 （3）容易算出 （4） （5）因此 ， （6）， （7） （8）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的普遍結(jié)論是 （9）顯然

3、式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）規(guī)定的下限。6.5）對(duì)于氫原子基態(tài)，求電子處于經(jīng)典禁區(qū)（即）的幾率。解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為 ，相應(yīng)的能量 動(dòng)能 是經(jīng)典不允許區(qū)。由上式解出為。因此，電子處于經(jīng)典不允許區(qū)的幾率為（令）6.6）對(duì)于類(lèi)氫原子（核電荷）的“圓軌跡”（指的軌跡），計(jì)算（a）最可幾半徑；（b）平均半徑； （c）漲落解：類(lèi)氫原子中電子波函數(shù)可以表示為 （1）（a） 最可幾半徑由徑向幾率分布的極值條件 （2）決定。時(shí)，。代入（2）式，容易求得 （4）這結(jié)果和玻爾量子論中圓軌跡的半徑公式一致。（b）在態(tài)下，各之間有遞推關(guān)系（Kramers公式） (5) （參 錢(qián)伯初、曾謹(jǐn)言量子力

4、學(xué)習(xí)題精選與剖析P197）在（5）式中令，注意到。可設(shè) (6)依次再取，得到 （7）（c） （8）因此，的漲落 （9） （10）可見(jiàn)，越大，越小，量子力學(xué)的結(jié)果和玻爾量子軌跡的圖像越加接近。6.7）設(shè)電荷為的原子核突然發(fā)生衰變，核電荷變成，求衰變前原子中一個(gè)電子（軌跡上的電子）在衰變后仍然保持在新的原子的軌跡的幾率。解：由于原子核的衰變是突然發(fā)生的?？梢哉J(rèn)為核外的電子狀態(tài)還來(lái)不及變化。對(duì)于原來(lái)的電子，其波函數(shù)仍未 （1）而新原子中電子的波函數(shù)應(yīng)為 （2）將按新原子的能量本征態(tài)作線形展開(kāi)： （3）則衰變前的電子在衰變后處于新原子的態(tài)的幾率為 （4）因此，本題所求的幾率為 （5）展開(kāi)時(shí)保留到第三項(xiàng)

5、當(dāng)，上式可近似取成 （5）例如， , ；, 。6.8）設(shè)堿金屬原子中的價(jià)電子所受電子實(shí)（原子核+滿殼電子）的作用近似表為（） （1）為Bohr半徑，求價(jià)電子的能級(jí)。提示：令，解出解：取守恒量完全集為，其共同本征函數(shù)為 （2）滿足徑向方程 （3）令 （4）式（3）就可以化為 （3）相當(dāng)于氫原子徑向方程中換成。所以式（3）的求解過(guò)程完全類(lèi)似于氫原子問(wèn)題。后者能級(jí)為 ， ， （5）將換成，即得價(jià)電子的能級(jí)：， （6）通常令 （7） （8）稱(chēng)為量子數(shù)和的“修正數(shù)”。由于，可以對(duì)式（4）作如下近似處理：略去，即得 （9）由于，因此，本題所得能級(jí)和氫原子能級(jí)僅有較小的差別，但是能級(jí)的“簡(jiǎn)并”已經(jīng)消除。式（6）和堿金屬光譜的實(shí)驗(yàn)資料大體一致，尤其是，修正數(shù)隨之升高而減小，這一點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)符合的極好。式（4）的精確解為 （10）若對(duì)上式作二項(xiàng)式展開(kāi)，保留項(xiàng)，略去以上各項(xiàng)，即可得到式