正弦定理余弦定理

1、第一課時111正弦定理（一）教學目標1知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。2. 過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。（二）教學重、難點重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。（三）學法與教學用具學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：，接著就一般斜三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向

2、量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。教學用具：直尺、計算器（四）教學設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景如圖11-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。 A思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ C B 探索研究 (圖11-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖11-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, A則 b c從而在直角三角形ABC中， C a B(圖11-

3、2)思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，當ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B (圖11-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。（證法二）：過點A作， C由向量的加法可得 則 A B ，即同理，過點C作，可得 從而 類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦

4、的比相等，即理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）等價于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。 例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理， ；根據(jù)正弦定理，評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，因為，所以，或 當時， ， 當時，

5、， 評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。隨堂練習第5頁練習第1（1）、2（1）題。例3已知ABC中，A，,求分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使,證明出解：設(shè)則有，從而=又，所以=2評述：在ABC中，等式恒成立。補充練習已知ABC中，求（答案：1：2：3）課堂小結(jié)（由學生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。（五）評價設(shè)計課后思考題：（見例3）在ABC中，這個k與ABC有什么關(guān)系？課時作業(yè)：第10頁習題1.1A組第1（1）、2（1）題。（六）教學反思 第二課時

6、1.1.2余弦定理（一）教學目標1知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，（二）教學重、難點重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。（三）學法與教學用具學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三

7、角形的三邊確定三角形的角教學用具：直尺、計算器（四）教學設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景 C如圖11-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c b aA c B(圖11-4)探索研究聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A如圖11-5，設(shè)，那么，則 C B 從而 (圖11-5)同理可證 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第

8、四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： 理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？（由學生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos= = 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又 ，即評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍

9、。例2在ABC中，已知，解三角形（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）解：由余弦定理的推論得：cos ；cos ； 隨堂練習第8頁練習第1（1）、2（1）題。補充練習在ABC中，若，求角A（答案：A=120）課堂小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。（五）評價設(shè)計課時作業(yè)：第10頁習題1.1A組第3（1），4（1）題。（六）教學反思第三課時113解三角形的進一步討論（一）教學目標1知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角

10、形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。2. 過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。3.情態(tài)與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。（二）教學重、難點重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。難點：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。（三）學法學法：通過一些典型的實例來拓展關(guān)于解三角形的

11、各種題型及其解決方法。（四）教學設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景思考：在ABC中，已知，解三角形。（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。探索研究例1在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進一步求出B；則從而1當A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解。2當A為銳角時，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角

12、形時，只有當A為銳角且時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。隨堂練習1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2在ABC中，已知，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，。隨堂練習2（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。 （2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 （答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3在ABC中，面積為，求的值分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理解：由得，則=3，即，從而隨

13、堂練習3（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2）課堂小結(jié)（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應(yīng)用。（五）評價設(shè)計（課時作業(yè)）（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。（3）在ABC中，判斷ABC的形狀。（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根，求這個三角形的面積。（六）教學反思第四課時 解三角形應(yīng)用舉例（

14、1）教學目標(a)知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語(b)過程與方法 ：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學生的實際情況，采用“提出問題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正(c)情感與價值：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形

15、、數(shù)學符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力（2）教學重點、難點教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解教學難點：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖（3）學法與教學用具讓學生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形，讓學生嘗試繪制知識綱目圖。生活中錯綜復(fù)雜的問題本源仍然是我們學過的定理，因此系統(tǒng)掌握前一節(jié)內(nèi)容是學好本節(jié)課的基礎(chǔ)。解有關(guān)三角形的應(yīng)用題有固定的解題思路，引導學生尋求實際問題的本質(zhì)和規(guī)律，從一般規(guī)律到生活的具體運用，這方面需要多琢磨和多體會。直角板（4）教學設(shè)想1、復(fù)習舊知復(fù)習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些

16、類型的三角形？2、設(shè)置情境請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的

17、重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。3、 新課講授（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB

18、的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。解略：a km例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中

19、已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 計算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評注：可

20、見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。4、 學生閱讀課本，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。5、 課堂練習課本第15頁練習第1、2題6、 歸納總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問

21、題的解（5）評價設(shè)計1、 課本第19頁第1、2、3題2、 思考題：某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=,則sinC =1- cosC =, sinC =,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中，由正弦定理得 MC

22、 =35從而有MB= MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。（六）教學反思第五課時 解三角形應(yīng)用舉例（1）教學目標 (a)知識和技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應(yīng)用(b)過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導學生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突

23、破難點，。(c)情感與價值：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗（2）教學重點、教學難點教學重點：推導三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目教學難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題（3）學法與教學用具正弦定理和余弦定理的運用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向，并進一步推出新的三角形面積公式。同時解有關(guān)三角形的題目還要注意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗的習慣。直角板（4）教學設(shè)想1、 設(shè)置情境師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我

24、們來學習它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆可篽=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解2、 新課講授例1、在ABC中，根據(jù)下列條

25、件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180

26、-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384應(yīng)用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(cm)例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB= =0.7532sinB=0.6578 應(yīng)用S=acsinB S 681270.65782840.38(m)答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。例3、在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k顯然 k0，所以 左邊= =右邊（2）