高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解-第9章-無窮級數(shù)(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題9-11. 判定下列級數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），則，級數(shù)發(fā)散。（2）由于，因此原級數(shù)是調(diào)和級數(shù)去掉前面三項所得的級數(shù)，而在一個級數(shù)中增加或刪去有限項不改變級數(shù)的斂散性，所以原級數(shù)發(fā)散。（3），則，級數(shù)發(fā)散。（4）因而不存在，級數(shù)發(fā)散。（5）級數(shù)通項為，由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。（6）級數(shù)通項為，而不存在，級數(shù)發(fā)散。2. 判別下列級數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因為所以該級數(shù)的和為即（2）由于，則所以該級數(shù)的和為即（3）級數(shù)的通項為，由

2、于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以原級數(shù)發(fā)散。（4）由于因而不存在，原級數(shù)發(fā)散。習(xí)題9-21. 判定下列正項級數(shù)的斂散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ； (6) ; (7) ; (8) ；(9) ； (10) ; (11) ; (12) 解：（1）由于，而級數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（2）因為，而p-級數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（3）若，通項，級數(shù)顯然發(fā)散；若，有，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，級數(shù)發(fā)散；若，有，而級數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（4）因為，而p-級數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（5）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散。（6

3、）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散。（7）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)收斂。（8）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)收斂。（9）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)收斂。（10）通項，則，所以由根值判別法知，級數(shù)收斂。（11）由于，而級數(shù)收斂，由比較判別法推論知級數(shù)收斂。（12）對于級數(shù)，因為，由比值判別法知級數(shù)收斂；由于，而級數(shù)收斂，由比較判別法知，級數(shù)收斂。習(xí)題9-31. 判定下列級數(shù)是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ; (3) ;() ; (5) ； (6) ;(7) ; (8) (0x)解：（1）這是一個交錯級數(shù)，,且，由萊布尼茲判別

4、法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（3）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（4）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（5）由于級數(shù)和級數(shù)都絕對收斂，所以絕對收斂。（6）當n充分大時，除去級數(shù)前面有限項，這是一個交錯級數(shù)，,且有，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散（），故條件收斂。（7）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（8）因為，當時，故得到所以級數(shù)的部分和數(shù)列當時有界，而數(shù)列單調(diào)遞減趨于零，由狄利克雷判別法推得級數(shù)收斂。2. 設(shè)級數(shù)及都收斂，證明級數(shù)及也都收斂證：由于級數(shù)及都收斂，則級數(shù)收斂。因為，所以由比較判別法知級數(shù)收斂，即級數(shù)絕對收斂。

5、習(xí)題9-41. 求下列冪級數(shù)的收斂域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因為，故收斂半徑當時，原級數(shù)顯然發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。（2）因為，故收斂半徑。當時，原級數(shù)為，由于，即，級數(shù)不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，同樣不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。（3）因為，故收斂半徑。當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（4）令，則，于是，當，即時，原級數(shù)絕對收斂；當，即時，原級數(shù)發(fā)散；故原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)為，此

6、時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（5）因為，故收斂半徑。當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（6）因為，故收斂半徑。當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。2. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) 解：（1）所給冪級數(shù)收斂半徑為，收斂區(qū)間為。因為，在區(qū)間內(nèi)成立，則所以。（2）3. 求下列級數(shù)的和：(1) ； (2) 解：（1）由于則。所以（2）因為所以。習(xí)題9-51. 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ;(4) ； (5) (6)解：（1）；（2）；（3）；

7、（4）；（5）（6）因為；而所以2. 將下列函數(shù)在指定點處展開成冪級數(shù)，并求其收斂區(qū)間：(1) ，在x0； (2) cosx, 在x0=;(3) ，在x0=1; (4) ， 在x0解：（1）；（2）（3）（4）因為；所以習(xí)題9-61利用冪級數(shù)的展開式求下列各數(shù)的近似值：(1) (誤差不超過0.0001)； (2) ln3 (誤差不超過10-4)；(3) (誤差不超過10-5).解：（1）由二項展開式，取可得.取前兩項的和作為的近似值，其誤差為故取近似值為（2）由于.令, 解出， 以代入上面的展開式, 得，取前六項作為的近似值，則誤差為所以。（3）由于；則，取前兩項的和作為的近似值，其誤差為，所

8、以。2. 計算的近似值，精確到10. 解：由于，則取前三項的和作為近似值，則其誤差為，故所求近似值為。3假定銀行的年存款利率為 5%，若以年復(fù)利計算利息，某公司應(yīng)在銀行中一次存入多少資金？才能保證從存入之日起，以后每年能從銀行提取300萬元作為職工的福利直至永遠. 解： 第一次福利發(fā)放在創(chuàng)立之日，第一次所需要籌集的資金(單位：百萬元)=3；第二次福利發(fā)放在一年后，第二次所需要籌集的資金(單位：百萬元) ；第三次福利發(fā)放在二年后， 第三次所需要籌集的資金(單位：百萬元) ；一直延續(xù)下去，則總所需要籌集的資金(單位：百萬元)=這是一個公比為的等比級數(shù)，收斂于。因此，以年復(fù)利計算利息時，該公司需要在

9、銀行中一次存入6300萬元資金。復(fù)習(xí)題9（A）1. 判別下列正項級數(shù)的斂散性：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散；（2）由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散；（3）由于，而級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂；（4）因為，所以原級數(shù)收斂。2. 設(shè)正項級數(shù)都收斂，試證明級數(shù)也收斂.證：由于正項級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件有，那么存在充分大的正整數(shù)，使得當時，成立，于是當時，。則由比較判別法的推論，可知級數(shù)也收斂。同理，可證得級數(shù)也收斂。由于，而級數(shù)收斂，因此級數(shù)絕對收斂。因為，等式左邊三個級數(shù)都收斂，所以級數(shù)收斂。3. 判別下列級數(shù):是絕對收斂?條件收斂?還

10、是發(fā)散？（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）這是一個交錯級數(shù)，,且，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）因為，所以原級數(shù)絕對收斂；（3）因為不存在，即原級數(shù)不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故原級數(shù)發(fā)散；（4）因為，所以原級數(shù)絕對收斂；4. 求下列冪級數(shù)的收斂域：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）由于，則原級數(shù)收斂半徑為，顯然原級數(shù)只在收斂；（2）由于，則原級數(shù)收斂半徑為，顯然原級數(shù)的收斂域為；（3）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（4）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時

11、，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（5）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。（6）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。5. 求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。級數(shù)的和為（2）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。

12、因此，原級數(shù)的收斂域為。級數(shù)的和為（3）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。級數(shù)的和為（4）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。由于，而所以6. 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）7. 求下列函數(shù)在指定點處的冪級數(shù)展開式：（1）； （2）. 解：（1）（2）(B)1. 討論級數(shù)的斂散性.解：由于，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。2. 已知正項級數(shù)收斂，證明級

13、數(shù)也收斂.反之，若收斂，是否一定收斂？證：由于正項級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件有，那么存在充分大的正整數(shù)，使得當時，成立，于是當時，。則由比較判別法的推論，可知級數(shù)也收斂。 反之，若收斂，則不一定收斂。例如，級數(shù)收斂，但調(diào)和級數(shù)發(fā)散。3. 已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)絕對收斂.證：由柯西不等式，有，亦即，令，分別是級數(shù)、和的部分和。由上式，可知成立。由于級數(shù)和收斂，那么部分和數(shù)列和收斂，因此數(shù)列和有界。而，所以正項級數(shù)的部分和數(shù)列單調(diào)有界。由數(shù)列的單調(diào)有界定理，可知極限存在，所以級數(shù)收斂，亦即級數(shù)絕對收斂。4. 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.解：原級數(shù)，則，級數(shù)的收率半徑為。 當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂半徑為，收斂域為。5. 將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)，并求其收斂域.解