高中數(shù)學2.2.1橢圓的標準方程教案新人教B版選修

1、橢圓的標準方程(說課稿)一、教材分析1、地位及作用圓錐曲線是一個重要的幾何模型，有許多幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學技術中有著廣泛的應用。同時，圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結合思想的重要素材。推導橢圓的標準方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導具有直接的類比作用，為學習雙曲線、拋物線內(nèi)容提供了基本模式和理論基礎。因此本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容。 2、教學內(nèi)容與教材處理橢圓的標準方程共兩課時，第一課時所研究的是橢圓標準方程的建立及其簡單運用，涉及的數(shù)學方法有觀察、比較、歸納、猜想、推理驗證等，我將以課堂教學的組織者、引導者、合作者的身份，組織學生動手實驗、歸納猜想、推理驗證，引導

2、學生逐個突破難點，自主完成問題，使學生通過各種數(shù)學活動，掌握各種數(shù)學基本技能，初步學會從數(shù)學角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的愿望和興趣。3、教學目標根據(jù)教學大綱和學生已有的認知基礎,我將本節(jié)課的教學目標確定如下：1.知識目標建立直角坐標系，根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標準方程，能根據(jù)已知條件求橢圓的標準方程，進一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想。2.能力目標讓學生感知數(shù)學知識與實際生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力，提高運用坐標法解決幾何問題的能力及運算能力。3.情感目標親身經(jīng)歷橢圓標準方程的獲得過程，

3、感受數(shù)學美的熏陶，通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學的理性和嚴謹，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度和契而不舍的鉆研精神，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。4、重點難點基于以上分析，我將本課的教學重點、難點確定為：重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法，難點：橢圓的標準方程的推導。二、教法設計在教法上，主要采用探究性教學法和啟發(fā)式教學法。以啟發(fā)、引導為主，采用設疑的形式，逐步讓學生進行探究性的學習。探究性學習就是充分利用了青少年學生富有創(chuàng)造性和好奇心，敢想敢為，對新事物具有濃厚的興趣的特點。讓學生根據(jù)教學目標的要求和題目中的已知條件，自覺主動地創(chuàng)造性地去分析問

4、題、討論問題、解決問題。三、學法設計通過創(chuàng)設情境，充分調(diào)動學生已有的學習經(jīng)驗，讓學生經(jīng)歷“觀察猜想證明應用”的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，把學生的潛意識狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識。又通過實際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質(zhì)。四、學情分析1.能力分析學生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程，對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱。2.認知分析學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，學生已經(jīng)掌握直線和圓的方程及圓錐曲線的概念，對曲線的方程的概念有一定的了解，學生已經(jīng)初步掌握研究直線和圓的基本方法。3.情感分析學生具有積極的學習態(tài)度，強烈的探究欲望，能主動參

5、與研究。五、教學程序從建構主義的角度來看，數(shù)學學習是指學生自己建構數(shù)學知識的活動，在數(shù)學活動過程中，學生與教材及教師產(chǎn)生交互作用，形成了數(shù)學知識、技能和能力，發(fā)展了情感態(tài)度和思維品質(zhì)?；谶@一理論，我把這一節(jié)課的教學程序分成六個步驟來進行，下面我向各位作詳細說明：教 學 過 程設 計 意 圖1. 創(chuàng)設問題情境：情境1 請同學們舉出生活中橢圓形物體的實例 （展示一些橢圓形物體圖片）情境2 宿遷中學校園內(nèi)一些橢圓形小花壇 （展示自拍圖片）問題1 施工時工人師傅是怎樣砌建小花壇的？ （復習橢圓定義，動畫演示）問題2 宿遷中學新校區(qū)綠化、美化工作正在進行，準備在一塊長10米、寬6米的矩形空地上建造一個

6、橢圓形花園，要盡可能多地利用這塊空地，請問：如何畫這個花園的邊界線？ （動畫演示，書寫課題）問題情境的創(chuàng)設應有利于激發(fā)學生的求知欲。為了復習橢圓的定義，我設計如下兩個學生熟悉的情境：通過情境1，讓學生感受到橢圓的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天體的運行軌道。通過情境2和問題1，讓學生主動思考如何畫橢圓及橢圓的定義。 通過問題2，要求學生以小組為單位進行實驗、觀察、歸納、猜想、概括，激發(fā)學生探索的欲望和濃厚的學習興趣，使學生的主體地位得到體現(xiàn)。2. 探求橢圓方程回顧圓的方程的建立過程，首先是做什么？ （提問學生）如何選擇適當?shù)淖鴺讼祦斫E圓的方程呢？ （學生回答）在學生復習

7、圓的方程的建立過程的基礎上，讓學生討論思考如何選擇適當?shù)淖鴺讼祦斫E圓的方程，我想學生通過這些活動能夠建立幾種常見的坐標系，并列出相應的代數(shù)方程。我認為這樣有利于培養(yǎng)學生的動手實驗，分析比較，相互協(xié)作等能力。讓學生體驗到知識的產(chǎn)生過程。xyOF1F2M圖1在不同建系下，列出關于x，y的等式。它們都含有兩個根式，如何化簡這種方程？（學生思考回答，師生共同比較選擇）xyO圖2由于化簡兩個根式的方程的方法特殊，難度較大，估計學生容易想到直接平方，這時可讓學生預測這樣化簡的難度，從而確定移項平方可以簡化計算。為此，我首先啟發(fā)學生如何去掉根號較好，讓學生動手比較，最后得出移項平方化簡方程比較簡單，這樣

8、有利于培養(yǎng)學生的分析比較能力。法一 以兩定點F1、F2所在直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系（如圖1）設為橢圓上的任意一點，設MF1+MF2=m，F(xiàn)1F2=n，（m >n>0）則、移項后再平方由MF1+MF2=m得 移項得 xyOF1F2M圖1平方得 整理得 再平方得再整理得所以 即令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化簡可得 在比較如何化簡方程簡單后，我選擇放手讓學生化簡，讓學生體驗化簡方程的艱辛，經(jīng)受鍛煉，嘗試成功，提高學生參與教學過程的積極性。為了讓學生明白設常數(shù)2a、2c的合理性。我選擇首先設常數(shù)m,n，然后以2a,

9、2c替換，其目的是讓學生體會到設2a,2c的合理性。結合圖形，找出方程中a、c對應的線段xyOF1F2Mca如圖，OF2=c，MF2=a， a與c可以看成RtMOF2的斜邊和直角邊那么a2-c2就是另一直角邊的平方，因此我們令b2=a2-c2（b>0），則方程變?yōu)椋╝b0）由上述過程可知，橢圓上的點的坐標(x,y)都滿足上面這個方程；滿足這個方程的點(x,y)都在已知的橢圓上。所以，這個方程就是所求得橢圓的方程.xyO圖2法二 以兩定點F1、F2所在直線為x軸，F(xiàn)1為原點，建立直角坐標系（如圖2）設為橢圓上的任意一點，設MF1 + MF2 =m, F1F2=n，m>n>0，則

10、、由MF1+MF2=m得 類似第一種方法,移項后平方，整理可得 再平方，整理可得所以 即令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程為 xyOF1F2MxyOF1F2M令b2=a2-c2（b>0），則方程變?yōu)橥ㄟ^比較可知，方程（ab0）更簡潔。把方程叫做橢圓的標準方程?？偨Y推導橢圓的標準方程的步驟：曲線相對于坐標軸有較多的對稱性（1）建系建立適當?shù)淖鴺讼担?）設點移項后再平方（3）列式（4）化簡OF1F2xyM（5）證明如果橢圓豎起放置，怎樣建系？建立如圖所示的直角坐標系，類似于剛才的推導過程可得橢圓的方程，過程留給同學們課后完成。讓學生猜想結論：（ab0），

11、并說明理由。教師從另一角度分析：得到方程的原始等式為 而焦點在y軸上時，由MF1+MF2=2a得對比這兩個等式，能發(fā)現(xiàn)什么結論？ 互換x，y因此，焦點在y軸上的橢圓的方程為由于這兩種形式的方程都很簡單，因此我們把這兩種方程都叫橢圓的標準方程（其中b2=a2-c2）3. 標準方程比較（1）相同點方程中x，y表示橢圓上任意一點的坐標； 關于x，y的二元二次方程；方程右邊是常數(shù)1，左邊是平方和的形式；a是橢圓上的點到兩焦點距離和的一半，b2a2-c2，c是焦距的一半；a2b2+c2，a>b>0, a>c>0,b與c大小不定焦點位置的判定：焦點在較大分母對應的變量的坐標軸上（2

12、）不同點OF1F2xyMA1xyOF1F2MA1A2B1B2A2B1B2標準方程互換x，y 圖 形焦點坐標F1(-c,0），F(xiàn)2(c,0）F1(0,c），F(xiàn)2(0,-c）與坐標軸交點A1（-a，0） A2（a，0）B1（0，-b） B2（0，b）A1（0，a） A2（0，-a）B1（-b，0） B2（b，0）4.初步運用知識（1）若橢圓的焦距為8，a=5，那么它的標準方程是 （或）（2）已知橢圓的方程為，則 a_，b_，c_，焦點坐標為 ，與坐標軸交點坐標為 ，焦距等于 ；如果點P為該橢圓上一點，則PF1+PF2_ _（ F1，F(xiàn)2為焦點）.( 總結： 定位 、 定量 待定系數(shù)法 )這里我選擇

13、設b2=a2-c2（b>0）其作用是首先美化方程：使方程簡潔美、對稱美、和諧美，其次使b具有明顯的幾何意義：原點與橢圓和y軸的交點之間的線段長。通過這兩種方法所得到的橢圓方程的比較，讓學生在比較中體會哪種方程更能反映橢圓的對稱美，從而引出橢圓的標準方程。在得到橢圓的標準方程之后，我和學生共同總結推倒橢圓標準方程的步驟，其目的是進一步強化求曲線方程的一般步驟，同時也讓學生享受成功的喜悅。對于焦點在y軸上的橢圓的標準方程的建立，我選擇讓學生在比較、分析、猜想得到。在得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程過程中，考慮到學生對這一標準方程可能有懷疑的情緒，我選擇引導學生回到建立方程的起始，讓學生對比分

14、析原來兩個方程只是交換兩個變量。5.課堂小結1.推導橢圓的標準方程2. 橢圓兩種標準方程的比較3橢圓的標準方程的基本求法及應用4.自主探索，合作交流（總結本課學習內(nèi)容及學習方式）為了讓學生建構自己的知識體系，我讓學生自己概括所學的內(nèi)容。我認為這樣既能培養(yǎng)了學生的概括能力，又能營造民主和諧的師生關系。6.課后作業(yè)布置1.基礎訓練題：課本P28 1. 2.2.動手操作題：課本P29 7（或用幾何畫板探求）3.課后思考題：有關資料顯示：“神舟六號”飛船的運行軌道是以地球的中心F2位一個焦點的橢圓。已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面200公里，遠地點B (離地面最遠的點) 距地面347公里，并且

15、在F2、A、B同一直線上，地球半徑約為6371km。你能計算出“神舟六號”飛船的軌道方程嗎? (精確到0.01 km) （動畫模擬演示）為了進一步鞏固橢圓的標準方程，我布置如下作業(yè)：六、板書設計§2.2.1 橢圓的標準方程（一）一、橢圓的兩個標準方程 二、求曲線方程的基本步驟三、初步嘗試我選擇這樣的板書設計，其目的是讓學生清楚的認識到本節(jié)課的重要內(nèi)容。七、評價設計1、在“橢圓的標準方程”的引入與推導中，充分利用教具演示，并運用“實驗猜想推導應用”的思想方法，逐步由感性到理性地認識定理。我認為這樣安排符合學生的認識規(guī)律，揭示了知識的發(fā)生、發(fā)展過程；也符合現(xiàn)代教育理論中的“要把學生學習知識當作認識事物的過程來進行教學”的觀點。2、在教學的過程中始終本著“教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者”的原則，讓學生通過實驗、觀察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等過程建構新知識，并初步學會從數(shù)學的角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的濃厚興趣。3、在創(chuàng)設情境、推導