整式的乘法與因式分解講義

1、1 整式乘除與因式分解一知識點1冪的運算性質(zhì)：amanam n（m 、n 為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例： (2a)2( 3a2)3 2 nma am n （m 、n 為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘例： ( a5)53nnnbaab（n 為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積例： ( a2b)3 4nmaa am n （a0，m 、n 都是正整數(shù)，且m n）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減例： （1）x8x2（2） （ab）5（ab）2 5零指數(shù)冪的概念：a01 （a0）任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l 例：若1)32(0ba成立，則ba,滿足什么條件？6負指數(shù)冪的概

2、念：appa1（ a0，p 是正整數(shù)）任何一個不等于零的數(shù)的p（p 是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p 指數(shù)冪的倒數(shù)也可表示為：ppnmmn（ m 0，n0，p 為正整數(shù)）7單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式例： （ 1）223123abcabcba（ 2）4233)2()21(nmnm8單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加例： （1）)35(222baabab（2）ababab21)232(2（3）)32()5(-22nmnnm（ 4）x

3、yzzxyzyx)(23229多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加例： （1）)6.0(1xx）（ 2）)(2(yxyx（ 3）2)2nm（練習(xí)：1計算 2x 3( 2xy)( 12xy) 3的結(jié)果是2如果 (a nbab m) 3a 9b 15，那么 mn的值是2 3若 k(2k 5) 2k(1 k) 32，則 k4( 3x 2) (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) 10單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式例：

4、（1）28x4y27x3y（2）-5a5b3c 15a4b（3） （ 2x2y）3 （-7xy2） 14x4y311多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把商相加練習(xí)： （1）223247173yxzyx；（2）2232232yxyx；易錯點：在冪的運算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯誤；有關(guān)多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯；乘除混合運算順序出錯。12乘法公式：平方差公式： （ab） （ab） a2b2文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差完全平方公式： （ab）2

5、a22abb2（a b）2a22abb2文字語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2 倍例 1： （1）(7+6x)(7 -6x) ；（2）(3y x)(x - 3y) ；例 2： (1) (x+6)2練習(xí)：1、4352aa=_。3222323()2()()x x yx yxy_。2、2323433428126babababa（_）3、222_9(_)xyx；2235(7)xxx（_）4、已知15xx，那么331xx=_；21xx=_。5、若22916xmxyy是一個完全平方式，那么m的值是 _。6、多項式2, 12,2223xxxxxx的公因式是

6、_。7、ayxyxyx)(22，則a=_ 易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式。13因式分解（難點）一、因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：3 （1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因

7、式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項（4）注意點： 提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到 “底” ；如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的例： （1）323812a bab c（2）35247535x yx y2、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方

8、差公式： a2b2 （ab） （ab）完全平方公式：a22abb2（ ab）2； a22abb2（ ab）2 3. 分組分解法要把多項式amanbm bn 分解因式，沒有公因式可提，也不能直接運用公式，如果先把前兩項分成一組，并提出公因式a，把它的后兩項分成另一組，提出公因式b，從而得到a(m+n)+b（m+n ） ，這時又有公因式（m+n ） ，于是提出（m+n ） ，從而得到（m+n ） （ a+b） ，這種方法叫分組分解法。注意：總項數(shù)（四項或四項以上） 常見題多為四項，二四分：兩兩分組，再提公因式。一三分：一個三項一組（用完全平方公式），另一個一項一組（平方項），這 兩組再用平方公式。

9、例： （1）2220.25a bc（2）29()6()1abba（3）42222244a xa x yx y（ 4）22()12()36xyxy zz練習(xí)：1、若16)3(22xmx是完全平方式，則m的值等于 _。2、22)(nxmxx則m=_n=_ 3、232yx與yx612的公因式是4、若nmyx=)()(4222yxyxyx，則 m=_ ，n=_。4 6、若16)3(22xmx是完全平方式，則m=_ 。8、已知, 01200520042xxxx則._2006x10、22)3(_6xxx，22) 3(9_xx12、若442xx的值為 0，則51232xx的值是 _。14、若6,422yxy

10、x則xy_。易錯點：用提公因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項，丟系數(shù)或符號錯誤；分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 是中考的一個重點內(nèi)容. 其考點主要涉及以下幾個方面：考點 1、冪的有關(guān)運算例 1 （2009 年湘西）在下列運算中，計算正確的是（）（a）326aaa（b）235()aa（c）824aaa（d）2224()aba b例 2. （2009 年齊齊哈爾）已知102m，103n，則3210mn_考點 2、整式的乘法運算例 3 （2009 年賀州）計算：31( 2 ) (1)4aa = 考點 3、乘法公式例 4. (2009年山西省 ) 計算：2312xxx例 5. (2009年寧夏 ) 已知：32ab，1ab，化簡(2)(2)ab的結(jié)果是考點 4、利用整式運算求代數(shù)式的值例 6 （2009 年長沙）先化簡，再求值：22()()()2ab ababa，其中133ab，考點 5、整式的除法運算例 7. (2009年廈門 ) 計算： (2xy)(2xy) y(y6x) 2x考點 6、定義新運算例