整式的乘法與因式分解講義

1、1 整式乘除與因式分解一知識(shí)點(diǎn)1冪的運(yùn)算性質(zhì)：amanam n（m 、n 為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例： (2a)2( 3a2)3 2 nma am n （m 、n 為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘例： ( a5)53nnnbaab（n 為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積例： ( a2b)3 4nmaa am n （a0，m 、n 都是正整數(shù)，且m n）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減例： （1）x8x2（2） （ab）5（ab）2 5零指數(shù)冪的概念：a01 （a0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l 例：若1)32(0ba成立，則ba,滿足什么條件？6負(fù)指數(shù)冪的概

2、念：appa1（ a0，p 是正整數(shù)）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的p（p 是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p 指數(shù)冪的倒數(shù)也可表示為：ppnmmn（ m 0，n0，p 為正整數(shù)）7單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式例： （ 1）223123abcabcba（ 2）4233)2()21(nmnm8單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加例： （1）)35(222baabab（2）ababab21)232(2（3）)32()5(-22nmnnm（ 4）x

3、yzzxyzyx)(23229多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加例： （1）)6.0(1xx）（ 2）)(2(yxyx（ 3）2)2nm（練習(xí)：1計(jì)算 2x 3( 2xy)( 12xy) 3的結(jié)果是2如果 (a nbab m) 3a 9b 15，那么 mn的值是2 3若 k(2k 5) 2k(1 k) 32，則 k4( 3x 2) (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) 10單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式例：

4、（1）28x4y27x3y（2）-5a5b3c 15a4b（3） （ 2x2y）3 （-7xy2） 14x4y311多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把商相加練習(xí)： （1）223247173yxzyx；（2）2232232yxyx；易錯(cuò)點(diǎn)：在冪的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤；有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò)；乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12乘法公式：平方差公式： （ab） （ab） a2b2文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差完全平方公式： （ab）2

5、a22abb2（a b）2a22abb2文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2 倍例 1： （1）(7+6x)(7 -6x) ；（2）(3y x)(x - 3y) ；例 2： (1) (x+6)2練習(xí)：1、4352aa=_。3222323()2()()x x yx yxy_。2、2323433428126babababa（_）3、222_9(_)xyx；2235(7)xxx（_）4、已知15xx，那么331xx=_；21xx=_。5、若22916xmxyy是一個(gè)完全平方式，那么m的值是 _。6、多項(xiàng)式2, 12,2223xxxxxx的公因式是

6、_。7、ayxyxyx)(22，則a=_ 易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13因式分解（難點(diǎn)）一、因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：3 （1）分解對象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因

7、式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)（4）注意點(diǎn)： 提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到 “底” ；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的例： （1）323812a bab c（2）35247535x yx y2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方

8、差公式： a2b2 （ab） （ab）完全平方公式：a22abb2（ ab）2； a22abb2（ ab）2 3. 分組分解法要把多項(xiàng)式amanbm bn 分解因式，沒有公因式可提，也不能直接運(yùn)用公式，如果先把前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它的后兩項(xiàng)分成另一組，提出公因式b，從而得到a(m+n)+b（m+n ） ，這時(shí)又有公因式（m+n ） ，于是提出（m+n ） ，從而得到（m+n ） （ a+b） ，這種方法叫分組分解法。注意：總項(xiàng)數(shù)（四項(xiàng)或四項(xiàng)以上） 常見題多為四項(xiàng)，二四分：兩兩分組，再提公因式。一三分：一個(gè)三項(xiàng)一組（用完全平方公式），另一個(gè)一項(xiàng)一組（平方項(xiàng)），這 兩組再用平方公式。

9、例： （1）2220.25a bc（2）29()6()1abba（3）42222244a xa x yx y（ 4）22()12()36xyxy zz練習(xí)：1、若16)3(22xmx是完全平方式，則m的值等于 _。2、22)(nxmxx則m=_n=_ 3、232yx與yx612的公因式是4、若nmyx=)()(4222yxyxyx，則 m=_ ，n=_。4 6、若16)3(22xmx是完全平方式，則m=_ 。8、已知, 01200520042xxxx則._2006x10、22)3(_6xxx，22) 3(9_xx12、若442xx的值為 0，則51232xx的值是 _。14、若6,422yxy

10、x則xy_。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號錯(cuò)誤；分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容. 其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn) 1、冪的有關(guān)運(yùn)算例 1 （2009 年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（a）326aaa（b）235()aa（c）824aaa（d）2224()aba b例 2. （2009 年齊齊哈爾）已知102m，103n，則3210mn_考點(diǎn) 2、整式的乘法運(yùn)算例 3 （2009 年賀州）計(jì)算：31( 2 ) (1)4aa = 考點(diǎn) 3、乘法公式例 4. (2009年山西省 ) 計(jì)算：2312xxx例 5. (2009年寧夏 ) 已知：32ab，1ab，化簡(2)(2)ab的結(jié)果是考點(diǎn) 4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例 6 （2009 年長沙）先化簡，再求值：22()()()2ab ababa，其中133ab，考點(diǎn) 5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009年廈門 ) 計(jì)算： (2xy)(2xy) y(y6x) 2x考點(diǎn) 6、定義新運(yùn)算例