球面三角實用教案

1、第一章 球面三角 球面三角,主要研究(ynji)球面上由三個大圓弧相交圍成的球面三角形及其性質(zhì)、解算等問題,為學(xué)習(xí)航海專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 第1頁/共67頁第一頁，共67頁。第一節(jié) 球面幾何一、球、球面 在空間與一定(ydng)點等距離的點的軌跡稱為球面（spherical surface）。包圍在球面中的實體稱為球（sphere）,這一定(ydng)點稱為球心。第2頁/共67頁第二頁，共67頁。 過球心與球面相交(xingjio)的直線段稱為球直徑。 球心與球面上任意一點間的距離(jl)稱為球半徑R。R同球的半徑和直徑(zhjng)相等。同理,半徑或直徑(zhjng)相等的球全等。第

2、3頁/共67頁第三頁，共67頁。 二、球面(qimin)上的圓任意一平面和球面(qimin)相截的截痕是圓。平面(pngmin)通過球心時，所截成的圓稱為大圓（great circle）， 它的一段圓周叫大圓弧。平面不通過球心的圓稱為(chn wi)小圓（small circle），它的一段圓周叫小圓弧。第4頁/共67頁第四頁，共67頁。推理(tul)：在同球或等球中，與球心的距離相等的截面所截的圓也相等，與球心的距離不等的兩個截面所截的圓不等，距球心較近的截面所截的圓較大，反之較小。第5頁/共67頁第五頁，共67頁。 三、大圓的性質(zhì) 1大圓的圓心與球心(qixn)重合。 2 大圓的直徑(zh

3、jng)等于球直徑(zhjng)，半徑等于球半徑。 3大圓等分球面和球體。 4同球上的兩個大圓平面一定相交，交線是它們的直徑(zhjng)，并且兩大圓互相平分。第6頁/共67頁第六頁，共67頁。 5過球面上不在同一直徑兩端上的兩個(lin )點，能作且僅能作一個大圓，卻能作無數(shù)個小圓。 6過在同一直徑(zhjng)兩端上的兩個點，則能作無數(shù)個大圓而不能作小圓。 第7頁/共67頁第七頁，共67頁。 7小于180的大圓?。踊。┦乔蛎嫔蟽牲c間的最短球面距離。 因此，兩點間的球面距離應(yīng)用(yngyng)大圓弧度量。 AOCAOB AOC+COD+GOB+AB AC+CD+GBBDG第8頁/共67頁第

4、八頁，共67頁。 四、軸、極、極距、極線 垂直于任意(rny)圓面的球直徑稱為該圓（大圓或小圓）的軸（axis）。 PP 垂直于同一軸可有數(shù)個平行圓，其中只有一個通過(tnggu)球心的是大圓，其余的都是小圓。 軸的兩個(lin )端點稱為極(pole)，故每個圓均有兩個(lin )極。O第9頁/共67頁第九頁，共67頁。 從極到圓(大圓(d yun)或小圓)弧上任一點沿大圓(d yun)弧的球面距離叫極距(polar distance),又叫球面半徑。 abcdPPOABCD 極距為90的大圓弧又稱為(chn wi)該極的極線。 第10頁/共67頁第十頁，共67頁。 球面上一點到某一大圓弧上

5、任意兩點間的球面距離都是90，則這一點就是( jish)該大圓的極而這個大圓則是該點的極線。極線必定是大圓弧。abcdPPOABCD第11頁/共67頁第十一頁，共67頁。其交點(jiodin)叫球面角的頂點，兩大圓弧稱為球面角的邊。 五、球面角及其度量(dling)PPOABCD 球面(qimin)上兩大圓弧相交構(gòu)成的角稱為球面(qimin)角(spherical angle)，第12頁/共67頁第十二頁，共67頁。球面角的三種度量方法(fngf)： 1切于頂點大圓弧的切線夾角CPD； PPOABDC 2頂點(dngdin)的極線被其兩邊大圓弧所截的弧長AB； 3大圓弧AB 所對的球心(qix

6、n)角AOB。 第13頁/共67頁第十三頁，共67頁。baoBA六、圓心角相等(xingdng)的小圓弧與大圓弧之比PPO sinpa=cos（90pa） cosAa cosab/ao =AB/AO圓心角（弧度） ab/ AB ao /AOao/aO sinaOo 圓心角AOBaob第14頁/共67頁第十四頁，共67頁。 七、兩大圓極之間的大圓弧所對的球心(qixn)角等于該兩大圓面的兩面角。 90BODAOB90BOD DOEAOB DOE第15頁/共67頁第十五頁，共67頁。第二節(jié) 球面(qimin)三角形一、球面(qimin)三角形的定義在球面(qimin)上由三個大圓弧圍成的三角形稱為

7、球面(qimin)三角形（spherical triangle）。 第16頁/共67頁第十六頁，共67頁。 球面(qimin)三角形的三個角和三條邊稱為球面(qimin)三角形的六要素。 航海上討論的球面(qimin)三角形的六要素均大于0，而小于180，又稱其為歐拉球面(qimin)三角形。 第17頁/共67頁第十七頁，共67頁。 二、球面(qimin)三角形分類 球面三角形分為直角(zhjio)、直邊、等腰、等邊、初等和任意三角形。 1球面直角(zhjio)三角形和球面直邊三角形 至少有一個角為90的三角形稱為球面直角(zhjio)三角形。 至少有一個邊為90的三角形稱為球面直邊三角形。第

8、18頁/共67頁第十八頁，共67頁。 2球面(qimin)等腰三角形和球面(qimin)等邊三角形 有兩邊或兩角相等的三角形稱為球面(qimin)等腰三角形。 若三邊或三角都相等的三角形稱為球面(qimin)等邊三角形。 第19頁/共67頁第十九頁，共67頁。 3球面初等三角形 三個邊相對其球半徑甚小的三角形稱為球面小三角形。只有(zhyu)一個角及其對邊相對球半徑甚小的三角形稱為球面窄三角形。兩者統(tǒng)稱為球面初等三角形 第20頁/共67頁第二十頁，共67頁。 4球面任意三角形 凡不具備上述(shngsh)特殊條件的球面三角形稱為球面任意三角形。 第21頁/共67頁第二十一頁，共67頁。三、球面

9、(qimin)三角形的關(guān)系 1.全等球面三角形 在同球或等球上，邊角對應(yīng)相等，且排列順序(shnx)相同的三角形。 全等的條件有下列四種情況： （1）二邊及其夾角對應(yīng)相等； （2）二角及其夾邊對應(yīng)相等； （3）三邊對應(yīng)相等； （4）三角對應(yīng)相等。第22頁/共67頁第二十二頁，共67頁。 2.相似球面(qimin)三角形 在半徑不同的球面(qimin)上，邊角度數(shù)對應(yīng)相等的三角形。 3.對稱球面(qimin)三角形 4.極線球面(qimin)三角形 球面(qimin)三角形的三個頂點的極線所構(gòu)成的三角形。 內(nèi)、外第23頁/共67頁第二十三頁，共67頁。 原三角形與其(yq)極線三角形有如下關(guān)系：

10、 （1）原三角形與其(yq)極線三角形的關(guān)系是相互的。即： 原三角形的頂點是極線三角形對應(yīng)邊的極，極線三角形的頂點是原三角形對應(yīng)邊的極。（證明） （2）原三角形的邊與其(yq)極線三角形對應(yīng)的角互補(bǔ)。原三角形的角與其(yq)極線三角形對應(yīng)的邊互補(bǔ)。 （證明）第24頁/共67頁第二十四頁，共67頁。四、球面(qimin)三角形的性質(zhì) 1.球面三角形與三面角的關(guān)系 球面三角形的角是三面角的三個二面角； 球面三角形的邊與所對應(yīng)(duyng)的三面角的面角相等。 2.球面三角形的每一邊必大于0而小于180 ，三邊之和大于0 而小于360 。 3.球面三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。第25

11、頁/共67頁第二十五頁，共67頁。 4.球面三角形的每一角必大于0 而小于180 ，三角和必大于180 而小于540 。 5.球面三角形三角之和超出180 的部分稱為球面角盈（或球面剩余），以E表示，即： EAB+C180 6.球面三角形兩角之和減去第三角小于180 。 7.球面三角形的外角小于不相鄰的兩內(nèi)角的和而大于它們之差。 8.同一球面三角形中對等邊的角相等，對等角的邊也相等。 9.在任意球面三角形中對大角(d jio)的邊較大，對大邊的角也較大。第26頁/共67頁第二十六頁，共67頁?？偨Y(jié)上述性質(zhì)，可得一個(y )球面三角形的成立條件為： 1. 當(dāng)給定了球面三角形的三個邊時： （1）任

12、一邊應(yīng)大于0，小于180 ； （2）三邊之和大于0 ，小于360 ； （3）二邊之和大于第三邊或二邊之差小于第三邊。 2. 當(dāng)給定了球面三角形的三個角時： （1）任一角應(yīng)大于0，小于180 ； （2）三角之和大于180 ，小于540 ； （3）二角之和減去第三角小于180 。 3. 若給定球面三角形的兩個角及其夾邊或兩個邊及其夾角，則僅需滿足每一個角和每一個邊大于0，小于180 的條件，球面三角形都成立。 4. 若給定球面三角形的兩個角及其一個角的對邊，或兩個邊及其一邊的對角(du jio)，則該三角形是否成立，情況比較復(fù)雜。第27頁/共67頁第二十七頁，共67頁。第三節(jié) 球面(qimin)三

13、角形的邊角函數(shù)關(guān)系 一、任意球面三角形 1余弦公式（cosine formula） 第28頁/共67頁第二十八頁，共67頁。 邊的余弦公式 bac 記憶(jy)口訣： 一邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積，加上這兩邊正弦及其夾角余弦的乘積。cos a = cos b cos csin b sin c cosA第29頁/共67頁第二十九頁，共67頁。 角的余弦公式 bac 記憶口訣：一角的余弦等于(dngy)其它兩角余弦的乘積冠以負(fù)號加上這兩角正弦及其夾邊余弦的乘積。 cosA-cosBcosCsinBsinCcosa第30頁/共67頁第三十頁，共67頁。 2正弦公式（sine formula） 記

14、憶口訣：邊的正弦與其(yq)對角的正弦成比例。 Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC第31頁/共67頁第三十一頁，共67頁。 3、正余弦公式（五聯(lián)公式） 將cosa=cosbcosc+sinbsinccosA 代入 cosc=cosacosb+sinasinbcosC中，得 cosc=(cosbcosc+sinbsinccosA)cosb+sinasinbcosC 展開并整理，可得 sinacosC=sinbcosc-cosbsinccosA 上式稱為邊角正余弦公式（或五聯(lián)公式），表示三個邊和兩個角的關(guān)系。 讀成：相鄰邊角正余弦的乘積等于鄰邊第三(d sn)邊正余弦之積減

15、去鄰邊第三(d sn)邊余正弦及其夾角余弦之積。第32頁/共67頁第三十二頁，共67頁。 通過極線三角形原理，前式可改寫為： sinAcosc=sinBcosC+cosBsinCcosa 上式稱為角邊正余弦公式。它表示一個球面三角形三個角和兩個邊的關(guān)系。 可讀成：相鄰角邊正余弦的乘積等于鄰角第三(d sn)角正余弦之積加上鄰角第三(d sn)角余正弦及其夾邊余弦之積。 正余弦公式一般不用來求解，而是用以導(dǎo)出其它球面三角形公式。第33頁/共67頁第三十三頁，共67頁。 4余切公式（四聯(lián)公式） 根據(jù)(gnj)角邊正余弦公式 sinBcosa=sinCcosA+cosCsinAcosb 用sinA除

16、等式兩邊，得 sinBcosa/sinA=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA sinB/sinA=sinb/sina 所以 sinbcosa/sina=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA 即 ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosb 稱為余切公式（或四聯(lián)公式）第34頁/共67頁第三十四頁，共67頁。 記憶(jy)口訣：外邊余切內(nèi)邊正弦等于外角余切內(nèi)角正弦加上內(nèi)邊內(nèi)角余弦之積。外邊(wi bian)內(nèi)邊外角(wi jio)bacACB內(nèi)角ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC 它表示在一個球面三角形中相連起來的兩個

17、邊和兩個角的關(guān)系。第35頁/共67頁第三十五頁，共67頁。 （1）已知兩邊(lingbin)一夾角解球面三角形 例1-3-1：在球面三角形中，已知a11831.1，b5020.6，C10040.8求c、A。 解:根據(jù)已知條件(tiojin)寫出邊的余弦公式,利用計算器解算：cosccosacosbsinaisnbcosC c = 115 28.6外邊(wi bian)內(nèi)邊外角bacACB內(nèi)角ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosCctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC A= 106 58.6第36頁/共67頁第三十六頁，共67頁。第37頁/共67頁第三十七頁，共67頁

18、。3.已知球面(qimin)三角形a 12012.3 ，c 10053.4，B 6032.6，求b？，C？4.已知球面(qimin)三角形 b 7142.6，c 10121.5，A 9512.6，求a？，B？第38頁/共67頁第三十八頁，共67頁。 二、其它(qt)球面任意三角形公式 1、納比爾相似式2)(21cos)(21cos)(21CctgbabaBAtg2)(21sin)(21sin)(21CctgbabaBAtg第39頁/共67頁第三十九頁，共67頁。2)(21cos)(21cos)(21cctgBABAbatg2)(21sin)(21sin)(21cctgBABAbatg 若已知兩

19、邊及其夾角求另外(ln wi)兩個角或已知兩角及其夾邊求另外(ln wi)兩個邊時，可利用上面四個公式。 求地球上兩點的子午線收斂差就需要用到納比爾相似式。第40頁/共67頁第四十頁，共67頁。 子午線收斂差是指船舶沿著大圓弧航行時，在起航(qhng)點時的航向為A1，沿著大圓弧航行到B點時則其航向為A2，航向變動量（A2A1）就是A、B兩點的子午線收斂差。子午線收斂差產(chǎn)生的原因是因地面上各點的子午線相交于極點所致。第41頁/共67頁第四十一頁，共67頁。 2、半角公式(gngsh)cbcpbpAsinsin)sin()sin(2sinacapcpsinsin)sin()sin(2sinBba

20、bpapCsinsin)sin()sin(2sin)(21cbap式中上式為半角正弦(zhngxin)公式第42頁/共67頁第四十二頁，共67頁。 半角余弦公式(gngsh)、正切公式(gngsh)如下：cbappAsinsin)sin(sin2cosacbppBsinsin)sin(sin2cosbacppCsinsin)sin(sin2cos)sin(sin)sin()sin(2appcpbpAtg)sin(sin)sin()sin(2bppapcpBtg)sin(sin)sin()sin(2cppbpapCtg第43頁/共67頁第四十三頁，共67頁。三、球面(qimin)直角三角形 1、

21、球面直角三角形定義 2、球面直角三角形公式 設(shè)在球面三角形ABC中，C90，則sinC1，cosC0。將這樣的關(guān)系代入球面任意三角形基本( jbn)公式（正弦公式、余弦公式、四聯(lián)公式），可導(dǎo)出10個球面直角三角形基本( jbn)公式： sinasinAsinc 第44頁/共67頁第四十四頁，共67頁。 3、球面(qimin)直角三角形公式的記憶法則bacC ABb a 90A90B 90c C90納比爾法則(fz)（又稱 大字法則(fz)）：任一要素的正弦，等于相鄰二要素正切的乘積或等于相對二要素余弦的乘積。第45頁/共67頁第四十五頁，共67頁。 4、球面(qimin)直角三角形解法 球面(

22、qimin)直角三角形的特有性質(zhì)邊角性質(zhì)證明公式若直角邊（a，b）在同一象限則斜邊（c）小于90，若兩直角邊不在同一象限則斜邊大于90Cosc=cosacosb若斜邊兩鄰角（A，B）在同一象限則斜邊（c）小于90，若斜邊兩鄰角不在同一象限則斜邊大于90Cosc=ctgActgB直角邊與其對角（a和A或b和B）在同一象限CosA=sinBcosaCosB=sinAcosb第46頁/共67頁第四十六頁，共67頁。 球面直角三角形解的判定 （1）當(dāng)所求未知要素的函數(shù)是余弦、正切和余切時，可直接根據(jù)三角函數(shù)值的正或負(fù)決定所求未知要素是大于還是小于90。 （2）當(dāng)所求未知要素的函數(shù)是正弦時，可能只有(z

23、hyu)一解，也可能有兩解，所以必須選擇適合于問題的解。選擇解的原則可根據(jù)球面直角三角形的特有性質(zhì)來判定。第47頁/共67頁第四十七頁，共67頁。四、球面(qimin)直邊三角形 1、球面直邊三角形定義 2、球面直邊三角形公式 設(shè)在球面三角形ABC中，c90，則sinc1，cosc0。將這樣的關(guān)系(gun x)代入球面任意三角形基本公式（正弦公式、余弦公式、四聯(lián)公式），可導(dǎo)出10個球面直邊三角形基本公式： sinAsinasinC 第48頁/共67頁第四十八頁，共67頁。 3、球面(qimin)直邊三角形公式的記憶法則BA90a90b90Cc90bacCAB納比爾法則（又稱 大字法則）：任一要

24、素的正弦，等于相鄰二要素正切(zhngqi)的乘積或等于相對二要素余弦的乘積，若等式右邊為相同要素（均為邊或均為角）時冠以負(fù)號。第49頁/共67頁第四十九頁，共67頁。l4、球面(qimin)直邊三角形解法l球面(qimin)直邊三角形的特有性質(zhì)邊角性質(zhì)證明公式若直邊的兩個鄰角（A，B）在同一象限則直邊的對角（C）大于90，若直邊的兩個鄰角不在同一象限則直邊的對角小于90CosC=cosAcosB若其它兩邊（a,b）在同一象限則直邊的對角（C）大于90，若其它兩邊不在同一象限則直邊的對角小于90CosC=ctgactgb直邊的鄰角（A或B）與它的對邊（a或b）必在同一象限Cosa=sinbco

25、sACosb=sinacosB第50頁/共67頁第五十頁，共67頁。 球面(qimin)直邊三角形解的判定 （1）當(dāng)所求未知要素的函數(shù)是余弦、正切和余切時，可直接根據(jù)三角函數(shù)值的正或負(fù)決定所求未知要素是大于還是小于90。 （2）當(dāng)所求未知要素的函數(shù)是正弦時，可能只有一解，也可能有兩解，所以必須選擇適合于問題的解。選擇解的原則可根據(jù)球面(qimin)直邊三角形的特有性質(zhì)來判定。第51頁/共67頁第五十一頁，共67頁。五、球面(qimin)初等三角形 （一）、球面小三角形 雖然三個邊甚小，但三個角不會很小，其和接近180，且大于180。 如果不要求過高的精度，在誤差的允許范圍內(nèi)，球面小三角形可視為

26、平面三角形而進(jìn)行近似計算。 在球面幾何中已知，一個球面三角形三角之和大于180而小于540。平面三角形三角之和等于(dngy)180。它們之間的差值（A+B+C180）稱為球面角盈E。第52頁/共67頁第五十二頁，共67頁。 式中：S球面三角形的面積； a、b、c分別為三邊的邊長； R球半徑。 根據(jù)上式，當(dāng)?shù)孛嫔系那蛎嫘∪切胃鬟呴L均為15海里時，球面角盈近似為2；當(dāng)各邊長均為60海里時，球面角盈近似為27。 航海上，在視野范圍內(nèi)觀測(gunc)路標(biāo)定位時，完全可將球面三角形視為平面三角形來對待。 在精度要求較高的大地測量等專業(yè)中，忽視球面角盈是不許可的。)241(1sin22222RcbaR

27、S E第53頁/共67頁第五十三頁，共67頁。 （二）、球面窄三角形 ABC為球面窄三角形， 其a邊、A角甚小， 顯然，該三角形中， bc B Ce （ Ce表示C的外角(wi jio)） C Be （ Be表示B的外角(wi jio)） 所以可以用較簡單的近似公式解球面窄三角形。A BC c b a第54頁/共67頁第五十四頁，共67頁。1、求角A的第一近似( jn s)公式 cBaAsinsin1Babccos)(12、求b的第一近似公式直接求b是困難的，只能(zh nn)先求（cb），然后換算出b。第55頁/共67頁第五十五頁，共67頁。3、求角A的第二近似公式第一(dy)近似值往往不能

28、滿足要求，所以需要求第二近似值。cBctgcaAAcsc2sin2212Bctgcabcbc2212sin21)()(4、求邊b的第二近似(jn s)公式第56頁/共67頁第五十六頁，共67頁。5、球面窄三角形在航海(hnghi)上的應(yīng)用在天文上，觀測北極星高度求測者緯度改正量和觀測北極星方位求羅經(jīng)差時，就需要用到球面窄三角形公式。在研究球面三角形誤差時，也要用到球面窄三角形的近似公式。第57頁/共67頁第五十七頁，共67頁。六、球面(qimin)三角形的解法1、已知兩角夾邊解該三角形例題：在球面三角形中，已知 a5044.0， B 6912.0， C115 55 .4，求 c。應(yīng)用四聯(lián)公式：邊的外余切內(nèi)正弦等于(dngy)角的外余切內(nèi)正弦加上雙內(nèi)余弦之積ctgcsina=ctgCsinB+cosacosb第58頁/共67頁第五十八頁，共67頁。2、已知兩邊及其一對角解該三角形例題：在球面三角形中，已知 a80， b 60， A40 ，求 B。應(yīng)用(yngyng)正弦公式第59頁/共67頁第五十九頁，共67頁。 3、已知三邊解該三角形 例題：在球面(qimin)三角形中， 已知 a11240， b 5827， c122 27 ，