高三專題復(fù)習(xí)資料導(dǎo)數(shù)

1、專題2函數(shù)、導(dǎo)數(shù)常熟外國語學(xué)校 蘇曉春【課標(biāo)要求】1.課程目標(biāo)通過導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)及其在實(shí)際中的作用；感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的作用以及變量數(shù)學(xué)的思想方法，提高學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)和函數(shù)的思想分析、解決數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題的能力；體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類文化發(fā)展的意義和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.2.復(fù)習(xí)要求（1）了解平均變化率的概念和瞬時(shí)變化率的意義；了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.（2）理解

2、導(dǎo)數(shù)的定義，能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，知道 .了解基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；了解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；能利用導(dǎo)數(shù)公式表的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（3）了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.了解函數(shù)的極大（?。┲?、最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大（小）值，以及在指定區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大（小）值.（4）能用導(dǎo)數(shù)方法求解有關(guān)利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等最優(yōu)化問題；感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.3.復(fù)習(xí)建議（1）導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一,要體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.要認(rèn)真

3、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定義推導(dǎo)幾個(gè)常見初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要注意形式化訓(xùn)練中的規(guī)范要求，從而加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和理解，并從中領(lǐng)悟求導(dǎo)數(shù)這一算法的基本思想.這里的常見初等函數(shù)指：，.（2）教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，結(jié)合實(shí)例和函數(shù)的圖象，借助幾何直觀，將研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法與初等方法作比較，讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.（3）重視導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)與實(shí)際生活中的應(yīng)用的教學(xué)，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用.要注意運(yùn)用學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題、生產(chǎn)與生活中的實(shí)際問題，幫助學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值. （4）對(duì)于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題,要夯實(shí)基礎(chǔ)，要熟練掌握 函數(shù)圖

4、像性質(zhì)，會(huì)用二次函數(shù)圖像性質(zhì)研究有關(guān)三次函數(shù)圖像性質(zhì). 重點(diǎn)加強(qiáng)與二次函數(shù)及以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的三次函數(shù)（二次函數(shù)是三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）有關(guān)的綜合問題.有些問題可能未必是三次函數(shù)問題，但求導(dǎo)后最終轉(zhuǎn)化為有關(guān)不等式的問題（主要是一次、二次不等式或分式、高次不等式）, 所以在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)不等式的求解問題，特別是一次、二次不等式.另外對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)綜合問題，要注意分類討論，打開絕對(duì)值，再進(jìn)行求解.例1（填空題）（1）(選修2-2 P7)已知，則在上的平均變化率是 .解析: 在上的平均變化率為，的平均變化率總為. 答案：3（2） 已知函數(shù)滿足對(duì)任意 ，都有成立，則a的取值范圍是. 解析:

5、函數(shù)滿足對(duì)任意 ，都有成立，函數(shù)在R上為減函數(shù)，故 （3）已知函數(shù)則得單調(diào)增區(qū)間是 解析:，令，得，故.（4）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的范圍為 解析：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)恒成立即在內(nèi)恒成立在上的最大值為， 答案：（5）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以為切點(diǎn)的切線中，斜率取得最小值時(shí)的切線方程是_ 解析：設(shè)切線的斜率為,則.當(dāng)時(shí)，有最小值4.又，所以切線方程為，即.答案：（6）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則_ 解析：，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得.則. 答案：（7）已知函數(shù)，若直線對(duì)任意的都不是曲線的切線，則的取值范圍為 解析：，對(duì)任意，（8）（2009湖北高考）已知函數(shù)，則的值為

6、_ 解析： ，. 故. 答案：1（9）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則的大小關(guān)系為_ 解析：由，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，恒成立， 所以在上為增函數(shù)， ，且，所以)，即 答案：（10）已知函數(shù).若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解析：，.且不同時(shí)取等號(hào).原題可轉(zhuǎn)化為存在，成立. 只要即可.令,又在恒成立，所以在上為增函數(shù)，.所以. 答案：例2 已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)在上為增函數(shù)，用單調(diào)性定義求的取值范圍;用導(dǎo)數(shù)定義求的取值范圍.解析：(1)定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 當(dāng)時(shí)，滿足對(duì)定義域上任意， 時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，若為偶函數(shù)，則 矛盾，若為奇函數(shù)，則矛盾，當(dāng)時(shí)，

7、是非奇非偶函數(shù)(2) 任取 =. ，)在上為增函數(shù)，,即在3，)上恒成立 ， .，函數(shù)在上為增函數(shù)，在恒成立. 只要，. 例3已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是.（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.解析：（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即又，由已知得聯(lián)立，解得.所以函數(shù)的解析式為 （II）因?yàn)榱町?dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解， 由，得.當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值. 例4 某廣告公司為2010年上海

8、世博會(huì)設(shè)計(jì)了一種霓虹燈，樣式如圖中實(shí)線部分所示. 其上部分是以為直徑的半圓，點(diǎn)為圓心，下部分是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，. 現(xiàn)在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節(jié)能燈. 若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長(zhǎng)度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為，節(jié)能燈的比例系數(shù)為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果”是所有燈“心悅效果”的和.（）試將表示為的函數(shù)；（）試確定當(dāng)取何值時(shí)，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳？DOABEF2x解析：（）因?yàn)?所以弧、的長(zhǎng)分別為 ， 連接，則， 所以 （）因?yàn)橛?解得，即 ,又當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，該霓

9、虹燈整體的“心悅效果”最佳 .例5已知函數(shù)，且對(duì)任意，有.（1）求；（2）已知在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）已知，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？解析：（1）由得 （2）所以依題意，或在（0，1）上恒成立即或在（0，1）上恒成立由在（0，1）上恒成立，可知由在（0，1）上恒成立，可知，所以或 （3），令所以,令，則，列表如下：（-，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，+）+00+0h(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)1或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).例6 設(shè)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方

10、程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值解析：(1)當(dāng)時(shí)，.令，得，所以切點(diǎn)為，. ，. 即切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為. (2)當(dāng)時(shí)， ，恒成立，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，()當(dāng) ，即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)故當(dāng)時(shí)，且此時(shí)；()當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在時(shí)為正數(shù)所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 故當(dāng)時(shí)，且此時(shí)；()當(dāng) 即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)， 所以在區(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和時(shí)的最小值都是.所以此時(shí)的最小值為； 當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為，在時(shí)的最小值為，而，所以此時(shí)的最小值； 當(dāng)時(shí)，在時(shí)最小值為，在時(shí)的最小值為，而，所以此時(shí)的最小值為.所以函數(shù)的最小值為【新題

11、備選】1.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對(duì)任意 ，有.解：(1)的定義域?yàn)? （i）若即,則故在單調(diào)增加.(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，.當(dāng)及時(shí)，,故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(2)考慮函數(shù) 則,由于,故，即在單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有. 2. 設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍.解析：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增 .由得又,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. （2）函數(shù)有零點(diǎn)即方程有解即有解,令當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上是增函數(shù)，. 當(dāng)時(shí)，, 函數(shù)在上是減函數(shù)，. 方程有解時(shí),即

12、函數(shù)有零點(diǎn)時(shí). 3.已知函數(shù)定義域?yàn)?),設(shè).()試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；()求證:；()求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,并確定的個(gè)數(shù).解析： ()因?yàn)橛?；?所以在上遞增,在上遞減 ，欲在上為單調(diào)函數(shù),則.()證:因?yàn)樵谏线f增,在上遞減,所以在處取極小值， 又,所以在上的最小值為. 從而當(dāng)時(shí),即.()證:因?yàn)?所以即為, 令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在上有解,并討論解的個(gè)數(shù). 因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí),所以在上有解,且只有一解當(dāng)時(shí),但由于,所以在上有解,且有兩解當(dāng)時(shí),所以在上有且只有一解；當(dāng)時(shí), 所以在上也有且只有一解綜上所述, 對(duì)于任意的,總存在,滿足,且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意

13、；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意.(說明:第()題也可以令,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù))4.已知函數(shù)（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若對(duì)都有是常數(shù)）,求的取值范圍解析：（1）不等式即顯然，當(dāng)時(shí)原不等式可化為：,當(dāng)即時(shí)得不等式的解為：,當(dāng)即時(shí)得不等式的解為：.當(dāng)時(shí)原不等式可化為：或或,當(dāng)時(shí)，得不等式的解為, 當(dāng)時(shí)，得不等式的解為.綜上得：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為,當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為 .（2）對(duì)都有，顯然即對(duì)，恒成立對(duì)，.設(shè)，則對(duì)，恒成立，.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增，.又，當(dāng)即時(shí)，對(duì)于，,函數(shù)在上為減函數(shù), .當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，,當(dāng)， ,在上， （或當(dāng)時(shí)，在上

14、，當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又當(dāng)時(shí)，要即還需滿足解得.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，【專題訓(xùn)練】一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_.2、在處有極大值，則常數(shù)的值為_ 3、已知函數(shù)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. 4、已知函數(shù)的圖象與軸切于點(diǎn)(1,0)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是_5、已知，且關(guān)于的函數(shù)在上有極值，則與的夾角范圍為_6、若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為 _7、已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_.8、若函數(shù)在上的最大值為，則的值為_9、給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記.若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)以下四個(gè)函

15、數(shù)在上不是凸函數(shù)的是_(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上) ； ； ； .10、已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，. 若函數(shù)在其定義域上有且僅有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 11、若定義在R上的函數(shù)滿足，且對(duì)于任意，不等式都成立，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0)對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_ .12、已知函數(shù)，是其圖象上不同的兩點(diǎn).若直線的斜率總滿足，則實(shí)數(shù)的值是 . 13、若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是 14、已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為 二、 解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.15、設(shè)函數(shù)，其中常數(shù). (1)討論的單調(diào)性； (2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍16、已知函數(shù)

16、. (1)當(dāng)時(shí)，判斷在定義域上的單調(diào)性； (2)若在上的最小值為，求的值17、如右圖所示，在南北方向有一條公路，一半徑為100 m的圓形廣場(chǎng)(圓心為O)與此公路一邊所在直線相切于點(diǎn).點(diǎn)為北半圓弧(弧)上的一點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為.計(jì)劃在內(nèi)(圖中陰影部分)進(jìn)行綠化設(shè)的面積為 (單位：m2) (1)設(shè) (rad)，將表示為的函數(shù)； (2)確定點(diǎn)的位置，使綠化面積最大，并求出最大面積18、已知關(guān)于的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為令，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為. (1)如果函數(shù)在處有極值，試確定的值； (2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，試求的最大值19、已知函數(shù),.(1) 當(dāng),求使恒成立的的取值范圍;(2) 設(shè)方程的

17、兩根為(),且函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差是8，求的值.20、已知二次函數(shù).（）若對(duì)且時(shí)，試證明，使成立；（）是否存在，使同時(shí)滿足以下條件：對(duì)，且；對(duì),都有若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由【專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案】一、填空題：1、 2、6 3、 4、（寫閉區(qū)間也對(duì)） 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、14、二、解答題：15、 (1) 在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)(2) .16、解：(1)由題得的定義域?yàn)椋?且.，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)由(1)可知：， 若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上為增函數(shù)， ， (舍去) 若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上為減函數(shù)， ， (舍去)若，令，得.當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)， .綜上可知：.17、解：(1) ， ，則的面積 (2) ，令， (舍)， 此時(shí).當(dāng)時(shí)，關(guān)于為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，關(guān)于為減函數(shù) 當(dāng)時(shí)， (m2)，此時(shí)(m).18、解：(1)， 由在處有極值， 可得 解得或 若，則，此時(shí)沒有極值； 若，則 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：(，3)3(3,1)1(1，)00極小值12極大值 當(dāng)時(shí)，有極大值， 故即為所求 (2)當(dāng)時(shí)