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1、2022考研數(shù)學(xué)（二）10月模考試卷附答案解析設(shè)當(dāng) x-> 0 時,a(x) = tanx-sinx,鳳x) = Jl+x2 - Jl-x2,父力=051 sintdt都是 無窮小，將它們關(guān)于x的階數(shù)從低到高排列，正確的順序為()A.a(x),鳳 x),y(x)D4xa(x),/(x)參考答案D答案解析當(dāng)xfO時，鳳玲=也 +d一6一1 =/ 2x j x2,Vl + x2 +71-x2.X3a(x) = tan xsinx = (l cosx)tanx ,Xx) = fsin&/ = cos咕y0sx = l-cos(l - cosx) 巴X,故 D 正確.Jo282設(shè) /(-

2、x) = -/«，且在(01 -wo)內(nèi)，r(x)> 0 J"(x) > 0 ,則 /(x)在(TO, 0)內(nèi)必有 ()A./，(x)<0,/*(x)<0B./,(x)<0J/»(x)>0C./,(x)>05/ff(x)<0D./f(x)>0sr(x)>0參考答案C答案解析由已知，/（X）是奇函數(shù)，故廣（X）是偶函數(shù)，/（X）是奇函數(shù)，從而由/3>0,xe(0.+ao),可知當(dāng) xe (-8,0)時,f'(x) > 0 ；由)"(力>Qxe(0,+oo),可知當(dāng)xe(7

3、,0)時，由(力<0, C正確.已知1ynV+ox+bx+c在x=-2處取得極值，且與直線y =-3x+3相切于點(1.0),則()A. a = 1.6 =8,c = 6B. a = -L b = 8.c = -6C.a = 1.6 = 8.c = -6D. a = -L 6 =8.c = 6參考答案A答案解析 由已知，y（-2）=o,y（i）=-3»（i）=o(x3 + ar2+hx+cy|x_2=0,fl2-4a + 6 = 0,即, (x3+ax2 +bx+c)' 1,.!= 3,即« 3 + 2a + b = 3,解得 a = 1,6 =8,c = 6

4、 一故選 A.(x3 + ax2 + Z>x 4- c) |&1= 0, l+a + b + c = 0,由已知，y(-2) = 0jQ) = -3j(l) = 0(x3 + ax2+bx+ c)r =0s 12-4a + b = 0,(xJ + ax +bx+ c)' |xj = 3,即, 3 + 2a + b = -3.解得a = ,b =-8,c = 6 .故選 A. (x3 + ax1 + bx+ c) 1= 0,.l+a + b + c = 0.設(shè)左>0,方程InX一 +左=0在(0,m)內(nèi)不同實根的個數(shù)為().A.0B.1C.2D.3參考答案C答案解析令

5、/'(x) = lnx-2+左，則|八力=1-1 = _令八力=0,得x = e, ex e ex可知x = c是/(x)的最大值點，最大值為/(e)=匕由左>0,知當(dāng)xe©e)時，/(x)單調(diào)增加；當(dāng)xeQy®)時，/x)單調(diào)減少，故函數(shù)"X)的圖形與x軸有兩個不同交點，即方程有兩個不同實根，C正確設(shè)反常積分/(。一布-廠班收斂，則正確的是()AJt>-lC.k>lD.k<l參考答案D答案解析-COS- I 1 -COsA-1., CC6+1.,1e x-e =/（。1 -1）當(dāng) x y 時，ee 1 T）與 JQ-cos）是等價

6、無窮小,又lcos與人是等價無窮小，則布-1）與丁:是等價無窮小. x 2xlex當(dāng)左<1時，2-k>,故/（。-。"城收斂；當(dāng)上21日12-k41, 丁二是階數(shù)不高于L的無窮小，故 2exxx*（e，-。"）長發(fā)散.故選D.V arctan，.（x, v） * （0s0）,7 + /" 則 xj）在點（0,0）處（0,（XJ）H。），A.連續(xù)但不可微B.偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)C.可微D.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在參考答案C答案解析由 arc tanyp+y有界，知眄/(xj)=煦yarctan -= = 0 = fM ,3TojtO7X 十)故"X J

7、)在點(0,0)處連續(xù).AO, 0) = limOf。)=5 9 = 0, x ioz-(o,o)=iim2XMzZ()=limarctan± =JtOy3To| y |712M-df f (xj)-/(O,O)-X(O.O)x+(O,O)yPP所以/(x,y)在點(QO)處可微，故C正確.積分/二二乃人%四力+f(x,ydy=().f(x,y)dxf(x,y)dxB.f(x,y)dxf(x,y)dx參考答案C答案解析第7題圖原積分1的積分區(qū)域如圖所示， 2<x<242,故/ =票/(”心8設(shè)q =(用嗎嗎),42 =(許向也),必=(%。2,。3尸，其中4；+邛*0(1

8、 = 1,23),則三條直線qx+b,+G =0(i =1,2,3)恰好僅交于一點的充要條件是().A;(aw3)= 3B.r(a1,a2!a3)=lC.r(a1,a2：a3) = r(a1,a2)D.r(a1：a2=a3) = r(a1：a2)=2參考答案D答案解析ajx+hjv+q =0,三條直線交于一點，等價于有唯一的兌產(chǎn)滿足方程組。產(chǎn)+5/ +與=0,qx+姐+一 =0,寫成向量形式，即有唯一的使得下列等式成立，X a, +y b2、國即再/+，=-里，所以生可由%生線性表示，且表示法唯一，從而%生與線性相關(guān)，而%線性無關(guān)，故N4%里) = «4%) = 2 一故選D. 設(shè)N

9、是階矩陣，齊次線性方程組.以=0有兩個線性無關(guān)的解，則()A. N0 = 0的解均是Ax=O的解B.出:=0的解均是/x = 0的解C. 4: =0與,4% = 0無非零公共解D. 4c =0與=0恰好由一個非零解構(gòu)成公共基礎(chǔ)解系參考答案B答案解析由/x =。有兩個線性無關(guān)解=>n-r(A) >2=>r(A)/中階子式全A1= 0.".Tx = 0 有,L «/) = 基礎(chǔ)解.又 44, = /4N/|E = O 及 Ax = 0 n A'Ax = 0 ,即-4x = 0 的解均是= 0 的解，故選B.顯然可排除A.由于-=o與夙=0,當(dāng)分(+/時

10、，；"=0有非零解，即出:=0與Bx = 0有非零公共解.又 A4" = <?=廠(/) +/(/)« ”，故當(dāng)？*(+ ”/)<“ 時，4=0 與/有 非零公共解，故排除C.而Ax =0與4x = 0恰好由一個非零解構(gòu)成公共基礎(chǔ)解系，需條件= 故排除D.設(shè)“兀二次型/（再,巧,X“）=（演+。田）'+（巧+42再）2+（/+%藥）2，其中6（i=L2,均為實數(shù)，若二次型正定，則（）.A.1+(T)"+%叼4HoB.1+(T)"2 4=0C.l-(-l)% -4 *0D. 1 (1)"-%生"an =0參

11、考答案A答案解析 由正定二次型的定義，知“冷孫,修）正定的充分必要條件是對任意xl,x1. - ,xn,有/（不多,4）之0,其中當(dāng)且僅當(dāng)方程組只有零解時等號成立.w +q 第=0,/+% 巧=0,%+1 = 0-方程組只有零解的充分必要條件是系數(shù)行列式不為零,140 001%-0-0001an000即001=1 + (1廣4口24 H 0 ,因此，當(dāng)1+（-1）"+%°2時，對任意不全為0的小孫田都有/（冷電，,/）0,故正定,A正確設(shè)函數(shù)/Okanxbintanx2)tan(2產(chǎn))-100,則八1)44411答案解析因為tan(；x)-l|x_i =0 ,令/0) =

12、|>30。乂)-1出(工)，則 rrAD =tan(-x)-lf|XJ - g(l)+0- gr(D=tang x) 1' | z 卜 an(： V) - 2tang )100 | x4=-(-99!) = - 4 8鴻)2412設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且由，貝|/(x)=.答案解析令.f(f)dt = A (常數(shù))，貝|J f(x) = x+2A ,所以.f(x)dx = f； xdx = f； 2 Jobe, 即 N=g + 24,解得4 = 1,故/(x) = x-l.13設(shè)“乂乂2)= /爐7 ,且z=z(x»y)由方程>+1/ + 22-3型z = 0確定

13、,則加1)=答案解析由 f(x, y,z) =z，,得乂 z) = 2xy2z3 + 3y2z2.ex方程/+/+223孫2=0兩邊同時對求偏導(dǎo)，得2x2z 3yz-3xy = 0,dxdx解得3="半，故£，(x,y,z)=2到2z3+3/y2z2.蘭羋，所以ex 3型一 2z3 孫-2z£(LU) = T.14設(shè)區(qū)域 Z)由 X = -yj2y-y2, x = -2, y = 0, y = 2 所圍，貝U / = jj ydxdy =答案解析如圖所示，設(shè)JD=(xJj)|-2<x<0I0<y<2IDd. =x,-yjly-y1 <

14、x<0,則，=IT ydxdy= ydxdy- ydxdyr。 r2c kr2 sin ddr= 4 - - Jsin4 Odd = 4 2 cos4 tdt 3J73。 8 3 1 萬 < 乃=4 xxx =4.15微分方程生=二滿足y(l) = 0的特解為. ax v + x答案解析已知方程變形為孚=J,為一階齊次微分方程.改2+1X令士=U ,貝ijy =際生= x« + ，故 + x蟲,分離變量得xax axax w 4-1 + 1 ,dx-5du = -,W +1X積分得;山(？ +1)4-arctan u =-ln | x| +C .由 y(l) = 0,得

15、C = 0,故所求特解為 LnKy+l +arctan 2+lnx = 0.2 xx16再+ 2巧+否=3：設(shè)方程組，2項+ (左+4)與-5毛=6：有無窮多解，貝|左=一再- 2巧+應(yīng)=3,答案解析 對非齊次線性方程組的增廣矩陣N作初等行變換,2 k01 3、-7 0 ,由方程組有無窮多解, k+lQ7知/(4) = «0<3,故左=-1或左=0一 17設(shè)須=赤(a > 0)，5+i = Ja+xn ,證明：lim 存在，并求其值.答案解析依題意，有再=&，為=Ja +x*注個愎號#可知/嚴格單調(diào)增加.由 1=" + 修，得x3 = a + x

16、7;,，故%1=旦 +與<* + L-w-1即$有上界，故lim不存在. ,，00而 X* >匕V -= +1 =+1 9y/a設(shè)limx£=，等式心= a + x找兩邊同時取極限(->8),得W = a + ,4, n-to解得4 = 1+用工,4 = 1一呼缶(舍去)，故1沁/ =*半至 22nD 2(1)求積分4=廣工之1,。>0)的遞推關(guān)系 (X r u )(2)計算/=3x+4 工i(/+2x+2)2答案解析(1)當(dāng)”之1時，4 =(，產(chǎn)=(x2 +a2y + (Y *產(chǎn)以=» '、 + 2”(x35c = % +2nZ -Ina1

17、1 x,(/+/>譯+/產(chǎn) (x2+/yi故(2" T)1" + 7 ： j 26，其中 4= f-y工 = 1arctan2 + C.2na(x+a)* xa a3a ,彳-(2x+2)(2)3x+4,(2i-55dx= dx+(x2 + 2x+2)2' (x2 + 2x+2)131fl/,、z+ 5(x+1)2d + 2x+2 J(x+1)2+1231 ff 1(x+1)2八； + I ； ；-d(x+1) 2(x+1)2+1 (x + l)2+l (x+1) +1話再會+ 1屋寧心+1)+ ."+嶼島幣312(x+1)2+1+ arctan(x

18、+l) +x+l2(x+1)2+1arctan(x+1) + C19x-21/ t、 c；F arctan(x +1) + C . 2(/ + 2*+2) 2求函數(shù)/(X, >') = (1 + y)2 +(1+力?在條件X2 + y2 +孫=3下的最大值.答案解析利用拉格朗日乘數(shù)法，令乂幻=(1 + 丁)2+(1+“)2+雙/+/+到一 3),則 工=2(1+力 + A(2x+ y) = 0,<Z；=2(1 + j)+A(2> + x) = 03L = x1 + y2 +xy-3 = 0.由消去2,得(x-y)(x+y-l) = 0 ,故x = y 或x+y-1 =

19、0.當(dāng)x = y時，代入式，解得x = y = ±l；當(dāng)x+y = l時，代入式，解得x=Zy = T或x=Ty =2.比較大小：/(L1) = 8J(TT) = 0,/(2-1) = /(-L2) = 9,故/(x,y)的最大值為9. 20設(shè) Z)： x+y2 <y/2x,Q<y<x,計算/ =+。-1 曲行.答案解析 用/+)，2=1,即，=1將。劃分為4與4,如圖所示，則 I = (y-r')rdrde+ (r-Y)rdrde = f f (1 - ry-drdO - f f (1 - r)rdrdOwA工萬=2 Q汨"爪1 f= 2 仔 d

20、 可 i (1 t )ed8 產(chǎn)m (1 尸)濟W$n 2 八 2723 n 5 1 ti 11 n(cos* 0cos- ff)d0 112 J。312 9 4 8 36 24設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點尸（xjXx > 0）到原點的距離恒等于該點處 的切線在y軸上的截距，且A過點（；0）.（1）求曲線Z的方程；（2）求2位于第一象限部分的一條切線，使該切線與Z以及兩坐標(biāo)所圍的面積 最小.答案解析（I）依題設(shè)，曲線Z過點尸（XJ）的切線為y-），= j/（x-x）,令x = o,貝|J切線在尸軸上的截距為尸-3.由已知，(X2= y -xy',即 >'=+由x>°Q'TF'為齊次微分方程笆=*則yi+刈'，則“ +g?,為可分離變量的微分方程，-7 = -,積分并代T1 + U2 X回¥=，得>，+百+>2 =C.又工過（上0）,得。=于是曲線z的方程為 x22y +Jx2 + V =： , gp = Ax2.（2）在第一象限內(nèi)，），= q-x2在點尸處的切線方程為4Y -（-x1'） = -2x（X-x） , gpy =-2x-A"+x2+-（O<x<-）,它