解三角形教師版

1、 解三角形一、正弦定理分類內(nèi)容定理2R(R是ABC外接圓的半徑)變形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin AsinBsinCabc，sin A，sin B，sin C解決的問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角二、余弦定理分類內(nèi)容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C變形公式cos A；cos B；cos C解決的問題已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角三、三角形中常用的面積公式1、Sah(h表示邊a上的高)；2、Sbcsin Aa

2、csin Babsin C；3、Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)四、實(shí)際問題中的有關(guān)概念1、仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)2、方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖2)3、方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖3)北偏東°即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°到達(dá)目標(biāo)方向北偏西°即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°到達(dá)目標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似ACBD4、坡度：定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角為坡角)坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)

3、五、特殊結(jié)論1、在中，是的平分線，用正弦定理證明：2、如圖，是中邊上的中線，求證：3、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積 點(diǎn)撥 :如圖連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積 S=SABD+SCDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinCA+C=180°，sinA=sinC故S= (AB·AD+BC·CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22AB·AD·

4、cosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CB·CD·cosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0°A180°，A=120°故S=16sin120°=8 高頻考點(diǎn)一 利用正弦、余弦定理解三角形【例1】【2013山東理】設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，。（）求的值； （）求的值?！敬鸢浮浚ǎ? （）【解析】（）由余弦定理，得，又，所以，解得，.（）在中，,由正弦定理得 ，因?yàn)椋詾殇J角，所以因此 .【點(diǎn)撥】注意公式中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【變式練習(xí)】1、

5、(2012·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大?。?2)若b3，sin C2sinA，求a，c的值【答案】(1)B (2）a，c2.【解析】(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理，得. 所以a，c2.2、某單位有、三個(gè)工作點(diǎn)，需要建立一個(gè)公共無線網(wǎng)絡(luò)發(fā)射點(diǎn)，使得發(fā)射點(diǎn)到三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等已知這三個(gè)工作點(diǎn)之間的距離分別為，假定、四點(diǎn)在同一平面內(nèi)（1）求的大小；（2）求點(diǎn)到直線的距離解：（1）在中，因?yàn)椋?/p>

6、由余弦定理得 2分 3分因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以4分（2）方法1：因?yàn)榘l(fā)射點(diǎn)到、三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)為外接圓的圓心5分設(shè)外接圓的半徑為，在中，由正弦定理得， 7分因?yàn)椋桑?）知，所以ABCOD所以，即8分過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，9分在中，所以 11分 ABCOD所以點(diǎn)到直線的距離為12分方法2：因?yàn)榘l(fā)射點(diǎn)到、三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)為外接圓的圓心5分連結(jié)，過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為， 6分由（1）知，所以所以9分在中，所以11分所以點(diǎn)到直線的距離為12分高頻考點(diǎn)二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀【例2】：(2012·安徽名校模擬)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a

7、，b，c，向量(4，1)，且.(1)求角A的大?。?2)若bc2a2，試判斷ABC的形狀【答案】(1)A (2)ABC為等邊三角形【解析】：(1)(4，1)，又，解得cosA.0<A<，A.(2)在ABC中，且a，又bc2，b2c，代入式整理得，解得c，b，于是abc，即ABC為等邊三角形【變式練習(xí)】在ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大?。?2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀【答案】（1）A120°(2)ABC是等腰的鈍角三角形【解析】（1）由已知，根據(jù)正弦定理得，即.由余弦定理得

8、，故cos A，0<A<180°，A120°.（2）由(1)得.又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0°<B<60°，0°<C<60°，故BC，ABC是等腰的鈍角三角形高頻考點(diǎn)三 與三角形面積有關(guān)的問題【例3】(2012·新課標(biāo)全國卷)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.【答案】(1)A (2)bc2【解析】(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos

9、Csin Asin Csin Bsin C0.因?yàn)锽AC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以.又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而，故.解得bc2.【變式練習(xí)】在ABC中，.(1)求角A的大??；(2)若a3，sin B2sin C，求SABC.【答案】：(1)A (2)SABC【解析】：(1)由已知得，則cos A.因?yàn)?<A<，所以A.(2)由，可得2，即b2c.所以，解得c，b2，所以SABCbcsin A×2××.高頻考點(diǎn)四 解三角形應(yīng)用舉例北乙甲【例4】（07山東理20）如

10、圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？【答案】海里【解析】如圖，連結(jié)，由已知，北甲乙，又，是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）答：乙船每小時(shí)航行海里【變式練習(xí)】如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為，從A處向山頂前進(jìn)L米到達(dá)B后，又測得CD對(duì)于山坡的斜度為，山坡對(duì)于地平面的坡角為.(1)求BC的長；(2)若

11、L24，15°，45°，30°，求建筑物CD的高度【答案】(1) (2)CD248米【解析】(1)在ABC中，ACB，根據(jù)正弦定理得，所以.(2)由(1)知米在BCD中，BDC，sin BDC，根據(jù)正弦定理得，所以CD248米1、（菏澤市2015屆高三）在中，若，則的形狀是（ ）A等腰三角形 B正三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【答案】【解析】2.（青島市2015屆高三）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，.（）求角； （）若，求的面積.【答案】D（） 2分 5分， 6分（）由，得 7分由得，從而， 9分故 10分所以的面積為. 12分3.（煙臺(tái)市2015屆高三）

12、在中，角、所對(duì)的邊分別為、，已知（1）求角的大??；（2）若，求值【答案】（1） （2）（1）由正弦定理可得，由余弦定理：， 2分因?yàn)?，所?（2）由（1）可知， 4分因?yàn)椋珺為三角形的內(nèi)角，所以， 6分故 9分由正弦定理，得. 12分4.（衡陽市2016屆高三）已知、為的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為、，若（）求； （）若，求的面積【答案】（）； （）【解析】（） 又， ， （）由余弦定理得 即：， 5.（棗莊2016屆高三）在中，、分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)的三邊，已知（1）求角C的大?。唬?）滿足的是否存在？若存在，求角A的大小【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理，得因?yàn)橛蓜t（2

13、）由（1）知， 于是 =這樣的三角形不存在。1在ABC中，C60°，AB，BC，那么A等于( )A135° B105° C45° D75°【答案】 C【解析】 由正弦定理知，即，所以sin A，又由題知，BCAB，A45°.2已知a，b，c是ABC三邊之長，若滿足等式(abc)(abc)ab，則角C的大小為( )A60° B90° C120° D150°【答案】 C【解析】 由(abc)(abc)ab，得，cos C，C120°.3在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a，

14、b(>0)，A45°，則滿足此條件的三角形個(gè)數(shù)是( )A0 B1C2 D無數(shù)個(gè)【答案】 A【解析】 直接根據(jù)正弦定理可得，可得sin B>1，沒有意義，故滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0.4如圖，ABC中，ABAC2，BC2，點(diǎn)D在BC邊上，ADC45°，則AD的長度等于_【答案】 【解析】 在ABC中，ABAC2，BC2，cos C，sin C；在ADC中，由正弦定理得，AD×.5. 在銳角ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且a2csin A，角C_.【答案】 【解析】 根據(jù)正弦定理，由a2csin A，得，sin C，而角C是銳角角C.6.

15、江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距_m.【答案】 10【解析】 如圖，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)7在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，B，b，ac4，求a.【答案】 a1或a3【解析】 由余弦定理.又ac4，b，ac3.聯(lián)立解得a1或a3.8.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB.（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求