安徽省長(zhǎng)豐縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)四教案：1.2.1任意角的三角函數(shù)第2課時(shí)

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.1 任意角的三角函數(shù)項(xiàng)目?jī)?nèi)容課題1.2。1 任意角的三角函數(shù)（共2 課時(shí)）修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)1。通過(guò)借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域 ,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào) .2.通過(guò)對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來(lái),即用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái).4.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 .教學(xué)重、教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正

2、弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等。教學(xué)難點(diǎn) :用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫三角函數(shù)；三角函數(shù)符號(hào)；利用與單位圓有關(guān)的有向線段,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精難點(diǎn)將任意角 的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程第 2課時(shí)導(dǎo)入新課我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),學(xué)習(xí)了將任意角的三角函數(shù)化成0 360 角的三角函數(shù)的一組公式 ,前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域,這些內(nèi)容的研究 ,都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的，這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時(shí)，是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的，請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶 .由三角函數(shù)的定義我們知道，

3、對(duì)于角 的各種三角函數(shù)我們都是用比值來(lái)表示的,或者說(shuō)是用數(shù)來(lái)表示的,今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法幾何表示法。我們知道 ,直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)。因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來(lái)規(guī)定有向線段的方向，以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精提出問(wèn)題問(wèn)題：回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義并思考：三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來(lái)表示,應(yīng)怎樣表示呢？問(wèn)題：回憶初中學(xué)過(guò)的線段,若加上方向會(huì)怎樣呢?什么是有向線段？活動(dòng) :指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓，設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)p(x,y） ，

4、x 軸的正半軸與單位圓相交于a（1，0)，過(guò) p 作 x 軸的垂線，垂足為 m;過(guò) a 作單位圓的切線， 這條切線必平行于y 軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設(shè)它與角 的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)t.教師點(diǎn)撥學(xué)生觀察線段的方向與點(diǎn) p的坐標(biāo) .顯然,線段 om 的長(zhǎng)度為 |x ,線段 mp 的長(zhǎng)度為 |y ,它們都只能取非負(fù)值 .當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí) ,我們可以把 om、mp 都看作帶有方向的線段：如果 x0,om 與 x軸同向， 規(guī)定此時(shí) om 具有正值 x；如果 x0,om 與 x 軸正向相反（即反向） ,規(guī)定此時(shí)om 具有負(fù)值 x，所以不論哪一種情況 ,都有 om=x.如果 y

5、0， 把 mp 看作與 y 軸同向 ,規(guī)定此時(shí) mp具有正值 y；如果 y0，把 mp 看作與 y 軸反向，規(guī)定此時(shí) mp 具有負(fù)值 y,所以不論哪一種情況，都有學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精mp=y。引導(dǎo)學(xué)生觀察om、mp 都是帶有方向的線段 ,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段。于是，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,就有sin =ry=1y=y=mp,cos =rx=1x=x=om.這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段mp、om 分別叫做角 的正弦線、余弦線。類似地 ,我們把 oa、 at 也看作有向線段 ,那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識(shí)，就有tan =xy=oaat=at 。這條與單位圓有關(guān)的

6、有向線段at,叫做角 的正切線 .討論結(jié)果 :能。被看作帶有方向的線段叫做有向線段.提出問(wèn)題問(wèn)題：怎樣把三角函數(shù)線與有向線段聯(lián)系在一起？問(wèn)題：正弦線、余弦線、正切線在平面直角坐標(biāo)系中是怎樣規(guī)定的 ?當(dāng)角 的終邊變化時(shí)，它們有什么變化 ?活動(dòng)：師生共同討論，最后一致得出以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)角 的終邊在 y 軸上時(shí)，余弦線變成一學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精個(gè)點(diǎn)，正切線不存在 .(2）當(dāng)角 的終邊在 x 軸上時(shí) ,正弦線、正切線都變成點(diǎn)。(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段 ,所以作某角的三角函數(shù)線時(shí)，一定要先作單位圓 .（4)線段有兩個(gè)端點(diǎn) ,在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時(shí) ,

7、要先寫起點(diǎn)字母 ,再寫終點(diǎn)字母，不能顛倒；或者說(shuō)，含原點(diǎn)的線段,以原點(diǎn)為起點(diǎn) ,不含原點(diǎn)的線段 ,以此線段與 x 軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn) .（5）三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致,三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同。正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.討論結(jié)果 :略。略.示例應(yīng)用例 1 如圖 7, , 的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)p,q,過(guò) a（1，0)作切線 at，交圖 7射線 op 于點(diǎn) t,交射線 oq 的反向延長(zhǎng)線于t , 點(diǎn)p、q 在 x 軸上的射影分別為點(diǎn)m、n,則學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精sin = _ ,cos =_，tan = _ ,sin=_,cos = _ ,tan=

8、_.活 動(dòng) ： 根 據(jù) 三 角 函 數(shù) 線 的 定 義 可 知 ，sin =mp,cos =om ， tan =at,sin =nq,cos =on ， tan =at.答案:mp om at nq on at點(diǎn)評(píng)： 掌握三角函數(shù)線的作法，注意用有向線段表示三角函數(shù)線時(shí),字母的書寫順序不能隨意顛倒。變式訓(xùn)練利用三角函數(shù)線證明|sin +|cos | 1.解:當(dāng) 的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí) ,正弦(或余弦 )線變成一個(gè)點(diǎn) ,而余弦（或正弦）線的長(zhǎng)等于r,所以sin |+ cos =1.當(dāng)角 終邊落在四個(gè)象限時(shí)，利用三角形兩邊之和大于第三邊有sin + cos |=om|+ mp1， sin + cos

9、 1.例 2 在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊或終邊所在的范圍，并由此寫出角 的集合：(1)sin=21;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（ 2)sin21?；顒?dòng):引導(dǎo)學(xué)生畫出單位圓 ,對(duì)于(1）,可設(shè)角 的終邊與單位圓交于a(x，y） ，則 sin =y，所以要作出滿足 sin =21的終邊 ,只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為21的點(diǎn) a，則 oa 即為角 的終邊；對(duì)于（ 2）,可先作出滿足 sin =21的角的終邊 ,然后根據(jù)已知條件確定角的范圍。圖 8解： （1)作直線 y=21交單位圓于 a 與 b 兩點(diǎn)，連結(jié)oa，ob,則 oa 與 ob 為角 的終邊，如圖 8 所示.故滿足條件的角的集合為

10、 =2k +6或 =2k +65， k z.（2)作直線 y=21交單位圓于 a 與 b 兩點(diǎn)，連結(jié)oa,ob,則 oa 與 ob 圍成的區(qū)域 (如圖中的陰影部分 )即為角 的終邊所在的范圍 .故滿足條件的角 的集合為 |2k +6 2k +65， k z 。點(diǎn)評(píng)：在解簡(jiǎn)單的特殊值 (如21，22等)的等式或不等式時(shí)，應(yīng)首先在單位圓內(nèi)找到對(duì)應(yīng)的終邊(作學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精縱坐標(biāo)為特殊值的直線與單位圓相交,連結(jié)交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)作射線），一般情況下 ,用（0， 2 ) 內(nèi)的角表示它，然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來(lái)。變式訓(xùn)練已知 sin 21，求角 的集合。解 : 作 直 線y=21交 單 位 圓 于 點(diǎn)p,p , 則sin pox=sin p ox=21， 在 0 ， 2） 內(nèi) pox=6, p px=65.滿足條件的集合為 |2k +6 2k +65,k z.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段 ,其之所以特殊，一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合 )，二是其與單位圓有關(guān)， 這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值，所以說(shuō)它們是三角函數(shù)的一種