對一道高考題的探究

1、    對一道高考題的探究    曾卓楊在做2012江蘇卷第19題時，讓我倍感壓力，這道題不管是運(yùn)算還是解題的思路與方法，對我們考生都提出了很高的要求，但在對這道題的解剖過程中，隨著層層遞進(jìn)，步步深入，發(fā)覺這道題設(shè)計巧妙，意猶未盡，值得去挖掘與探討。2012江蘇卷第19題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1（-c，0），f2（c，0），已知點(diǎn)（1，e）和（e，32）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)a，b是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線af1與直線bf

2、2平行，af2與bf1交于點(diǎn)p，（i）若af1-bf2=62，求直線af1的斜率；（ii）求證：pf1 + pf2是定值.解：（1）橢圓的方程為x22+y2=1.（2）由（1）得f1（-10），f2（10），又af1bf2，設(shè)af1、bf2的方程分別為my=x+1和my=x-1，設(shè)a（x1y1），b（x2y2） y1>0，y2>0.x122+y12=1my1=x1+1消去x1得（m2+2）y12-2my1-1=0解得y1=m+2m2+2m2+2af1=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y12=m2+1·m+2m2+2m2+2=2（m2+1）+mm2+1m2+2

3、.同理，bf2=2（m2+1）-mm2+1m2+2.（i）由得，af1-bf2=2mm2+1m2+2，即2mm2+1m2+2=62，解得m2=2.注意到m>0，m=2，直線af1的斜率為1m=22.（ii）證明：af1bf2，pbpf1=bf2af1，即pbpf1+1=bf2af1+1pb+pf1pf1=bf2+af1af1.pf1=af1af1+bf2bf1，由點(diǎn)b在橢圓上知，bf1+bf2=22，pf1=af1af1+bf2（22-bf2），同理，pf2=bf2af1+bf2（22-af1）pf1+pf2=af1af1+bf2（22-bf2）+bf2af1+bf2（22-af1）=2

4、2-2af1·bf2af1+bf2，由得，af1+bf2=22（m2+1）m2+2，af1·bf2=m2+1m2+2，pf1+pf2=22-22=322.pf1+pf2是定值.求解直線與橢圓位置關(guān)系問題的基本策略是運(yùn)用消元思想與方程思想，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題.對該題第（2）問及其解答做進(jìn)一步探討，能從看似平常的解答中得到一些妙處橫生的結(jié)論：（i）以運(yùn)動的觀點(diǎn)來看問題，當(dāng)滿足條件的a，b是橢圓上兩動點(diǎn)時，設(shè) af1-bf2=d（d>0），由第（2）（i）的解答可知d=2mm2+1m2+2=2m4+m2m4+4m2+4m>0，易得m4+m2m4+4m2+4（

5、0，1），故當(dāng)d（0，2）時，方程d=2mm2+1m2+2有解，直線af1的斜率存在，因?yàn)閐=62 （0，2），所以相應(yīng)可求直線af1的斜率，進(jìn)一步探討，當(dāng)af1-bf2=0時，滿足條件的直線af1存在，但它的斜率不存在，當(dāng)af1-bf2<0時，af1-bf2=d（d<0），由對稱性可知， d（-2，0）時，直線af1的斜率存在且為負(fù)值，而|d|2時，不存在這樣的直線af1與直線bf2，這就說明d的變化相應(yīng)會引起m的變化，而對mr，由得 1af1+1bf2=m2+22（m2+1）+mm2+1+m2+22（m2+1）-mm2+1=（m2+2）·22（m2+1）2（m2+1）

6、2-m2（m2+1）=22（m2+2）m2+2=22.也就是說，對任意mr， 1af1+1bf2=22恒成立，由此就可以得到該問的另一種求解方法：由af1-bf2=62，1af1+1bf2=22，解得bf2=3-322，由橢圓焦半徑公式有bf2=2-22xb，則2-22xb=3-322，解得xb=3+12，代入橢圓x22+y2=1，因?yàn)閎點(diǎn)位于x軸上方，所以yb=2-32，則kaf1=kbf2=ybxb-1=2-33-1=12（4-23）3-1=12（3-1）23-1=22，所以直線af1的斜率為22.不難看出，在這個問題中，1af1+1bf2為定值是不會隨a、b兩點(diǎn)位置改變而變化的，它似乎隱

7、含著一個一般性的結(jié)論，做進(jìn)一步探討，就會得到一個新的問題：在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，f1（-c，0），f2（c，0）分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)a，b是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線af1與直線bf2平行，求證：1af1+1bf2為定值.為了避免直線與橢圓位置關(guān)系的繁瑣運(yùn)算，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系，借助余弦定理就可輕松求得這個定值：在af1f2中，設(shè)af1=d1，af1f2=，則af2=2a-d1，由余弦定理可得cos=4c2+d12-（2a-d1）24cd1=ad1-b2cd1因?yàn)橹本€af1與直線bf2平行，所以bf2f1=-，在bf1f2中，設(shè)b

8、f2=d2，同理可得cos（-）=ad2-b2cd2=-cos，所以ad1-b2cd1+ad2-b2cd2=0即1d1+1d2=2ab2為定值.在數(shù)學(xué)題中，一個量的變化，往往會引起其它相關(guān)量的變化，但在諸多變化中，也常藏匿著穩(wěn)定不變的量，如果能夠深入分析題目的條件，找到由條件到結(jié)論之間某些不變的性質(zhì)，從不變量與不變的性質(zhì)入手，就可以幫助我們尋得合理的解題途徑。（ii） 根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)，可以猜想p點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是個橢圓，由答案可知，pf1+pf2=22-2af1·bf2af1+bf2=22-21af1+1bf2，借助第（i）問的結(jié)論，因?yàn)?af1+1bf2=22，所以pf1 + pf

9、2=22-22=322，故p點(diǎn)的軌跡是以f1（-1，0），f2（1，0）為焦點(diǎn)，長軸長為322的橢圓.該問中的a、b兩點(diǎn)非定點(diǎn)，那么它似乎也隱含著一個一般性的結(jié)論，做進(jìn)一步探討，又會得到一個新的問題：在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，它的左、右焦點(diǎn)分別為f1（-c，0），f2（c，0），設(shè)a與b是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)， 且直線af1與直線bf2平行，試判斷直線af2與bf1的交點(diǎn)是否在同一個橢圓上，為什么？結(jié)合答案與第（i）問探究出的結(jié)論，因?yàn)閜f1=af1af1+bf2bf1，由點(diǎn)b在橢圓上知，bf1+bf2=2a，pf1=af1af1+bf2（2a-bf2）.同理，pf2=bf2af1+bf2（2a-af1）. pf1+pf2=af1af1+bf2（2a-bf2）+bf2af1+bf2（2a-af1）=2a-2af1·bf2af1+bf2=2a- 21af1+1bf2，又1af1+1bf2=2ab2，所以pf1+pf2=2a-b2a=a2+c2a，又因?yàn)閍2+c2a>2c，所