西南交大峨眉校區(qū)數(shù)學(xué)建模第一次預(yù)選答案

1、西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽第一次預(yù)選賽專業(yè)：工機2 班姓名：吳一凡（1）質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量（本題10 分）已 知 在 平 面 上 的 n 個 質(zhì) 點11,122,2,(),(),.,()nnnpx ypx ypx y， 其 質(zhì) 量 分 別 為12,.nmmm，請你確定一個點( ,)p x y，使得質(zhì)點系關(guān)于此點的轉(zhuǎn)動慣量為最小。轉(zhuǎn)動慣量為最小，此時有0,0dydjdxdjzziiiiiimymymxmx,，即取質(zhì)心位置。得到iiiiiimymmxmp,（2）火箭發(fā)射問題（本題10 分）當(dāng)火箭從地面發(fā)射后， 它的質(zhì)量以 40 千克/ 秒的速度減少， 當(dāng)火箭離地球中心637

2、8公里時，這時火箭的速度是100 公里/ 秒，火箭的質(zhì)量為3189 千克, 問這時的地球?qū)鸺囊減少的速率是多少（已知地球的質(zhì)量245.9810m千克，引力常數(shù)116.6710g牛米2/ 千克2）由mrgmf2，除以時間 t ，推出：代入數(shù)據(jù)，求得結(jié)果為sndtdfv/73.1372。低碳經(jīng)濟的評價與科學(xué)預(yù)測摘要本文由實際出發(fā)，在所給數(shù)據(jù)中進行合理性的篩選，將表中數(shù)據(jù)通過評價系數(shù)來劃分等次，通過加權(quán)系數(shù)進行處理，得到評價指數(shù)，具有良好的公平性。問題一通過比較可以得知， 在綜合評價中北京 重慶四川上海。在分析各省低碳經(jīng)濟的發(fā)展變化中，北京的各項指標(biāo)突出，低碳經(jīng)濟發(fā)展很好。上海正在大力推行低

3、碳經(jīng)濟，它的評價指數(shù)在不斷上升中。重慶與四川相對穩(wěn)定，總體上沒有太大波動。問題二要預(yù)測 2012 年 4 個省的人均2co排放量，通過數(shù)據(jù)量小的特點，利用改進后的二次移動平均法建立預(yù)測模型，利用 excel 軟件求解。 結(jié)果為：北京；上海；重慶；四川。通過擬合的方法驗證模型是正確的。問題三要滿足目標(biāo)，在查閱資料后找出與題中對應(yīng)的我國十二五節(jié)能減排目標(biāo)：1) 單位 gdp 二氧化碳排放降低17% 2) 森林覆蓋率提高到 % 由此通過預(yù)測模型求解2015年以上兩項的數(shù)值，加以比較，利用excel 軟件求解。北京在四省市中節(jié)能減排最為明顯，上海、重慶、四川不能達到單位gdp 二氧化碳排放量減排目標(biāo)，

4、四川也沒有達到森林覆蓋率的既定目標(biāo)。并就這些問題給出了相關(guān)建議。本文最大的特色是利用評價系數(shù)系統(tǒng)地得到評價指數(shù)，具有良好的公平性。通過基于線性規(guī)劃的二次移動平均法來預(yù)測數(shù)據(jù)，簡單容易，比較準(zhǔn)確。同時利用數(shù)值擬合與線性規(guī)劃的方法進行驗證。 excel 軟件對商務(wù)辦公來說非常方便, 既解決了傳統(tǒng)手工進行統(tǒng)計預(yù)測的繁雜，又避免了未漢化sas軟件給普通用戶帶來的困難。對于日常研究，調(diào)研分析都有實際的參考意義。關(guān)鍵詞：評價系數(shù)、移動平均法、數(shù)值擬合、excel 一、問題提出2009 年聯(lián)合國丹麥哥本哈根氣候大會以來， “應(yīng)對氣候變化”成為全世界關(guān)注的最熱門的話題?！暗吞肌钡幕竞x是較低地排放以二氧化碳

5、為代表的溫室氣體。低碳經(jīng)濟，以減少溫室氣體排放為特征。發(fā)展低碳經(jīng)濟，必須在聯(lián)合國氣候變化框架公約的基礎(chǔ)上，它需要國家的支持，需要每一個企業(yè)單位，每一個人的努力，涉及到低碳文化、低碳立法、低碳政策、低碳金融、低碳貿(mào)易、低碳企業(yè)治理、低碳城市構(gòu)建等方方面面，需要自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、人文、社會、管理科學(xué)之間的融合與協(xié)調(diào)作戰(zhàn)。附錄給出了 20052009 年北京、上海、重慶、四川4 個省的相關(guān)數(shù)據(jù)，請你研究下面三個問題：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型對4 個省的低碳經(jīng)濟競爭力進行綜合評價，給出每個省在各年的低碳經(jīng)濟競爭力的排序結(jié)果，分析各省低碳經(jīng)濟的發(fā)展變化狀況。（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測20

6、12 年 4 個省的人均2co排放量。（3）溫家寶總理在哥本哈根氣候大會上莊嚴(yán)宣布，到2020年我國單位國內(nèi)生產(chǎn)總值 co2排放在 2005年基礎(chǔ)上下降 40%45%的長期目標(biāo)。為實現(xiàn)這一目標(biāo)，國家“十二五規(guī)劃”也明確提出了階段的約束性指標(biāo)。請你查閱有關(guān)資料，提出你自己認(rèn)為切實可行的完成這一目標(biāo)的建議和意見。二、基本假設(shè)1、假設(shè)各省相關(guān)數(shù)據(jù)具有獨立性，互不影響，各個指標(biāo)也不相互影響。2、假設(shè)各省相關(guān)數(shù)據(jù)具有良好的穩(wěn)定性，沒有特殊政策和突發(fā)情況的影響。三、符號說明符號意義單位備注表格中提供的各項數(shù)據(jù)n次移動平均值四、問題分析本題是評價并預(yù)測的題目。數(shù)據(jù)少，波動性小。問題一首先進行數(shù)據(jù)分類，將所有

7、數(shù)據(jù)處理成評價系數(shù)的形式。因為數(shù)據(jù)之間數(shù)量級的差距，故利用加權(quán)系數(shù)加以調(diào)整，得到合理的綜合評價指數(shù)。問題二則需要分析數(shù)據(jù)，根據(jù)散點圖的趨勢來采用合適方法進行預(yù)測，并利用數(shù)值擬合下的線性規(guī)劃模型來相互印證預(yù)測的準(zhǔn)確性。問題三要查找資料，根據(jù)上問中得到的預(yù)測模型來預(yù)測各項指標(biāo)，并分析是否完成預(yù)期目標(biāo)，并給出相關(guān)建議。五、模型的建立與求解問題一模型建立與求解問題一的分析將表中數(shù)據(jù)通過評價系數(shù)來劃分等次，評價系數(shù)與評價指數(shù)的關(guān)系是：評價系數(shù)取值范圍默認(rèn)在（1-100）之間，取整數(shù)。不在范圍內(nèi)的利用加權(quán)系數(shù)酌情處理。表格中數(shù)據(jù)分析：表 1 人均二氧化碳排放，最小，最大表 2 森林覆蓋率，最小 % ，最大

8、 % 表 3 人均城市綠地面積，最小，最大表 4 單位建成區(qū)面積能耗，最小46016，最大 108122 表 5 單位 gdp 二氧化碳排放，最小，最大經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，使得系數(shù)處于一個適當(dāng)范圍內(nèi)。類別表 1 表 2 表 3 表 4 表 5 評價系數(shù)212 334 1268 46108 本次是要評價各省低碳經(jīng)濟競爭力，故表1，表 4，表 5 所代表的指標(biāo)應(yīng)盡可能低，表 2、表 3 代表的指標(biāo)應(yīng)該盡可能高。問題一模型的建立建立評價指數(shù)模型：式中，q為綜合評價指數(shù)；tx是每組指標(biāo)的評價指數(shù)；ta是每組指標(biāo)給定的加權(quán)系數(shù)； n代表其年份。問題一模型的求解利用 excel 軟件計算，可以得到評價指數(shù)q 。

9、當(dāng) a=1時，可以得到以下排名：地區(qū)2005 2006 2007 2008 2009 北京-12 -10 -17 -13 6 上海-104 -114 -118 -122 -67 重慶-66 -64 -62 -64 -58 四川-48 -75 -79 -80 -78 問題一結(jié)果的分析及驗證根據(jù)所得到的評價指數(shù)我們得知四省市的指數(shù)排名為北京重慶四川 上海。實際分析，可以通過對數(shù)據(jù)的分析得到該指數(shù)與實際情況呈正相關(guān)，故實際得到的排名為北京 重慶四川上海是合理的。當(dāng) a 取不同值時，雖然個別結(jié)果有差異，但總體上結(jié)果是一樣的，a=1是最簡情況。各省低碳經(jīng)濟的發(fā)展變化狀況：北京的各項指標(biāo)突出，低碳經(jīng)濟發(fā)展

10、很好。上海正在大力推行低碳經(jīng)濟，它的評價指數(shù)在不斷上升中。重慶與四川相對穩(wěn)定，總體上沒有太大波動。問題二模型建立與求解問題二的分析通過散點圖觀察，發(fā)現(xiàn)觀測值都趨于穩(wěn)定?？梢圆捎枚我苿悠骄A(yù)測。通過與平滑指數(shù)法和數(shù)值擬合進行互補比較，就可以說明預(yù)測的準(zhǔn)確性。問題二模型的建立（1）一次移動平均法的預(yù)測模型：式中，)1(tm是一次移動平均值；tx 是實際值之和，n為取值的個數(shù)。其中 n 的取值很重要，當(dāng)n 值較大時，靈敏度較差，有顯著的“滯后現(xiàn)象”；當(dāng) n值較小時，可以靈敏地反映時間數(shù)列的變化；但n 值過小，又達不到消除不規(guī)則變動的目的。一般來說，可以采用不同n，對時間數(shù)列進行試驗，從中選擇最優(yōu)

11、n。本題為了達到最大利用程度，選擇n=3。式中，2007m是移動平均值；200720062005,xxx是實際值。（2）一次平滑指數(shù)法的預(yù)測模型：式中，tx為 t 年的實際值；tf為 t 年的預(yù)測值；是平滑系數(shù)，取值為10。年份低碳經(jīng)濟競爭力排名2005北京四川重慶上海2006北京重慶四川上海2007北京重慶四川上海2008北京重慶四川上海2009北京重慶上海四川綜合評價北京重慶四川上海首項的預(yù)測值可以取前三項的平均值。（3）基于擬合的線性規(guī)劃模型：通過 excel 中的趨勢線來找到函數(shù)關(guān)系式，建立線性規(guī)劃模型：baxy?式中，y?為預(yù)測值， a，b 是擬合得到的系數(shù)， x 是自變量，根據(jù)表格

12、而定。問題二模型的求解利用 excel 加載宏中的“數(shù)據(jù)分析” ，首先以北京為例，可以得到以下結(jié)果：預(yù)測值誤差% 移動平均法指數(shù)平滑法問題二結(jié)果的分析觀察圖表發(fā)現(xiàn)誤差在20% 以上，一次移動平均法與平滑指數(shù)法在數(shù)據(jù)量小的情況下所得預(yù)測值不準(zhǔn)確。問題二模型的改進由一次移動平均法進行二次移動平均，使數(shù)據(jù)得到進一步修勻， 使其呈現(xiàn)線性趨勢。在二次移動平均值的基礎(chǔ)上，可以建立線性模型：式中，是預(yù)測超前期數(shù)。通過查表（多項式模型參數(shù)估算公式）可知：問題二改進模型的求解采用最近年份的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，代入預(yù)測模型中，各項移動平均值見附錄。經(jīng)整理后，可以得到最后的式子：實際值預(yù)測值誤差20% 類別北京上海重慶四

13、川2012年問題二改進模型的比較分析通過數(shù)值擬合的方式來比較改進模型的科學(xué)性，同時對數(shù)據(jù)進行了一定處理。上海： y = + 北京： y = + 重慶： y = + 四川： y = + 經(jīng)過數(shù)值擬合后，將擬合所預(yù)測值同預(yù)測模型得到的預(yù)測值進行比較。類別北京上海重慶四川二次移動平均法數(shù)值擬合相似率% % % % 由于兩種預(yù)測模型和線性擬合均有誤差，數(shù)據(jù)量小，會存在一定誤差。而相似率在94% 以上說明預(yù)測值可信度很高。問題三的分析（1）氣候大會目標(biāo)： 2020年比2005年單位gdp 二氧化碳排放下降 40%45%。首先由散點圖可知，總體趨勢是向下的，有一定的線性關(guān)系，需要進行預(yù)測。（2） “十二五

14、”規(guī)劃中節(jié)能減排目標(biāo)：查找相關(guān)資料后得知題中數(shù)據(jù)有兩個指標(biāo)在十二五規(guī)劃內(nèi)。只需要預(yù)測 2015年前單位 gdp 二氧化碳排放量是否降低16% ； 森林覆蓋率是否提高到 % ， 同時預(yù)測值要基于2009年進行比較。問題三模型的建立與求解利用二次移動平均法基礎(chǔ)上得到的線性預(yù)測模型：（1）氣候大會目標(biāo)：類別北京上海重慶四川2005年2020年下降程度% % 因為考慮到實際情況， 北京、上海的單位 gdp 排放量應(yīng)該維持在一個較小的正值上。（2）“十二五”規(guī)劃中節(jié)能減排目標(biāo)：利用二次移動平均法基礎(chǔ)上得到的線性預(yù)測模型：6?20092009201562009bayy單位 gdp 二氧化碳排放量（單位：噸

15、/ 萬元）類別北京上海重慶四川2009年2015年下降程度% % % % 森林覆蓋率（單位： % ）類別北京上海重慶四川2009年2015年上升程度% % % % 問題三結(jié)果的分析及驗證對于預(yù)測數(shù)據(jù)我們可以知道，北京在四省市中節(jié)能減排最為明顯，上海、重慶、四川不能達到單位 gdp 二氧化碳排放量減排目標(biāo)。 四川在森林覆蓋率上不能達到預(yù)期要求。為此上海、重慶、四川要加快推動節(jié)能減排政策，同時四川應(yīng)該大力實行有關(guān)植樹的各項政策，確保各省市在十二五結(jié)束前完成既定目標(biāo)。該預(yù)測模型在問題二中得到驗證，可以認(rèn)為模型預(yù)測出的數(shù)據(jù)是可靠的。六、模型的評價與推廣模型的評價基于二次移動平均法的線性模型能夠較好地消

16、除數(shù)據(jù)中的不穩(wěn)定波動，方法簡單易懂，n值應(yīng)盡量取大，可以得到令人滿意的效果。在預(yù)測相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)時準(zhǔn)確率高。而通過數(shù)值擬合來驗證該模型的科學(xué)性也得到了證明。然而該模型在預(yù)測實際情況時需要靈活調(diào)整。在波動幅度較大的數(shù)據(jù)時，可以多次取移動平均值來調(diào)整好數(shù)據(jù)的波動。tttbay?，212tttmma，2112tttmmnb以上公式對線性預(yù)測效果明顯， 但不適用于非線性預(yù)測。 在實際應(yīng)用于僅作為參考。模型的推廣基于二次移動平均法的線性預(yù)測可以廣泛地適用于預(yù)測具有穩(wěn)定趨勢的各種數(shù)據(jù)。在實際應(yīng)用中可以作為一種參考。用 excel 來處理統(tǒng)計預(yù)測方法， 簡便易行，快速準(zhǔn)確，既解決了傳統(tǒng)手工進行統(tǒng)計預(yù)測的繁雜，又避免了未漢化 sas軟件給普通用戶帶來的困難。對于商務(wù)辦公，調(diào)研分析都有實際的參考意義。七、參考文獻1 姜啟源等 , 數(shù)學(xué)模型（第三版），高等教育出版社，2003年 8 月2 沈恒范， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 （第五版），高等教育出版社， 2011 年 6 月3 隱含在 excel 中的統(tǒng)計預(yù)測方法研究，孫艷玲，2002年 1 月八、附錄附錄 1：問題一中評價系數(shù)地區(qū)2005年2006年2007年2008年2009年北京-12 -10 -17 -13 6 上海-104 -114 -118 -122 -67