三對(duì)角矩陣的逆的算法及MATLAB實(shí)現(xiàn)—學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文.doc

1、. 2014屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文三對(duì)角矩陣的逆的算法及MATLAB實(shí)現(xiàn)學(xué) 號(hào)：姓 名：班 級(jí)：指導(dǎo)教師：專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別：數(shù)學(xué)系完成時(shí)間： 年 月學(xué)生誠(chéng)信承諾書本人鄭重聲明：所呈交的論文 是我個(gè)人在導(dǎo)師 指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過(guò)的材料。所有合作者對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。簽名： 日期： 論文使用授權(quán)說(shuō)明本人完全了解長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)

2、印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。簽名： 日期： 指導(dǎo)教師聲明書本人聲明：該學(xué)位論文是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過(guò)論文的全部?jī)?nèi)容，并能夠保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準(zhǔn)確性。 學(xué)位論文指導(dǎo)教師簽名： 時(shí)間 摘要三對(duì)角矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中有很多的應(yīng)用，因此三對(duì)角矩陣的計(jì)算近年來(lái)被廣泛地研究。分塊周期三對(duì)角矩陣在科學(xué)和工程計(jì)算方面應(yīng)用廣泛，塊三對(duì)角矩陣和分塊帶狀矩陣在數(shù)學(xué)、物理和工程上的很多問(wèn)題中都有重要的應(yīng)用。本文基于三對(duì)角矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，給出了利用解線性方程組的方法、LU分解的方法求三對(duì)角矩陣逆矩陣的新

3、算法，這些新算法運(yùn)算量小，節(jié)省內(nèi)存，在整個(gè)計(jì)算過(guò)程中，只需要進(jìn)行較少次的乘除運(yùn)算，新算法比傳統(tǒng)算法的計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算時(shí)間要低。 其次，通過(guò)算例來(lái)表示該算法的有效性和可行性。 最后，利用MATLAB編程來(lái)實(shí)現(xiàn)三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法。關(guān)鍵詞：分塊周期三對(duì)角矩陣；塊三對(duì)角矩陣；分塊帶狀三對(duì)角矩陣；解線性方程組；LU分解法；逆矩陣；MATLABTriple diagonal matrix inverse algorithm and MATLABAbstractTriple diagonal matrix in real life there are many applications, so the

4、 triple diagonal matrix calculation was widely studied in recent years. Block periodic triple diagonal matrix is applied widely in science and engineering calculation, and the block triple diagonal matrix block banded matrices in mathematics, physics and engineering has important applications in man

5、y of the problems, in this paper, based on the structure characteristics of triple diagonal matrices, is given by using the method of solving linear equations, the recursive method, LU decomposition of the new method to calculate the inverse matrix of triple diagonal matrix algorithm, the new algori

6、thm computational complexity is small, save memory, in the whole computing process, only needs less arithmetic, a new algorithm than the traditional algorithm of computing complexity and computing time.Second by an example to show the feasibility and effectiveness of the algorithmFinally, using MATL

7、AB to realize the triple diagonal matrix inverse matrix of the new algorithmKey words: Block periodic triple diagonal matrix; Block-triple diagonal matrix; Block banded triple diagonal matrix; Solution of linear equations; LU decomposition method; inverse matrix; MATLAB.目錄1.引言52.基礎(chǔ)知識(shí)62.1 定義162.2 定義2

8、62.3 定義373.分塊周期三對(duì)角矩陣逆的新算法73.1 分塊三對(duì)角矩陣的一些性質(zhì)73.2 求分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法104.塊三對(duì)角矩陣的逆的算法114.1 塊三對(duì)角矩陣的一些性質(zhì)114.2 塊三對(duì)角矩陣的逆134.2.1 塊三對(duì)角矩陣逆的性質(zhì)135.三對(duì)角矩陣逆元素的表示145.1 一般三對(duì)角矩陣145.2 用解線性方程組的方法求三對(duì)角矩陣的逆的算法165.2.1 基本原理與算法165.2.2三對(duì)角矩陣的逆矩陣的算法186.三對(duì)角矩陣逆的算法的MATLAB實(shí)現(xiàn)187.結(jié)束語(yǔ)188.參考文獻(xiàn)18附錄19致謝191.引言1.1 課題來(lái)源及選題意義三對(duì)角矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)的重要組成部分。它

9、是研究代數(shù)問(wèn)題的三對(duì)角矩陣快速算法及有關(guān)理論的一門學(xué)科，它既涉及數(shù)學(xué)理論方面的研究，又涉及工程設(shè)計(jì)方面的研究。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及，矩陣?yán)碚摵头椒ǖ玫搅嗽絹?lái)越廣泛的應(yīng)用。在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論及管理科學(xué)中，大量地涉及到矩陣的理論，特別是一些具有特殊結(jié)構(gòu)的三對(duì)角矩陣，相應(yīng)的計(jì)算規(guī)模也越來(lái)越大。近十幾年來(lái)，國(guó)防科技和國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的許多領(lǐng)域中就不斷地提出了大型或超大型科學(xué)計(jì)算問(wèn)題。由于矩陣在各個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域和重要應(yīng)用課題中所起的不可替代的作用，故有必要對(duì)其進(jìn)行細(xì)致的研究?？茖W(xué)技術(shù)和工程應(yīng)用中需要進(jìn)行大量地矩陣計(jì)算，而這些矩陣自身往往具備一些特殊的結(jié)構(gòu)，這既是本文所研究的一類重要而特殊

10、的稀疏矩陣三對(duì)角矩陣的求逆問(wèn)題，該類矩陣經(jīng)常出現(xiàn)在信號(hào)處理、圖像處理和數(shù)值分析等學(xué)科的一些應(yīng)用問(wèn)題中。在該類矩陣的有關(guān)研究中，求逆是一個(gè)重要的問(wèn)題，且一直是人們的研究熱點(diǎn)，目前已有一些研究三對(duì)角矩陣求逆的成果。由于在許多科學(xué)技術(shù)與工程應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)大量的三對(duì)角矩陣的逆的算法進(jìn)行計(jì)算，所以我們有必要對(duì)三對(duì)角矩陣的逆的算法進(jìn)行研究。1.2 研究現(xiàn)狀對(duì)于三對(duì)角矩陣逆的算法及MATLAB實(shí)現(xiàn)，目前很多學(xué)者根據(jù)一些三對(duì)角矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，用不同的方法對(duì)三對(duì)角矩陣逆的算法及MATLAB實(shí)現(xiàn)做了很多研究，并取得一定的成就。例如2012年杜永恩，陸全，徐仲利用LU和UL分解，并使用Sheman-Morris

11、on-Woodbury 公式，得到一個(gè)求分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法(見(jiàn)2)；冉瑞生和黃廷祝利用LU和UL分解給出了兩個(gè)絞形塊分解，建立了一個(gè)塊三對(duì)角矩陣求逆的算法（見(jiàn)3）；劉長(zhǎng)河,劉世祥,汪元倫用解線性方程組方法得到求逆的算法（見(jiàn)5）；余承依,陳躍輝,趙立群利用周期三對(duì)角矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),借助矩陣的Crout分解的方法給出了一種求三對(duì)角矩陣逆矩陣的的算法（見(jiàn)6）；車毅,徐仲,雷小娜利用遞歸方法給出了求分塊周期三對(duì)角矩陣的逆矩陣的一種新算法（見(jiàn)7）；冉瑞生,黃廷祝,劉興平等研究了具有Doolittle分解的三對(duì)角矩陣的求逆，得到一個(gè)求逆的算法(見(jiàn)8)。不少學(xué)者研究了三對(duì)角矩陣的逆，并進(jìn)一步給

12、出了求三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法，而且新算法的計(jì)算量要比傳統(tǒng)算法小，計(jì)算效率有顯著提高，但其算法的實(shí)現(xiàn)還有待探究文中，為了討論的方便，記三對(duì)角矩陣為（1.1）且定義n個(gè)數(shù)：=，=-（=2,n）。為方便起見(jiàn)，我們約定若>, =1。.本文研究以求解分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法、塊三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法、分塊帶狀三對(duì)角矩陣求逆的算法、三對(duì)角矩陣逆元素的表示、稀疏矩陣的逆的算法，用算例來(lái)表示該算法的有效性和可行性。最后用MATLAB編程來(lái)實(shí)現(xiàn)三對(duì)角矩陣求逆矩陣的算法。2.基礎(chǔ)知識(shí)2.1 定義1 階矩陣 稱為三對(duì)角矩陣. 如果，當(dāng). 2.2 定義2 設(shè)分塊周期三對(duì)角矩陣有如下形式：（2.1）其

13、中，的元素，,都是階方陣。若，則矩陣為分塊三對(duì)角矩陣；若，矩陣中的元素，都是實(shí)數(shù)，則矩陣為周期三對(duì)角矩陣，且若，且，則矩陣為對(duì)稱周期三對(duì)角矩陣。2.3 定義3 設(shè)塊三對(duì)角矩陣具有如下形式（2.2）所有的塊均是階矩陣且非奇，負(fù)號(hào)僅是為了符號(hào)處理上的方便而添加的。設(shè)是的順序主子矩陣，其中的所有對(duì)角塊矩陣即是的對(duì)角塊矩陣，。假定的所有順序主子塊矩陣，均非奇異。為了討論的方便，設(shè)，其中是矩陣。3.分塊周期三對(duì)角矩陣逆的新算法3.1 分塊三對(duì)角矩陣的一些性質(zhì)引理1 設(shè)是分塊三對(duì)角矩陣，則可分解為：其中，可按：，計(jì)算。證明(1)因?yàn)樗?(2)因?yàn)? 所以 .引理2(Sherman-Morrison公式)

14、 設(shè)是階可逆方陣，均是維列向量，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是可逆的，且：引理3(Sherman-Morrison-Woodbury公式) 設(shè)是階可逆方陣，,均為矩陣，則當(dāng)且僅當(dāng)可逆時(shí)，是可逆的，且：證明：令 則（3.1）令 則（3.1）式為 （3.2）在（3.2）式左右兩端同時(shí)乘以 令，則（3.2）為 可得， 又所以 所以引理4 設(shè)是分塊三對(duì)角矩陣，且是順序主子陣可逆。設(shè) 存在，則存在4個(gè)矩陣： ， 均為階方陣，使得：，或其中對(duì)所有的都有。且，可如下求得：給定，：（1），。（2），。（3），。（4），。其中，有引理1得到。3.2 求分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法給定階可逆方陣, ,令, ,構(gòu)造向量：,

15、（3.3）則分塊周期三對(duì)角矩陣可表示為：其中 （3.4） 由引理3的Sherman-Morrison-Woodbury公式可得：由此可得如下結(jié)論。若是如（2.1）所示的分塊周期三對(duì)角矩陣，如（3.3）和（3.4）中定義，設(shè)可逆，則可逆的充要條件是可逆，且的元素可由如下算法計(jì)算得到：任意選定，可逆，。，給定， ， ， ， ，, .以上所得即為分塊周期三對(duì)角矩陣的逆矩陣，當(dāng)取時(shí)，分塊周期三對(duì)角矩陣子塊都是1階的實(shí)數(shù)，則式（2）中的矩陣為周期三對(duì)角矩陣，根據(jù)以上算法可得到求周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的新算法。4.塊三對(duì)角矩陣的逆的算法4.1 塊三對(duì)角矩陣的一些性質(zhì)引理1 設(shè)是一個(gè)塊三對(duì)角矩陣，其中，均是階

16、矩陣。設(shè) 和存在。設(shè)存在，記為，其中均是矩陣，于是，即：（4.1）式中，和均是階矩陣序列。引理2 設(shè)是一個(gè)形如式（2.2）的塊三對(duì)角矩陣，則可以被分解為：（4.2）式中矩陣序列，可按下式計(jì)算：， （4.3）引理3設(shè)是一個(gè)形如式（2.2）的塊三對(duì)角矩陣，則可以被分解為：（4.4）式中矩陣序列，可按下式計(jì)算：（4.5）下面給出的兩個(gè)絞形塊分解：引理4設(shè)是一個(gè)形如式（2.2）的塊三對(duì)角矩陣，則可以被分解為：(4.6)式中（4.7）證明：用的列乘以的第行，可得；用的第行乘以的第列，并由矩陣迭代式（12）可得。同樣，可給出 的表達(dá)式。用的第行乘以的第列，并由式（11）、（12）有。設(shè)，可得。引理5設(shè)是一

17、個(gè)形如式（2.2）的塊三對(duì)角矩陣，則可以被分解為：（4.8）式中（4.9）4.2 塊三對(duì)角矩陣的逆根據(jù)引理4，并注意和的特殊結(jié)構(gòu)，易得引理6.4.2.1 塊三對(duì)角矩陣逆的性質(zhì)引理6設(shè)是形如式（2.2）的塊三對(duì)角矩陣，設(shè)，的第列為：若 和均非奇，被稱為“proper”。在此條件下，可給出矩陣序列, , 和的表達(dá)式，并可進(jìn)一步給出他們的計(jì)算式。定理1設(shè)是形如式（2.2）的塊三對(duì)角矩陣，設(shè)，形如式(4.8)，則對(duì)任一: , ， 證明：首先給出的第列，易知：， ， 注意到的特殊結(jié)構(gòu)，第列的第一個(gè)和最后一個(gè)塊元素、可分別表示為：，對(duì)照引理6，可得：于是由引理46有： 這樣，由引理1，有：，注意到上面的討

18、論僅給出了形如（4.8）式的矩陣的第列。然而，設(shè)，矩陣分解式（4.6）即是分解式（4.4），而設(shè)和，分解式（4.8）即是分解式（4.2）于是的第一列為： ，的第列可類似得到。易知，又由分解式（4.2）、（4.4），可得，。由定理1易得下面的矩陣計(jì)算式。定理2 引理1中的序列、和可按下面的迭代算式計(jì)算得到：， ， ， ， ， 5.三對(duì)角矩陣逆元素的表示5.1 一般三對(duì)角矩陣簡(jiǎn)記階三對(duì)角矩陣為定理1 設(shè)滿足 ； 其中 ； 則下列結(jié)論成立： 為非奇異。 可由下述快速算法求得。第一步 令 ， ；， ；， 第二部 計(jì)算 ， ；， 第三部 對(duì)于分別計(jì)算， 的逆元素可由下式給出：， 這里約定， 5.2 用解

19、線性方程組的方法求三對(duì)角矩陣的逆的算法 5.2.1 基本原理與算法 設(shè)為三對(duì)角矩陣，非奇異，且，則每個(gè)方程組： （5.0）均為三對(duì)角方程組。這個(gè)方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組同為：（5.1）由的非奇異性，可知方程組（5.1）只有零解。在方程組（5.1）中，取，由遞推式得一向量（5.2）。其中，滿足方程組（5.1）中的前個(gè)方程。在方程組（5.1）中，取，由遞推式 (5.3)得另一個(gè)向量(5.4)。其中，滿足方程組（5.1）中的最后個(gè)方程?，F(xiàn)在，從方程組（5.1）中依次去掉第（）個(gè)方程，得個(gè)方程組：（5.5）對(duì)于（5.4）中的任一組方程組，由（5.2）所表示的向量的部分向量滿足其前個(gè)方程，(5.4)中

20、向量的部分向量滿足其中的后個(gè)方程。若，記，取 (5.6)若，取 (5.7)無(wú)論(5.6),(5.7)給出的均為非零向量。這樣，對(duì)應(yīng)于個(gè)方程組()()，可得出個(gè)非零向量。顯然滿足方程組(5.1)中除第個(gè)方程外的任何方程，而不滿足第個(gè)方程，即當(dāng)=1時(shí)， (5.8),當(dāng)時(shí)， (5.9)當(dāng)時(shí)， (5.10),事實(shí)上，若(5.8)(5.10)給出的某，則為方程組(5.1)的解，這與方程組(5.1)只有零解矛盾。于是，用上面的方法求出的個(gè)向量()分別是下列個(gè)方程組 （）之解，即 （）從而 （）為方程組（5.0）中第個(gè)方程之解，于是.5.2.2三對(duì)角矩陣的逆矩陣的算法 算法：1.輸入數(shù)組，2.取由公式(5.2)求出向量，取，由公式