《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》專題09 動態(tài)幾何定值問題（原卷版）

1、玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品專題九 動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問題，以運(yùn)動的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動對象而言，有點(diǎn)動、線動、面動三大類，就其運(yùn)動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要 “以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)

2、問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點(diǎn)包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成 ：先探求定值. 它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題

3、中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點(diǎn)是線段（和差）為定值問題，問題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究?！镜淅敢款愋鸵?【線段及線段的和差為定值】 【典例指引1】已知：abc是等腰直角三角形，bac90°，將abc繞點(diǎn)c順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到abc，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)90°180°時(shí)，作adac，垂足為d，ad與bc交于點(diǎn)e（1）如圖1，當(dāng)cad15°時(shí)，作aec的平分線ef交bc于點(diǎn)f寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；求證：ea+ecef；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)p是直線ad上的一個(gè)動點(diǎn)，連接pa，pf，若ab，求線段pa+pf的最小值（結(jié)果保留根號）【舉

4、一反三】如圖（1），已知,點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，且，、為射線和上的兩個(gè)動點(diǎn)（），過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)（1）若時(shí)，求的值； （2）設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖(2)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線和上運(yùn)動時(shí)，探索線段的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長類型二 【線段的積或商為定值】 【典例指引2】如圖，矩形中，將繞點(diǎn)從處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)，交邊（或）于點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）特殊情形：如圖，發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，也恰好過點(diǎn)，此時(shí)是否與相似？并說明理由；（2）類比探究：如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中，的

5、值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)時(shí)，的面積為，試用含的代數(shù)式表示；在旋轉(zhuǎn)過程中，若時(shí)，求對應(yīng)的的面積；在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e為4.2時(shí)，求對應(yīng)的的值.【舉一反三】如圖1,已知直線ya與拋物線交于a、b兩點(diǎn)(a在b的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)c(1)若ab4,求a的值(2)若拋物線上存在點(diǎn)d(不與a、b重合),使,求a的取值范圍(3)如圖2,直線ykx2與拋物線交于點(diǎn)e、f,點(diǎn)p是拋物線上的動點(diǎn),延長pe、pf分別交直線y2于m、n兩點(diǎn),mn交y軸于q點(diǎn),求qm·qn的值。圖1 圖2類型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如圖，在abc中，abc60

6、°，bac60°，以ab為邊作等邊abd（點(diǎn)c、d在邊ab的同側(cè)），連接cd（1）若abc90°，bac30°，求bdc的度數(shù)；（2）當(dāng)bac2bdc時(shí)，請判斷abc的形狀并說明理由；（3）當(dāng)bcd等于多少度時(shí)，bac2bdc恒成立 【舉一反三】如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線交拋物線w于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1）求直線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，若平分，求拋物線w的解析式；（3）若，將拋物線w向下平移個(gè)單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，與射線的交點(diǎn)為問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請求出的值

7、；若不是，請說明理由類型四 【三角形的周長為定值】 【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為的正方形abcd，點(diǎn)p 為正方形 ad 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) a、點(diǎn)d 重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn) b 落在 p 處，點(diǎn) c 落在 g 處，pg 交dc 于h，折痕為 ef，連接 bp，bh.（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)p在邊ad上移動時(shí)，pdh的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；（4）設(shè)ap為x，四邊形efgp的面積為s，求出s與x的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形abc中，c90°，ab8，點(diǎn)o是ab的中點(diǎn).將一個(gè)邊長足夠大的rtdef的直角頂點(diǎn)e放

8、在點(diǎn)o處，并將其繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)，始終保持de與ac邊交于點(diǎn)g，ef與bc邊交于點(diǎn)h.(1)當(dāng)點(diǎn)g在ac邊什么位置時(shí)，四邊形cgoh是正方形.(2)等腰直角三角abc的邊被rtdef覆蓋部分的兩條線段cg與ch的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請求出cg與ch之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.類型五 【三角形的面積及和差為定值】 【典例指引5】綜合與實(shí)踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個(gè)矩形紙片abcd和efgh疊放在一起，這時(shí)對角線ac和eg互相重合固定矩形abcd，將矩形efgh繞ac的中點(diǎn)o逆時(shí)針方

9、向旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)e與點(diǎn)b重合時(shí)停止，在此過程中開展探究活動操作發(fā)現(xiàn)：（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊ab與ef交于點(diǎn)m，邊cd與gh交于點(diǎn)n，如圖2、圖3所示，則線段am與cn始終存在的數(shù)量關(guān)系是 （2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個(gè)矩形紙片重疊部分為四邊形qmrn時(shí)，如圖3所示，四邊形qmrn為菱形，請你證明這個(gè)結(jié)論（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形qmrn中mqn與旋轉(zhuǎn)角aoe存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由實(shí)踐探究：（4）在圖3中，隨著矩形紙片efgh的旋轉(zhuǎn)，四邊形qmrn的面積會發(fā)生變化若矩形紙片的長為，寬為，請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a

10、oe為多少度時(shí)，四邊形qmrn的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）【舉一反三】如圖1，矩形abcd中，e是ad的中點(diǎn)，以點(diǎn)e直角頂點(diǎn)的直角三角形efg的兩邊ef，eg分別過點(diǎn)b，c，f30°.（1）求證：bece（2）將efg繞點(diǎn)e按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到ef與ad重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動.若ef，eg分別與ab，bc相交于點(diǎn)m，n.（如圖2）求證：bemcen；若ab2，求bmn面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)b恰好在fg上（如圖3），求sinebg的值.【新題訓(xùn)練】1已知在平行四邊形abcd中，ab=6，bc=10，bad=120°，e為線段bc上的一個(gè)動點(diǎn)（不與b，c重

11、合），過e作直線ab的垂線，垂足為f，fe與dc的延長線相交于點(diǎn)g，（1）如圖1，當(dāng)aebc時(shí)，求線段be、cg的長度（2）如圖2，點(diǎn)e在線段bc上運(yùn)動時(shí)，連接de，df，bef與ceg的周長之和是否是一個(gè)定值，若是請求出定值，若不是請說明理由（3）如圖2，設(shè)be=x，def的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式2如圖，邊長為8的正方形oabc的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)c為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)a，點(diǎn)p是拋物線上點(diǎn)a、c間的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)p作pfbc于點(diǎn)f，點(diǎn)d、e的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接pd，pe，de（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點(diǎn)p的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)p與點(diǎn)a或點(diǎn)

12、c重合時(shí)，pd與pf的差為定值，進(jìn)而猜想：對于任意一點(diǎn)p，pd與pf的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出pde周長的最大值和最小值3如圖，四邊形abcd中，adbc，abc=90°(1)直接填空：bad=_°.(2)點(diǎn)p在cd上，連結(jié)ap，am平分dap，an平分pab，am、an分別與射線bp交于點(diǎn)m、n設(shè)dam=°求ban的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)若anbm，試探究amb的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用的代數(shù)式表示它4將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，連接bc，de探究sabc與sadc的

13、比是否為定值（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時(shí)，sabc：sade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時(shí)，sabc：sade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（3）兩塊三角板中，bae+cad180°，aba，aeb，acm，adn（a，b，m，n為常數(shù)），sabc：sade是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由（圖）5（解決問題）如圖1，在中，于點(diǎn)點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)（1）若

14、，則的面積是_，_（2）猜想線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，求的值（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)若，直接寫出的值6如圖，已知銳角abc中，ab、ac邊的中垂線交于點(diǎn)o（1）若a=（0°90°），求boc；（2）試判斷abo+acb是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由7o的直徑ab15cm，有一條定長為9cm的動弦，cd在弧ab上滑動（點(diǎn)c和a、點(diǎn)d與b不重合），且cecd交ab于e，dfcd交ab于f（1）求

15、證：aebf（2）在動弦cd滑動過程中，四邊形cdfe的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個(gè)定值，若不是，請說明理由.8如圖，動點(diǎn)在以為圓心，為直徑的半圓弧上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)及的中點(diǎn)重合），連接.過點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)，連接、.（1）探究：如左圖，當(dāng)動點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)；判斷是否成立？請說明理由；設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；（2）拓展：如右圖，當(dāng)動點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)；分別判斷（1）中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結(jié)論.（均不必說明理由）9如圖，已知的半徑為，為直

16、徑，為弦與交于點(diǎn)，將 沿著翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長至，使，鏈接 （）求的長（）求證：是的切線（）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長線上有一動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（與、不重合）則為一定值請說明理由，并求出該定值10在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a和點(diǎn)b分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且oa=6，ob=8，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)（1）直接寫出點(diǎn)d的坐標(biāo)及ab的長；（2）若直角ndm繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)，射線dp分別交x軸、y軸于點(diǎn)p、n，射線dm交x軸于點(diǎn)m，連接mn當(dāng)點(diǎn)p和點(diǎn)n分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時(shí)，若pdmmon，求點(diǎn)n的坐標(biāo)；在直角ndm繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)的過程中，dmn的大小是否會發(fā)生變化？請說明理由11如圖，aob

17、中，a（8，0），b（0，），ac平分oab，交y軸于點(diǎn)c，點(diǎn)p是x軸上一點(diǎn)，p經(jīng)過點(diǎn)a、c，與x軸于點(diǎn)d，過點(diǎn)c作ceab，垂足為e，ec的延長線交x軸于點(diǎn)f，（1）p的半徑為；（2）求證：ef為p的切線；（3）若點(diǎn)h是上一動點(diǎn)，連接oh、fh，當(dāng)點(diǎn)h在上運(yùn)動時(shí)，試探究是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由.12如圖，在菱形abcd中，abc60°，ab2過點(diǎn)a作對角線bd的平行線與邊cd的延長線相交于點(diǎn)ep為邊bd上的一個(gè)動點(diǎn)（不與端點(diǎn)b，d重合），連接pa，pe，ac（1）求證：四邊形abde是平行四邊形；（2）求四邊形abde的周長和面積；（3）記abp的周長和

18、面積分別為c1和s1，pde的周長和面積分別為c2和s2，在點(diǎn)p的運(yùn)動過程中，試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：c1+c2，s1+s2，如果是定值的，請直接寫出這個(gè)定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍13如圖，在中，圓心關(guān)于弦的對稱點(diǎn)恰好在上，連接、.（1）求證：四邊形是菱形；（2）如圖，若點(diǎn)是優(yōu)?。ú缓它c(diǎn)、）上任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，的半徑為.試探究線段與的積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；求的取值范圍. 14如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為c（0，8），并且經(jīng)過a（8，0），點(diǎn)p是拋物線上點(diǎn)a，c間的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)p作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)f，點(diǎn)d，e的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接pd，pe，de（1）求拋物線的解析式；（2）猜想并探究：對于任意一點(diǎn)p，pd與pf的差是否為固定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由；（3）求：當(dāng)pde的周長最小時(shí)的點(diǎn)p坐標(biāo)；使pde的面積為整數(shù)的點(diǎn)p的個(gè)數(shù)15如圖1，點(diǎn)、，其中、滿足，將點(diǎn)、分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位至、，連接、.（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：_；（2）連接交于一點(diǎn)，求的值：（3）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向上平