利用空間向量求空間角訓(xùn)練題

1、利用空間向量求空間角訓(xùn)練題一、題點全面練1.如圖所示，在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，已知 M，N 分別是 BD 和 AD的中點，則 B1M 與 D1N 所成角的余弦值為()A.C.30303010B.D.30151515為 2，則 B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)， B1M (1，1，2)，  D1N (1,0，2)，解析：選 C建立如圖所示的

2、空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長| B1M · D1N | B1M |·| D1N | B1M與D1N所 成 角 的 余 弦 值 為    114×   14  10|14|30.2如圖，已知長方體 ABCD A1B1C1D1 中，ADAA11，AB3，E1為線段 AB 上

3、一點，且 AE3AB，則 DC1 與平面 D1EC 所成角的正弦值為()A.3 3535B.2 77C.33D.24 DC1 (0,3,1)，   D1E (1,1，1)，  D1C (0,3，1)解析：選 A如圖，以 D 為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 C1(0,3,1)，D1(0,0

4、,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，設(shè)平面 D1EC 的法向量為 n(x，y，z)，ìïn·0，D1Eïîn·0，則íD1Cìïxyz0，即íîï3yz0，取 y1，得 n(2,1,3)cos  DC1 ·n  3   35         

5、35DC1 ，n              ，| DC1 |·|n|3 35DC1 與平面 D1EC 所成的角的正弦值為 35.3在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA12，二面角 B AA1 C1 的大小為 60°，點 B 到平面 ACC1A1

6、的距離為 3，點 C 到平面 ABB1A1 的距離為 2 3，則直線 BC1 與直線 AB1 所成角的正切值為()A. 7C. 5B. 6D2則 AB1 · BC1 ( BB1  BA )·( BB1  BC )4，| AB1 |2   2，| BC1

7、0;|4，解析：選 A由題意可知，BAC60°，點 B 到平面 ACC1A1 的距離為 3，點 C 到平面ABB1A1 的距離為 2 3，所以在三角形 ABC 中，AB2，AC4，BC2 3，ABC90°，AB1 · BC    2AB1 ， BC1       4AB1

8、0;， BC1    7.cos故   | AB1 |·| BC |  ，4.如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱長都相等，E，F(xiàn)，G 分別為AB，AA1，A1C1 的中點，則 B1F 與平面 GEF 所成角的正弦值為()A.35B.56C.3   3D. 3   61010解析

9、：選 A設(shè)正三棱柱的棱長為 2，取 AC 的中點 D，連接 DG，DB，分別以 DA，DB，DG 所在的直線為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則 B1(0， 3，2)，F(xiàn)(1,0,1)，0÷，G(0,0,2)，æEç1，è23  ö2   øB1F    1，  &#

10、160;3，1)， EF ç  ，  (   æ1     3  ö  ，1÷， GF (1,0，1)2è2ø設(shè)平面 GEF 的法向量 n(x，y，z)，ìï1xìï EF ·n0，則íïî GF&#

11、160;·n0，3yz0，即í2 2ïîxz0，取 x1，則 z1，y 3，故 n(1， 3，1)為平面 GEF 的一個法向量，13135×   5所以 cosn， B1F 5，3所以 B1F 與平面 GEF 所成角的正弦值為5.5在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，點 E 為 BB1 的中點

12、，則平面 A1ED 與平面 ABCD 所成的銳二面角的余弦值為()A.12B.23C.    3D.    232則 A1(0,0,1)，Eç1，0， ÷，D(0,1,0)， A1D (0,1，1)，A1E ç1，0， ÷，解析：選 B以 A 為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A xyz，設(shè)棱長為 1，æ

13、;1öè2ø æ1öè2ø設(shè)平面 A1ED 的一個法向量為 n1(1，y，z)，ìïn ·0，1A1Dïîn ·0，ïî  2則í1 A1Eìïyz0，即í  11 z0，ìïy2，íîïz2，n1(1,2,2)又平面 ABCD&

14、#160;的一個法向量為 n2(0,0,1)，22  cosn1，n23×13.2即平面 A1ED 與平面 ABCD 所成的銳二面角的余弦值為3.6如圖，菱形 ABCD 中，ABC60°，AC 與 BD 相交于點 O，AE平面 ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直線 OF 與平面 BED 所成的角為 45°，a)， OF (1,0,3)， DB

15、 (0,2   3，0)，   EB (1，   3，則 AE_.解析：如圖，以 O 為坐標(biāo)原點，以 OA，OB 所在直線分別為 x 軸，y 軸，以過點 O 且平行于 CF 的直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè) AEa，則 B(0， 3，0)，D(0， 3，0)，F(xiàn)(1,0,3)，E(1,0，a)設(shè)平面

16、60;BED 的法向量為 n(x，y，z)，ìïn· DB 0，則íïîn· EB 0，ì2 3y0，即íîx 3yaz0，n· OF      a3cosn， OF            a21×&

17、#160;  10則 y0，令 z1，得 xa，n(a,0,1)，|n| OF |直線 OF 與平面 BED 所成角的大小為 45°，.2|a3| 2  ，a21× 10解得 a2 或 a  (舍去)，AE2.OE (1，1,0)， OF (0，1,1)，12答案：27.如圖，已知四棱錐 PABCD 的底面 

18、ABCD 是等腰梯形，ABCD，且 ACBD，AC 與 BD 交于 O，PO底面 ABCD，PO2，AB2 2，E，F(xiàn)分別是 AB，AP 的中點，則二面角 FOEA 的余弦值為_解析：以 O 為坐標(biāo)原點，OB，OC，OP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O xyz，由題知，OAOB2，則 A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，

19、E(1，1,0)，F(xiàn)(0，1,1)，設(shè)平面 OEF 的法向量為 m(x，y，z)，ìïm· OE 0，則íïîm· OF 0，ìïxy0即íîïyz0.令 x1，可得 m(1,1,1)則 cosm，n   m·n|m|n|  3易知平面 OAE 的一個法向量為 n(0,0,1)，3.由圖知

20、二面角 F OE A 為銳角，所以二面角 F OE A 的余弦值為33.答案：    3(2)以 D 為坐標(biāo)原點，   DA 的方向為 x 軸正方向，建立如圖所示AM (2，1,1)， AB (0,2,0)， DA (2,0,0)38(2018·全國卷)如圖，邊長為 2 的正方形 ABCD 所在的平

21、面與半圓弧 C D 所在平面垂直，M 是 C D 上異于 C，D 的點(1)證明：平面 AMD平面 BMC；(2)當(dāng)三棱錐 M ABC 體積最大時，求平面 MAB 與平面 MCD 所成二面角的正弦值解：(1)證明：由題設(shè)知，平面 CMD平面 ABCD，交線為 CD.因為 BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，又 DM平面&

22、#160;CMD，所以 BCDM.因為 M 為 CD 上異于 C，D 的點，且 DC 為直徑，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.因為 DM平面 AMD，所以平面 AMD平面 BMC.的空間直角坐標(biāo)系 D xyz.當(dāng)三棱錐 M ABC 的體積最大時，M 為 CD 的ABCM中點由題設(shè)得 D(0,0,0)， (

23、2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,1,1)，設(shè) n(x，y，z)是平面 MAB 的法向量，ìïn· AM 0，則íïîn· AB 0，ìï2xyz0，即íîï2y0.可取 n(1,0,2)，又 DA 是平面 MCD 的一個法向量，n· DA    

24、;5所以 cosn， DA          ，sinn， DA    .|n| DA |2 555所以平面 MAB 與平面 MCD 所成二面角的正弦值是   .所以 POAC，且 PO2   3.連接 OB，因為 ABBC   

25、 2 AC，所以ABC 為等腰直角三角形，且 OBAC，OB  AC2.(2)以 O 為坐標(biāo)原點， OB 的方向為 x 軸正方向，建立如圖所示的空AP (0,2,2   3)取平面 PAC 的一個法向量 OB (2,0,0)設(shè) M(a,2a,0)(0a2)，則 AM (a,4a,0)2 559(2018·全國卷)如圖，在三棱錐 P

26、0;ABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 為 AC 的中點(1)證明：PO平面 ABC；(2)若點 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 為 30°，求 PC 與平面 PAM所成角的正弦值解：(1)證明：因為 PAPCAC4，O 為 AC 的中點，212所以 PO2OB2PB2，所以 POOB.又因為 OBACO，所以

27、 PO平面 ABC.間直角坐標(biāo)系 O xyz.由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2 3)，設(shè)平面 PAM 的法向量為 n(x，y，z)，ìï AP ·n0，由íïî AM ·n0，ì2y2 3z0，得íîax  a y0，令 y 3a，得 

28、za，x 3(a4)，所以平面 PAM 的一個法向量為 n( 3(a4)，3a，a)，所以 cos OB ，n22 3  a2a   3a2a2 .由已知可得|cos OB ，n|cos  30°  ，32所以22 3|a4|a 23a2a232，解得 a  或 a4(舍去)所以 nç &

29、#160; ，   ， ÷.又 PC (0,2，2   3)，412·   641643æ8 34 34öè333ø8 38 333所以 cos PC ，n1633934.所以 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值為34.以 O 為坐標(biāo)原點， OB ，

30、0;OC ，   OA1 的方向分別為 x 軸，y 軸， OB (1,0,0)， BB1  AA1 (0，   3，   6)，   OB1  OB  BB1 (1，   3，   6)二、專項培優(yōu)練素養(yǎng)專練學(xué)會更學(xué)通1直觀想象、數(shù)學(xué)運算 如圖，四棱

31、柱 ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD 是菱形，ACBDO，A1O底面 ABCD，AB2，AA13.(1)證明：平面 A1CO平面 BB1D1D；(2)若BAD60°，求二面角 B OB1 C 的余弦值解：(1)證明：A1O平面 ABCD，BD平面 ABCD，A1OBD.四邊形 ABCD 是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面 A1CO.BD平面 BB1D1D，平面 A1CO平面 BB1

32、D1D.(2)A1O平面 ABCD，COBD，OB，OC，OA1 兩兩垂直，z 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B2，AA13，BAD60°，OBOD1，OAOC 3，2OA1 AA1OA2 6.則 O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0， 3，0)，A(0， 3，0)，A1(0,0， 6)，設(shè)平面 OBB1 的法向量為 n(x，y，z)，ïî·n0，ìï OB ·

33、n0，則íOB1ìx0，即íîx 3y 6z0.    n，m n·m|n|·|m|   3×   7  21令 y 2，得 z1，n(0， 2，1)是平面 OBB1 的一個法向量同理可求得平面 OCB1 的一個法向量 m( 6，0，1)，121，由圖可知二面角 B&#

34、160;OB1 C 是銳二面角， 二面角 B OB1 C 的余弦值為 21.則 BC (a,2,0)， PC (a,1，1)2直觀想象、數(shù)學(xué)運算如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADC90°，ABCD，AB2CD.平面 PAD平面 ABCD，PAPD，點 E 在 PC 上，DE平面 PAC.(1)求證：PA平面 

35、;PCD；(2)設(shè) AD2，若平面 PBC 與平面 PAD 所成的二面角為 45°，求DE 的長解：(1)證明：由 DE平面 PAC，得 DEPA，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CDAD，所以 CD平面 PAD，所以 CDPA，又 CDDED，所以 PA平面 PCD.(2)取 AD 的中點 O，連接 PO，因為

36、60;PAPD，所以 POAD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PO平面 ABCD，以 O 為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O xyz，由(1)得 PAPD，由 AD2 得PAPD 2，PO1，設(shè) CDa，則 P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，設(shè) m(x，y，z)為平面 PBC 的法向量，ïîa

37、xyz0，  令 x2，則 ya，z3a，故 m(2，a,3a)ìïm· BC 0，由íïîm· PC 0，ìïax2y0，得í由(1)知 n DC (a,0,0)為平面 PAD 的一個法向量為平面 PBC 的一個法向量， CB (2   2，2,0)， AC (2&#

38、160;  2，4,0)， PA (0，4，4)         由|cosm，n|m·n|2a|                  |m|n|a   10a24255    PCD 中，PC，由等面積法可得 DECD·PD    PC3     cosABC.21010|，解得 a，即 CD，所以在 Rt2 1553.3直觀想象，數(shù)學(xué)運算如圖，在三棱錐 P ABC 中，平面 PAB平面 ABC，A