淺論教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系(精選)

1、淺論教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系兼論位置關(guān)系數(shù)學(xué)的新思路祝寶滿廖云兒*（上饒師范學(xué)院,江西，上饒,334000）摘要：本文運(yùn)用教育教學(xué)的原理和思想，對現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中“異面直線”這一教學(xué)難點(diǎn)的“數(shù)學(xué) 教育”處理出發(fā)，引申并嘗試提出用“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”這一空間物體位置關(guān)系的本質(zhì)改造位置關(guān)系數(shù) 學(xué)的新思路。從而提出正確認(rèn)識和處理教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的必要性。進(jìn)而從理論和實(shí)踐兩方面闡述了 教育數(shù)學(xué)與教學(xué)教育是既對立又統(tǒng)一的關(guān)系。并從“教育數(shù)學(xué)三原理”出發(fā)，研究并提出了用二次函數(shù)極值 法求解兩異而直線距離的方法模式。從而說明了尋找并建立教育數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)的理論與實(shí)踐意義。關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教育

2、；關(guān)系一、問題的提出教育數(shù)學(xué)從張景中院士提出至今，己經(jīng)得到了越來越多人的承認(rèn)。不少人也 在自覺或不自覺地從事著教育數(shù)學(xué)的研究和實(shí)踐活動，這其屮很多都是長期從事 數(shù)學(xué)教育的工作者。從一個(gè)研究領(lǐng)域進(jìn)入另一個(gè)研究領(lǐng)域，這個(gè)中的困難和問題 是可想而知的。而正確認(rèn)識和處理好“教育教學(xué)”與“數(shù)學(xué)教育”的關(guān)系，是開 展教育數(shù)學(xué)研究，并使這一新興學(xué)科得以成長、壯大所必須首先解決的一個(gè)問 題。只有把兩者的關(guān)系搞清楚，明確了兩者的研究對象、研究目標(biāo)、研究方法 等，干起來才會得心應(yīng)手。筆者在學(xué)習(xí)、研究教育數(shù)學(xué)的過程屮，也深感有必要先把這一問題弄清楚。例如，我們在研究中學(xué)立體幾何“異面直線”這一教學(xué)難點(diǎn)中，就遇到了這

3、 一問題?，F(xiàn)行中學(xué)教材屮“異面直線”其定義是指“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒 有公共點(diǎn)的空間兩條直線。”然后，通過直觀引入異面直線的角，進(jìn)而引進(jìn)兩條 異面直線垂直、兩條異面直線的公垂線和兩條異面直線的距離。最后不加證明地 提出：“對于任意的兩條異面直線，它們的公垂線有且僅有一條”的結(jié)論。中學(xué)作者簡介:祝寶滿（1949）,男,江西廣豐人，上饒師范學(xué)院副教授,主耍從事數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)哲學(xué)研究 廖云兒（1948-）,女，福建福州人，上饒師范學(xué)院副教授，主耍從事數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)史研究 數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐和數(shù)學(xué)教冇的研究都告訴我們，屮學(xué)生很難建立起異而直線的空 間概念。為解決和突破這個(gè)難點(diǎn)，在“數(shù)學(xué)教學(xué)論”的教學(xué)屮

4、，我們提出了兩種教學(xué) 建議：一是采用直觀演示的方法引入異面直線概念。具體來說，是用兩根木棍，先 成和交狀（建立在學(xué)生已有基礎(chǔ)知識上），然后平行移動其中一根木棍，這樣的 兩條直線就是異面直線。或者，先把兩根木棍擺成平行狀，然后，轉(zhuǎn)動其屮一根 棍子，這樣所成的兩條直線就是異面直線。通過演示，使學(xué)生們很容易建立起了 異面在線的空間概念：它們不在同一平面內(nèi)，它們既不相交也不平行。另一種是建議從揭示異面直線概念的主要本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。兩條異面直線的本 質(zhì)主耍在于“遠(yuǎn)近度”（可用距離度量）與“傾斜度”（可用角度量）。兩條異 面直線是有距離的，它不同于兩條相交直線（它們的距離為零）；同時(shí)，兩條異 面直線乂是有傾

5、斜度的，它不同于兩條平行線（它們之間的傾斜度為零）。細(xì)究上而兩種教學(xué)建議，第二種教學(xué)建議已經(jīng)不是純粹的“教學(xué)法加工” 了?；蛘哒f，它已經(jīng)隱含著一種數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造。也就是說，第二種教學(xué)建議已不 口覺地實(shí)踐著、逼近著教育教學(xué)了。因?yàn)椋诙N教學(xué)建議，緊緊抓住了空間兩 物體位置關(guān)系的本質(zhì)。我們知道，空間兩物體位置關(guān)系的本質(zhì)就在于兩物體的 “遠(yuǎn)近度”（或距離）和“傾斜度”（或角）。而遠(yuǎn)近度和傾斜度是初中學(xué)生頭 腦中容易形成和理解的概念。再用“距離”去度量“遠(yuǎn)近度”，用“角”去度量 “傾斜度”。這符合張景屮先生捉岀的教育數(shù)學(xué)三原理的第一原理，“從學(xué)生頭 腦中找概念?！币虼耍覀兛煞裼谩斑h(yuǎn)近度”和“傾斜度”

6、來對位置關(guān)系數(shù)學(xué)來一番改造 呢？如杲能進(jìn)行改造，那就屈于教育數(shù)學(xué)范疇，而不屈于只進(jìn)行教學(xué)法加工的數(shù) 學(xué)教育了。在此，筆者嘗試著提出這樣一種改造的思路，祈請各位專家指正。對位置關(guān)系數(shù)學(xué)在提岀了 “遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”概念基礎(chǔ)上，首先講點(diǎn)與 點(diǎn)的距離。兩點(diǎn)間線段最短，點(diǎn)與點(diǎn)沒有傾斜度。第二，講點(diǎn)與直線的距離。它 包括點(diǎn)在直線上（距離為零）和點(diǎn)到直線的距離。點(diǎn)與線也沒有傾斜度。第三， 講線與線的距離和傾斜度。線與線沒有距離也沒有傾斜度，則是兩線重合；線與 線沒冇距離但有傾斜度是兩線相交；線與線有距離冃處處相等，沒冇傾斜度或傾 斜度為零是兩線平行；線與線既沒冇距離又沒冇傾斜度，這是兩條異面直線。第 四

7、，講點(diǎn)與面的距離。點(diǎn)在面上（或距離為零）和點(diǎn)不在面上（有距離），同樣 點(diǎn)與而沒有傾斜度。第五，講線與面的距離和傾斜度。線與而沒有距離，線在平 面內(nèi)；線與面有距離，ii處處相等，而傾斜度為零是線面平行；線與面有距離且 有傾斜度，線面和交或垂直。最后，講面與面的距離與傾斜度。面與面沒有距離 且沒有傾斜度是兩平面重合；面與面有距離但沒有傾斜度是兩平面平行；面與面 距離為零且冇傾斜度是兩平面相交。這樣，我們就可用“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”把空間點(diǎn)、線、面間的關(guān)系很直 觀地展現(xiàn)給學(xué)生?？臻g各種物體的位置關(guān)系以及各種位置關(guān)系之間所成的角（異 面直線所成的角；直線與平面所成的角；平面與平面所成的角）和距離（異面

8、直 線間的距離；點(diǎn)與面的距離；平行的線面距離；平行的面面距離），中學(xué)生就比 較容易接受，也容易形成空間概念。當(dāng)然，作了這樣一番改造的位置關(guān)系數(shù)學(xué)是否能更好地為屮學(xué)生所理解和接 受，還有待丁數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐來檢驗(yàn)和證明。所以，我們認(rèn)為，要使教育數(shù)學(xué)這門新興學(xué)科能夠成長和壯大，就必須把教 育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系搞清楚。從而由不自覺進(jìn)入到自覺的研究和改造屮去。二、教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育既對立又統(tǒng)一那么，教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育是一種什么關(guān)系呢？筆者認(rèn)為，它們之間存在著 既對立又統(tǒng)一的關(guān)系。1、教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的對立首先，兩者從屬于不同的學(xué)科范疇。教育數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，它是為數(shù)學(xué)教育進(jìn)行 再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)，英本質(zhì)是一種對

9、數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造的活動，它要符合數(shù)學(xué)的特冇規(guī) 律。而數(shù)學(xué)教育屈于教育，它主要是對數(shù)學(xué)教材進(jìn)行一番教學(xué)法的加工，使z學(xué) 生更容易理解和掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法的教育活動，它要符合教育的基本 規(guī)律。其次，是兩種不同的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念。所謂數(shù)學(xué)教學(xué)觀念是指“關(guān)于應(yīng)當(dāng)如何 去從爭數(shù)沖教學(xué)的觀點(diǎn)和看法等。”教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的區(qū)別主耍在于“如 何從事”的問題上。教育數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育都要研究數(shù)學(xué)“教什么”的問題，即教 材問題。數(shù)學(xué)教育的觀點(diǎn)是，“把數(shù)學(xué)家的研究成果作為基本素材一一數(shù)學(xué)材 料，經(jīng)過教學(xué)法的加工，便可形成教材”。這只是進(jìn)行剪裁、整理，不包括數(shù) 學(xué)上的再創(chuàng)造。而教育數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)是，“要進(jìn)行數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造，

10、使琳瑯滿口但 卻朵亂無章的材料蔚然成序，成為符合教育基本規(guī)律的'經(jīng)典教程'”。所 以，兩者研究教材的角度是不同的。2、教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育是統(tǒng)一的首先，教育數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)教育，它源于數(shù)學(xué)教育乂服務(wù)于數(shù)學(xué)教育。教育 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育是冇區(qū)別的，但兩者又是緊密相聯(lián)的，不能割裂兩者的關(guān)系。因?yàn)?，教育?shù)學(xué)源于數(shù)學(xué)教育。教育數(shù)學(xué)“為了數(shù)學(xué)教育的需要，對數(shù)學(xué)成 果進(jìn)行再創(chuàng)造。”這種創(chuàng)造的著眼點(diǎn)是數(shù)學(xué)教材中的難點(diǎn)和新點(diǎn)，這就是說， 教育數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造是來白于數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中所呈現(xiàn)出來的公認(rèn)的難點(diǎn)和新點(diǎn)。事 實(shí)上，數(shù)學(xué)教育可為我們提供非常豐富的可供創(chuàng)造的索材。例如，前述的異面直 線概念的教學(xué)難點(diǎn)，為我

11、們提供了數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的材料。又如，在求異而直線距離的教學(xué)中，這也是一個(gè)教學(xué)上的難點(diǎn)，而且一般求 解異面宜線的距離，現(xiàn)行中學(xué)教材都是放在講了線面關(guān)系和面面關(guān)系后再強(qiáng)化。 因此，運(yùn)用教育數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，我們能不能從概念中產(chǎn)生方法，并能形成一種模式 呢？遵循著“教育數(shù)學(xué)三原理”，我們就可用二次函數(shù)極值法（初三內(nèi)容）來求 解兩條異面宜線的距離。我們知道，通常求異面宜線距離是轉(zhuǎn)化為平行的線面距 離和平行的面面距離之后求解，但比較復(fù)雜，而且還要作一個(gè)或兩個(gè)輔助面。而 利用二次函數(shù)法求解更容易、更簡單，而冃可形成一個(gè)模式。例1,在棱長為1的正方體abcdalblcld1中，求兩異面直線b】c和bd之間的 距離。分

12、析：兩條異而直線間距離是指夾在兩異而直線間的公垂線段的長度。公垂 線段是唯一存在的，且在所有夾在兩異面直線間的線段中公垂線是最短的。止因 為最短，才將公垂線段長作為兩異面直線間的距離?；仡櫼酝嘘P(guān)距離的概念，如兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行線間 的距離，均與“最小值”掛鉤。既與“最小值”有關(guān)，那么就可用函數(shù)思想來解 決，而耍利用函數(shù)思想，得先確定變量，然后確定函數(shù)表達(dá)式。如圖，在bic上任取一點(diǎn)e,過e作ef丄bc,則ef丄面abcd。過f作fg丄bd,連eg,只耍求出eg長度的最小值，這就是兩異而直線的距離。而eg取得最 小值時(shí)的線段位置便是公垂線段的位置。解：設(shè) ef二x,則 cf二

13、x,所以 bf=1-x, 在 r.afgb 中，zgbf二45°，所以在 rtaefg 中，eg2=ef2 + fg2 = x2 +3( 1丫x2(3；所以，當(dāng)x二丄時(shí)，eg最小值為遲。33本例同時(shí)告訴我們f為bc的三等分點(diǎn)，i大i此，只要取c到b的第一個(gè)三等 分點(diǎn)f,過f作fe丄bc （e在dc上）,再過e作fg丄bd,連eg,則eg為公垂 線段。也就很容易畫出這兩條異面直線的公垂線。教育數(shù)學(xué)要服務(wù)數(shù)學(xué)教育教育數(shù)學(xué)的任務(wù)是為了數(shù)學(xué)教育的需要對數(shù)學(xué)成 果進(jìn)行再創(chuàng)造，也就是說要創(chuàng)造出更加適合于數(shù)學(xué)教育的教材。因此，正是“教 什么”把兩者緊密地聯(lián)系在一起，如果離開數(shù)學(xué)教育去搞數(shù)學(xué)的創(chuàng)造，

14、那就不是 教育數(shù)學(xué)，而是數(shù)學(xué)。正如張景屮先生所指出的，教育數(shù)學(xué)成果還有一個(gè)“如何 去為數(shù)學(xué)教育服務(wù)”的問題。此外，教育數(shù)學(xué)還要接受數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐檢驗(yàn)。其次，數(shù)學(xué)教育也離不開教育數(shù)學(xué)。因?yàn)?，?shù)學(xué)教育事實(shí)上具冇兩個(gè)不同的 方面：“數(shù)學(xué)方面”和“教育方面”。正如鄭毓信所指出的，這兩方面是對立統(tǒng) 一的，它們是數(shù)學(xué)教育的基本矛盾。而“能否很好地處理這一矛盾（或者說，搞 好這兩方面的均衡）正是搞好數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵所在，”所以，數(shù)學(xué)教育既 不能離開“教育方面”，又離不開“數(shù)學(xué)方面”。既然如此，那么教育數(shù)學(xué)為數(shù) 學(xué)教育的需要而創(chuàng)造出來的，更適合于教學(xué)，更適合于學(xué)生理解和接受的數(shù)學(xué)， 理應(yīng)為數(shù)學(xué)教育所使用。最后，教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育統(tǒng)一于數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)上。我們知道，數(shù)學(xué)教育是為了使受教育者掌握一定的數(shù)學(xué)基木知識和基木技 能，幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。而教育數(shù)學(xué)則是“為了數(shù)學(xué)教育的目的，”“用 '批判的眼光審視已有的數(shù)學(xué)知識。這批判，當(dāng)然不是懷疑這些數(shù)學(xué)知識的正 確性，而是檢查它在教育上的適用性。”從而為數(shù)學(xué)教育選擇較優(yōu)的，或最優(yōu) 的適合數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)知識；找到一種較優(yōu)的，或最優(yōu)的適合數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)知 識的邏輯結(jié)構(gòu)；找到一種較優(yōu)的，或最優(yōu)的解題方法模式。以幫助學(xué)生更好的、 更容易理解掌握的數(shù)學(xué)基本知識和基木技能，并學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，進(jìn)而經(jīng)市數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)掌握一般的思維方法。所以，兩者統(tǒng)一于數(shù)學(xué)教