格林函數(shù)和并矢格林函數(shù)

1、1、格林函數(shù)格林函數(shù)是滿足一定條件的某一類函數(shù)的解，格林函數(shù)并不是根據(jù)數(shù)學(xué)公式和理論嚴(yán)格推導(dǎo)出來了，感覺只是為了表示某一類方程的解，引入的一個(gè)函數(shù)。在物理中，稱該方程是波動方程。格林函數(shù)滿足的方程如下式所示（一維情況） ：22( )( )( )fxaf xbg xx其中，a，b是常數(shù)。在一定的條件下求的解就是格林函數(shù)，二維三維情況下于此類似。在電磁場中，自由空間中點(diǎn)源在任意位置中產(chǎn)生的電勢滿足如下方程：2(|)( |)g rrrr方程的解即為三維空間中的格林函數(shù)，在無限大空間中的靜場為：1( |)4|g rrrr2、并矢格林函數(shù)在矢量情況下，函數(shù)不再單單表示為數(shù)值，還帶有方向。在電磁場中，由于

2、場的傳播是在三維空間中。（1）在笛卡爾坐標(biāo)中，就有x、y、z 三個(gè)方向，變化的電流源（磁流源）能在空間中激發(fā)電場和磁場，為了求解任意的電流源（磁流源）激發(fā)的電磁波的傳播情況，就需要分別求出電磁波在x、y 和 z 方向的傳播方程。（2）由于電流源（磁流源）電流的變化是不規(guī)則的，它的大小和方向隨著空間位置的不同而不同，為了求解其激發(fā)的電磁波，可以采用微分的方法，把電流源（磁流源）分割成無窮多個(gè)微笑的小電流源。（3）又由于任一微小的電流源（磁流源）都可以由分別沿笛卡爾坐標(biāo)的三個(gè)方向的無窮小的點(diǎn)電（磁）偶極子矢量相加得到。由以上三點(diǎn)可以得到，如果能夠求的任意方向和大小的電（磁）偶極子在空間中激發(fā)的電磁

3、場，利用疊加原理就能求出任意電流源（磁流源）在空間中激發(fā)的電磁場的傳播情況。為了求解任意電（磁）偶極子，引入了電并矢格林函數(shù)和磁并矢格林函數(shù)，函數(shù)表示分別如下：?eeiiigg x?mmjjjgg x其中，eig表示位于r指向?ix（x、y、z 三個(gè)方向）的無窮小的電（磁）偶極子產(chǎn)生的電場；mjg表示位于r指向?jx（x、y、z三個(gè)方向）的無窮小的電（磁）偶極子產(chǎn)生的磁場。r是場點(diǎn)的位置矢量。電（磁）偶極子要激發(fā)場，仍然滿足波動方程和輻射條件，如果邊界條件已知， 就能求出電并矢格林函數(shù)和磁并矢格林函數(shù)，進(jìn)而采用疊加和積分的方法求出任意電流源（磁流源）所激發(fā)的場。3、并矢格林函數(shù)的分類根據(jù)電流源

4、（磁流源）在場源邊界分別滿足不同的邊界條件，可以將電并矢格林函數(shù)和磁并矢格林函數(shù)分為以下三類。（1）當(dāng)1?(,)0engr r（1?0mng）時(shí)，稱為第一類電（磁）并矢。（2）當(dāng)2?(,)0engr r（2?0mng）時(shí)，稱為第二類電（磁）并矢。（3）具有平面界面的兩種媒質(zhì)時(shí)， 其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)有電流源 （磁流源） ，另外一個(gè)無電流源（磁流源） ，分界面處滿足1121? ( ,)(,)0eengr rgr r，112112? ( ,)/(,) /0eengr rgr r，2212? ( ,)(,)0eengr rgr r，221212? ( ,)/(,) /0eengr rgr r或者033sgng時(shí)，稱為第三類電