中考復(fù)習(xí)中的中點(diǎn)問題(1)

1、中考數(shù)學(xué)中的中點(diǎn)問題幾何證明題中， 經(jīng)常會出現(xiàn)中點(diǎn)的條件，而與中點(diǎn)有關(guān)的性質(zhì)定理包括：三角形的中線、三角形的中位線、 等腰三角形三線合一、 直角三角形斜邊的中線。掌握這些性質(zhì)定理的特征，結(jié)合已知條件選擇適當(dāng)?shù)妮o助線，有助于我們打開思路。1. 三角形的中線技巧：作倍長中線，得全等三角形。例AD 為 ABC的中線，求證：ABAC2AD2. 中位線定理技巧：直接找線段的中點(diǎn)，連接中點(diǎn)，得線段之間的數(shù)量及位置關(guān)系。例在 ABC 中， B 2 C， AD 是三角形ABC 的高，點(diǎn)M 是邊 BC 的中點(diǎn)，求證： DM 21AB。3. 三線合一技巧：當(dāng)一條線段是高線、中線、角平分線中的任意兩條時，構(gòu)造三角形

2、，得等腰三角形。例在三角形ABC 中， AD 是 ABC 的角平分線，BD AD，點(diǎn)D 是垂足，點(diǎn)E是邊 BC 的中點(diǎn)，如果AB 6， AC 10 ，則 DE 的長為。4. 直角三角形斜邊的中線技巧：連接直角頂點(diǎn)和斜邊中點(diǎn)，得線段的數(shù)量關(guān)系及角的等量關(guān)系。例在 ABC中， ABAC，BD 平分角 ABC，過點(diǎn) D 作 DE 垂直于 BD交 BC于點(diǎn) E，求證： CD12BE。例題如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD 相交于 O 且 AC BD，M、N 分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接MN 交 AC、BD 于點(diǎn) E、F。求證： OEOF。解析： 取 AB 的中點(diǎn)G，連接 MG、NG，根據(jù)三角形

3、的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MGBD，12MGBD，NG AC，12NGAC，然后求出MG NG，根據(jù)等邊對等角可得GMN GNM， 再根據(jù)兩直線平行， 內(nèi)錯角相等可得GMN OFE ，GNM OEF，從而得到 OEF OFE ，再根據(jù)等角對等邊即可得證。答案： 如圖，取AB 的中點(diǎn) G，連接 MG、NG，M、 N 分別為 AD、BC 的中點(diǎn)，MGBD，12MGBD，NG AC，12NGAC GMN OFE ， GNM OEF，又 ACBD，MGNG， GMN GNM ， OEF OFE，OEOF。點(diǎn)撥： 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行線的性質(zhì)，

4、等角對等邊的性質(zhì)，作出輔助線并利用好條件“ ACBD” 是解題的關(guān)鍵。在復(fù)雜的幾何圖形中，遇到中點(diǎn)條件， 就要聯(lián)想與中點(diǎn)有關(guān)的性質(zhì)定理，結(jié)合已知和求證，嘗試作出輔助線，構(gòu)造新的圖形，尋找解題思路。例題如圖所示，四邊形ABCD 為正方形， BEF 為等腰直角三角形（BFE90 ，點(diǎn) B、 E、F 按逆時針順序） ，P 為 DE 的中點(diǎn)，連接PC、PF。（1）如圖（ 1） ，E 點(diǎn)在邊 BC 上，則線段PC、PF 的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為。（2）如圖（ 2） ，將 BEF 繞 B 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) （0 45 ） ，則線段PC、PF 有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并證明。解析： （ 1）由 B

5、FE90 ，點(diǎn) P 為 DE 的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PFPDPE，PCPDPE，則 PCPF，又 FPE2FDP， CPE2PDC，得到 FPC2FDC90 ，所以 PCPF，PCPF。（2） 延長 FP 至 G 使 PGPF， 連 DG， GC， FC， 延長 EF 交 BD 于 N， 易得 PDG PEF，得 DG EFBF， 得 PEF PDG， ENDG， 可得 FBC GDC， 證得 BFC DGC，則 FCCG， BCF DCG。得 FCG BCD 90 。即有 PC PF，PF PC。解答： （ 1）連接 DF， BFE 為等腰直角三角形，且E 在

6、BC 上，B， F，D 在同一直線上， BFE90 ，點(diǎn) P 為 DE 的中點(diǎn)PFPDPE，同理可得 PCPDPE，PCPF，又 FPE2FDP， CPE2 PDC， FPC2FDC90 ，所以 PCPF，PCPF。（2）PCPF，PFPC。理由如下：延長 FP 至 G 使 PGPF，連 DG，GC，F(xiàn)C，延長 EF 交 BD 于 N，如圖，點(diǎn) P 為 DE 的中點(diǎn)， PDG PEF，DGEFBF。 PEF PDG，ENDG， BNE BDG45 CDG90 NBF 90 （ 45 FBC ） FBC GDC， BFC DGC，F(xiàn)CCG， BCF DCG。 FCG BCD90 FCG 為等腰

7、Rt，PFPG，PCPF，PFPC點(diǎn)撥： 本題分別用到了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，倍長中線， 三線合一等有關(guān)中點(diǎn)的輔助線的作法，合理利用中點(diǎn)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵。（答題時間： 30 分鐘）一、選擇題1. （湖北）如圖，在ABC 中， ABAC， A120 ，BC6cm，AB 的垂直平分線交BC 于點(diǎn) M，交 AB 于點(diǎn) E，AC 的垂直平分線交BC 于點(diǎn) N，交 AC 于點(diǎn) F，則 MN 的長為（）A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 2. （黑龍江） 如圖， 在四邊形 ABCD 中，點(diǎn) P 是對角線BD 的中點(diǎn)， 點(diǎn) E、F 分別是 AB、CD 的中點(diǎn)， ADBC

8、， PEF30 ，則 PFE 的度數(shù)是（）A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 3. 如圖，在四邊形ABCD 中， E，F(xiàn) 分別為 DC、AB 的中點(diǎn)， G 是 AC 的中點(diǎn)，則EF 與ADCB 的關(guān)系是（）A. 2EFADBC B. 2EF ADBCC. 2EFADBCD. 不確定4. 如圖， ABC 的周長為16，G、H 分別為 AB、AC 的中點(diǎn)，分別以AB、AC 為斜邊向外作 RtADB 和 RtAEC，連接 DG、GH、EH，則 DG GHEH 的值為（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 *5. （寧波）如圖，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，點(diǎn) D 在 CG 上

9、，BC1，CE3，H 是 AF 的中點(diǎn)，那么CH 的長是（）A. 2.5 B. 5C. 322D. 2 二、填空題6. （鎮(zhèn)江）如圖， CD 是 ABC 的中線，點(diǎn)E、F 分別是 AC、DC 的中點(diǎn)， EF1，則 BD_。7. 如圖，矩形ABCD 中， E、F 分別是 AB、 AD 的中點(diǎn)，已知AB6，AF4，則 AC_。8. 如圖， RtABC 中， ACB90 ， ABC60 ，BC2cm，D 為 BC 的中點(diǎn)，若動點(diǎn)E以 1cm/s的速度從 A點(diǎn)出發(fā)，沿著 ABA的方向運(yùn)動， 設(shè) E點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒 （0 t8） ，連接 DE，當(dāng) BDE 是直角三角形時，t 的值為 _。*9.（煙臺）如圖， ABC 中，ABAC， BAC54 ，BAC 的平分線與AB 的垂直平分線交于點(diǎn) O，將 C 沿 EF（E 在 BC 上，F(xiàn) 在 AC 上）折疊，點(diǎn) C 與點(diǎn) O 恰好重合