2004—2014年考研數(shù)學(xué)真題“極限”題型精選解析

1、1 20042014 年考研數(shù)學(xué)真題“極限”題型精選解析注：1）本篇試題選自2004 年 2014 年數(shù)學(xué)一、二、三的考研真題，共35 題；2）本篇真題題型：選擇題，填空題，解答題；3） 本篇試題包括兩部分，第一部分是精選極限真題解析，第二部分是補(bǔ)充極限真題解析(p9)；第一部分（精選“極限”真題解析） （共 20題）一、選擇題1、設(shè)lim,0nnaaa且，則當(dāng) n 充分大時(shí)有（）（a）na|2a（b）|2naa(c) 1naan(d) 1naan答案： (a)， 注： 2014 年數(shù)三（ 1）解 析 ： 方 法1 ：lim0,lim0,=2nnnnaaaaa取， 則 當(dāng)n 充 分 大 時(shí) ，

2、3,22nnnaaaaaaa即，故（ a）正確。方法 2：limnnaa0nnnn使，有|naa即|.0 ,222nnaaaaaaaaaa可取，則-不論a0 或a0，都有|2naa，選 a2、設(shè)1230 (1,2,3),nnnansaaaa，則數(shù)列ns有界是數(shù)列na收斂的( ) (a) 充分必要條件 (b) 充分非必要條件(c) 必要非充分條件 (d) 非充分也非必要答案： (b)，注： 2012 年數(shù)二（ 3）解析： 由于0na，ns是單調(diào)遞增的， 可知當(dāng)數(shù)列ns有界時(shí)，ns收斂， 也即limnns是存在的，此時(shí)有11limlimlimlim0nnnnnnnnnassss，也即na收斂。反之

3、，na收斂，ns卻不一定有界，例如令1na，顯然有na收斂，但nsn是無界的。故數(shù)列ns有界是數(shù)列na收斂的充分非必要條件，選(b)。2 3、22222111lim12nnnnnn .注： 2012 年數(shù)二（ 10）解析： 利用定積分定義計(jì)算n項(xiàng)和：原式 =11220111limarctan141nnidxxnxin4、當(dāng)0 x時(shí)，用( )o x表示比x高階的無窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）（a）23()()x o xo x（b）23( )()()o xo xo x（c）222()()()o xo xo x（d）22( )()()o xo xo x答案： （d） ，注： 2013 年數(shù)三（ 1

4、）解析： （a）0)()(2232xxoxxxo， （b）2232( ) ()( )()0o x o xo xo xxxx（c）2222222()()()()0o xo xo xo xxxx（d）0)()()()(22222推不出xxoxxoxxoxo，如：222( )()( )1o xo xxo xx則5、當(dāng) x0+時(shí)，若1ln (12 ),(1- cos )xx均是比 x 高階的無窮小， 則的取值范圍是 （）（a），（2（b） （ 1，2）（c），（121（d）（210，答案： b，注： 2014 年數(shù)二（ 1）解析： 當(dāng)x0+時(shí)，ln12 2xx，111211(1cos ) ()()22

5、xx2x，由21112.且6、已知當(dāng)0 x時(shí)，函數(shù)( )3sinsin3kf xxxcx與是等價(jià)無窮小，則(a) k=1,c=4 (b) k=1, c=-4 (c) k=3,c=4 (d) k=3,c=-4 答案 :(c) ，注： 2011 年數(shù)二 (1） 、數(shù)三（ 1）解析： 法 1：洛必達(dá)法則（待定系數(shù)法）3 110003sinsin33cos3cos33(cos1)(cos31)limlimlimkkkxxxxxxxxxcxckxckx22310011(3 )31222limlim1,3,4kkxxxxxkcckxck, 應(yīng)選 (c) 法 2：麥克勞林公式，333113sinsin 33

6、()3(3 ) 43!3!xxxxxxx，故3,4kc7、已知極限0arctanlimkxxxcx，其中 k，c 為常數(shù)，且0c，則（）（a）12,2kc（b）12,2kc（c）13,3kc（d）13,3kc答案 :(d) ，注： 2013 年數(shù)一 (1）解析 ：用洛必達(dá)法則（或麥克勞林公式：31arctan3xxx）2221121000011arctan1limlim= limlim(1)kkkkxxxxxxxxxcxkxkxxkx，13,3kc， 應(yīng)選 （d）8、設(shè)220p xabxcxdxx，當(dāng)時(shí)，若tanp xx（ ）是比3x高階的無窮小，則下列試題中錯(cuò)誤的是（）（a）0a（b）1b（

7、c）0c（d）16d答案 ：(d)，注： 2014 年數(shù)三（ 3）解析 ：法 1：由泰勒公式331tan0()3xxxx得23333001(1)()()( )tan3limlim0 xxabxcxdxo xp xxxx10,1,0,3abcd故選（ d）. 法 2：由條件及洛必達(dá)法則可得222320000( )tan23seclim tan0,0,limlim,limsec1,3xxxxp xxbcxdxxxaxxx知又故 b=1,同理，再用洛比達(dá)法則可得20262sectanlim06xcdxxxx，0c，13d，故選（ d）. 9、設(shè)函數(shù)( )f x在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且( )0fx

8、，令( )nuf n，則下列結(jié)論正確4 的是：(a) 若12uu，則nu必收斂 . (b) 若12uu，則nu必發(fā)散(c) 若12uu，則nu必收斂 . (d) 若12uu，則nu必發(fā)散 . 答案 :(d) ，注： 2007 年數(shù)數(shù)一 (5)、二 (6）分析： 本題依據(jù)函數(shù)( )f x的性質(zhì)， 判斷數(shù)列( )nuf n. 由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果. 解析： 取( )lnf xx，21( )0fxx，12ln10ln 2uu，而( )lnf nn發(fā)散，則可排除（a） ；取1( )f xx，32( )0fxx，12112uu，而1( )f nn收斂，則可排除（b） ；或取21

9、( )f xx，46( )0fxx，12114uu，而21( )f nn收斂，則可排除（b）取2( )f xx，( )20fx，1214uu，而2( )f nn發(fā)散，則可排除（c） ；故選（d）. 事實(shí)上，若12uu，則211(2)(1)()02121uufff.對(duì)任意1,x，因?yàn)? )0fx，所以1()()0fxfc，對(duì)任意21,，121( )()()()f xffxx. 故選（ d）. 或用反證法：若( )nuf n收斂，則10nnuu，但11()()0nnnuuff，矛盾，故(d)正確。注： 對(duì)于含有抽象函數(shù)的問題，通過舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡化計(jì)算. 二、填空題10、xxxx10

10、)1ln(2lim注： 2013 年數(shù)二 (9）解析：2001111ln(1)11limlim2200ln(1)ln(1)lim2lim 1xxxxxxxxxxxxxxeeexx11、極限11lnlim (1)xxxx=（）5 注： 2010 年數(shù)三 (15） ， （10 分）解析：1111ln(1)lnlnlim (1)limxxxxxxxixe，11ln111lnxxxxexx，1lnlnlnln( lnln ln)111lnlnlimlimlimxtx txxxxtxxtieeee12、已知函數(shù)( )f x連續(xù)，且xxxf xef x201cos ( )lim1(1) ( )，則(0)f

11、注： 2008 年數(shù)二（ 9) 解析：由xttxfxxfxex2222111cos,1cos( )( ) ,122，得xxxxxfxxfxfxfxfxefx2220001()1cos()112limlimlim()(0)()22(1)()，故(0)f2 13、若5)(cossinlim0bxaexxx，則 a =，b =注： 2004 年數(shù)三（ 1) 解析 ：本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題. 因?yàn)?)(cossinlim0bxaexxx，且0)(cossinlim0bxxx，所以0)(lim0aexx，得a = 1. 極限化為00sinlim(cos)lim(cos)151xxxxxxbxbb

12、ex， 得 b = 4， 因此，a = 1，b = 4. 注： 一般地，已知)()(limxgxf a，(1) 若 g(x) 0，則 f (x) 0；(2) 若 f (x) 0，且 a 0，則 g(x) 0. 14、 設(shè)函數(shù)2301sin,0( ),0 xt dt xf xxax在0 x處連續(xù)，則a注： 2006 年數(shù)二（ 2) 解析 ：本題為已知分段函數(shù)連續(xù)反求參數(shù)的問題，直接利用函數(shù)的連續(xù)性定義即可。由題設(shè)知，函數(shù)( )f x在0 x處連續(xù)，則0lim( )(0)xf xfa，6 因?yàn)?2032000sindsin1lim( )limlim33xxxxttxfxxx，所以13a. 注：遇到

13、求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性問題，一般從定義入。 本題還考查了積分上限函數(shù)的求導(dǎo)，洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小代換等多個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，屬基本題型。三、解答題15、 計(jì)算22 2cos40limxxxeex注： 2012 年數(shù)三（ 15)（本題滿分10 分）解析 ：先恒等變形，然后利用等價(jià)代換1(0)tet t，再用洛必達(dá)法則和等價(jià)代換211cos2xx，原式22 2cos2 2cos401limxxxxeex2430022cos2(sin )limlim4xxxxxxxx= 2011cos1lim.2312xxx16、設(shè)函數(shù)( )f x連續(xù)，且0)0(f，求極限.)()()(lim000 xxxdttx

14、fxdttftx注： 2005 年數(shù)二（ 15)（本題滿分11 分）解析： 此類未定式極限，典型方法是用羅必塔法則，但分子分母求導(dǎo)前應(yīng)先變形。由于000)()()(xxxutxduufduufdttxf,于是xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim=xxxxxfduufdttf000)()()(lim=)()()(lim000 xfxduufxdttfxxx=.21)0()0()0(fff17、 當(dāng)0 x時(shí)，1coscos2cos3xxx與na

15、x為等價(jià)無窮小，求n與a的值。注： 2013 年數(shù)二 (15）、數(shù)三（ 15)（本題滿分10 分）7 解析： 有 3 種方法：方法1：恒等變形1coscos2 cos3 =(1cos )(coscos cos2 )(coscos2cos cos2 cos3 )xxxxxxxxxxxx2222111cos(2 )coscos2(3 )7222xxxxxxxnax，7,2an，選 (a) ）方法 2：洛必達(dá)法則1001coscos2 cos3sincos2 cos32cossin2 cos33coscos2 sin3limlimnnxxxxxxxxxxxxxxaxanx11002 23 314li

16、mlim1nnxxxxxxanxanx，2,7na，選 (a) 方法 3：三角積化和差公式由1coscoscos()cos()2，可得，11coscos2 cos3 =cos2cos4cos64xxxxxx（3-）=1cos2 )(1cos4 )(1cos6 )4xxx(1-22221 111(2 )(4 )(6 ) 74 222xxxxnax，7,2an，選 (a)18、設(shè)數(shù)列nx滿足110,sin(1,2,)nnxxx n。211(1)lim(2)lim()nnnxnnnxxx證明存在, 并求之計(jì)算注： 2006 年數(shù)一 (16) ，數(shù)二（ 18）, （本題滿分12 分）1: (1)0si

17、n,sin,0,lim,sin,0nnnnnnnnxxxxxxxxxxaaaa證當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少又有下界，存在 遞推公式兩邊取極限得,21sin(2)lim(),nxnnnxx原式=為1 型，離散型不能直接使用洛必達(dá)法則，先考慮210sinlim()tttt，2220011sin1sinlimln()limln(1)0sinlim()tttttttttttteet122lim2032320001 sinsincos11limlimlim36ttttttttttttttteeeee，故2116sinlim()nxnnnxex19、 (i) 證明方程1xxxnn-1+1n的整數(shù)，在區(qū)間1,12內(nèi)有且

18、僅有一個(gè)實(shí)根； (ii)記(i) 中的實(shí)根為nx，證明limnnx存在，并求此極限. 8 注： 2012 年數(shù)二 (21）（本題滿分10 分）證明：(1)由題意得：令1()1nnf xxxx，則( 1 )f，再由11(1 ( ) )1122( )1( )012212nnf，由零點(diǎn)定理1( )1nnf xxxx得在1 ,21至少存在一個(gè)零點(diǎn)，也即方程1.1nnxxx在區(qū)間1 ,21內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。又 由 于( )0fx，( )fx單 調(diào) ， 所 以( )f x在1 ,21內(nèi) 最 多 只 有 一 個(gè) 零 點(diǎn) ， 故 方 程1.1nnxxx在區(qū)間1 ,21內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2）由于()0nf

19、x，可知110nnnnnxxx（） ，進(jìn)而有111110nnnnnxxx，可知111110nnnnnxxx（） ，比較（）式與（）式，由( )f x單調(diào)增加，可知1nnxx，故nx單調(diào)。又由于112nx，也即nx是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知nx收斂，假設(shè)limnnxa，可知211axx。當(dāng)n時(shí)，(1)1lim()lim110,lim112nnnnnnnnnxxaf xxxa得。20、證明： 1）對(duì)任意正整數(shù)n，都有nnn1)11ln(112）設(shè)),2, 1(lnn1211nnan,證明na收斂。注： 2011 年數(shù)一 (18）、數(shù)二 (19)（本題滿分10 分）證明： 法 1：11111

20、(1) ( )ln(1)0,ln(1)ln(1)ln1111111111110,1,ln(1)1,ln(1)111111f xxnnnnnnnn nnnnn在應(yīng)用中值定理，即9 111111(2)1ln(1)21111ln(1)ln,1110,111111lnln(1)ln(1)ln(1)ln2121ln 2ln 3/ 2lnlnln(1)ln0nnnnnnnnnnannaannnnnnaaaaaannnnnnnnna其中即單調(diào)遞減單調(diào)減少且有界，故收斂。法 2：1）令( )ln( 1)f xxx，由單調(diào)性可證( )0f x（0 x） ，由此得11ln(1)nn，同理可證左邊（略） 。2）證有

21、界性可用下法：由111kkdxkx，可得111111lnln2nnknkkandxnx111lnln(1)ln0ndxnnnx第二部分（補(bǔ)充“極限”真題解析） （共 15題）一、選擇題1、當(dāng)0 x時(shí)，與x等價(jià)的無窮小量是( ) (a) 1xe(b) 1ln1xx(c)11x(d) 1cos x答案： (b)，注： 2007 年數(shù)一（ 1） 、數(shù)二（ 1）分析： 利用已知無窮小量的等價(jià)代換公式，盡量將四個(gè)選項(xiàng)先轉(zhuǎn)化為其等價(jià)無窮小量，再進(jìn)行比較分析找出正確答案. 解析： 當(dāng)0 x時(shí)，有1(1) xxeex；1112xx；2111cos().22xxx利用排除法知應(yīng)選(b). 事實(shí)上，1lnln(1

22、)(1)111xxxxxxxxxxxxx， （b)正確。10 2、把0 x時(shí)的無窮小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是(a),(b),(c),(d),答案： (b)，注： 2004 年數(shù)一數(shù)二（ 7）解析： 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可. 0cos2tanlimcostanlimlim20020002xxxdttdttxxxxx，可排除 (c),(d) 選項(xiàng)，又xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002=20lim41xxx， 可見是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(

23、b).注： 本題是無窮小量的比較問題，也可先將,分別與nx進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序 . 3、設(shè)10( )lnf xx，( )g xx,10( )xh xe, 則當(dāng)x充分大時(shí)有（）（a）( )( )( )g xh xf x（b）( )( )( )h xg xf x（c）( )( )( )f xg xh x（d）( )( )( )g xf xh x答案： (c)， 注： 2010 年數(shù)三（ 4）解析：109( )ln10ln10!limlimlimlim0( )xxxxf xxxg xxxx，同理，( )lim0( )xg xh x，故當(dāng)x充分大時(shí)，有( )( )( )f xg xh x4、

24、設(shè)2)(),(sin1cosxxxx，當(dāng)0 x時(shí)，x（）（a）比x高階的無窮?。╞）比x低階的無窮?。╟）與x同階但不等價(jià)無窮?。╠）與x等價(jià)無窮小答案： c，注： 2013 年數(shù)二（ 1）解析：當(dāng)0 x時(shí))(21)(sin,21)(sin1cos2xxxxxxx， 故應(yīng)該選（c） 5、設(shè)函數(shù)( )f x在(,)內(nèi)單調(diào)有界，nx為數(shù)列，下列命題正確的是（）11 (a) 若nx收斂，則()nf x收斂(b) 若nx單調(diào)，則()nf x收斂(c) 若()nf x收斂，則nx收斂 . (d) 若()nf x單調(diào)，則nx收斂 . 答案： (b)，注： 2008 年數(shù)一（ 4） 、數(shù)二（ 5）解析： 若

25、nx單調(diào)，則由函數(shù)( )f x在(,)內(nèi)單調(diào)有界知，若()nf x單調(diào)有界，因此若()nf x收斂 故應(yīng)選 (b). 因?yàn)? )f x不一定連續(xù)， 當(dāng)nxa時(shí)，()( )nf xf a不一定成立， 所以（a） 錯(cuò)，如arctan ,0( )1arctan ,0 xxf xxx， 取1( 1 )0nnxn，但l im ()nnf x不 存 在 ， 或 者 取1,0( )0,01,0 xf xxx，1( 1)0nnxn，lim()nnf x不 存 在 ； 取( )arctanf xx，nxn，此時(shí)lim()nnf x收斂且單調(diào)，但nx發(fā)散，因此 (c)(d) 都是錯(cuò)誤的。6、設(shè)22212limln

26、(1) (1)(1)nnnnnn=（）(a) 221ln xdx(b) 221ln xdx(c) 221ln(1)x dx(d)221ln (1)x dx答案 ：(b)，注： 2004 年數(shù)二（ 9）解析：222211121limln(1) (1)(1)limln(1)2limln(1)nnnnnnnkknkknnnnnn12012ln(1)2lnx dxxdx，應(yīng)選（ b） 。二、填空題7、xxx10)221(lim注： 2011 年數(shù)二（ 9）解析：111 21211 212 ln 2lnln(1)ln222220000012lim()limlimlimlim22xxxxxxxxxxxxx

27、xeeeee12 8、1cossin4lim(tan)xxxx注： 2012 年數(shù)三 (9）解析： 原式 =tan11cossintan14lim(1(tan1)xxxxxx=41sincoslimcoscossin2xxxxxxee；或利用冪指函數(shù)恒等變形：( )( )ln( )( )ln1( ( ) 1)( )v xv xu xv xu xu xee9、cos320lim11xxeex注： 2009 年數(shù)三 (9）解析：coscos1332200(1)limlim1111xxxxeeeexx02(1 cos )lim13xexx20212lim13xexx32e. 10、當(dāng)0 x時(shí)，2)(

28、kxx與xxxxcosarcsin1)(是等價(jià)無窮小，則k= 注： 2005 年數(shù)二（ 5）解 析 ： 題 設(shè) 相 當(dāng) 于 已 知1)()(lim0 xxx， 由 此 確 定k即 可 。 由 題 設(shè) ，200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20 xxxkxxxxx=k21143cos1arcsinlim20kxxxxx，得.43k三、解答題11、求極限)11ln()1(lim2112xxdttetxtx注： 2014 年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三（15)， （本題滿分10 分）解析： 原式1122112(1)(1)limlim1xxttxxtet dttet dtxxx13 111222001111lim (1)lim(1)limlim22tttxxxxxttetexexxextt令注：當(dāng) t0 時(shí)，22ln(1),10()2!tttt ett12、已知函數(shù)xdttxfx02)1ln()(，設(shè)0)(lim)(lim0 xfxfxx，試求的取值范圍。注： 2011 年數(shù)二（ 15）解析：2201222220110000,lim( ),ln(1)ln(1)210 lim( )limlimlim0,11(