整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)及例題

1、整式乘除與因式分解一.知識(shí)點(diǎn)(重點(diǎn))1 .哥的運(yùn)算性質(zhì)：am an=am+n(m、n為正整數(shù))同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例：(2a)2(3a2)3m n2 .白)=amn(m、n為正整數(shù))哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.例：(一a5)53 . (ab £ =anbn(n為正整數(shù))積的乘方等于各因式乘方的積.例：(一a2b)3練習(xí)：(1) 5x3 2x2y(2) -3ab，(Yb2)(3) 3ab 2a(4) yz 2y2z2(5) (2x2y)3，(-4xy2)(6) -a3b 6a5b2c (-ac2)23_ m - _ nm n，一 一4 . a , a = a(aw。，m

2、、n 都是正整數(shù)，且 m>n)同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.例：(1)x8+x2(2)a4+a(3)(ab)5+(ab)2(4) (-a) 7+ (-a) 5(5) (-b) 5+(-b)25 .零指數(shù)哥的概念：a°= 1 (aw0)任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)哥都等于l.例：若(2a -3b)0 =1成立，則a, b滿足什么條件?16 .負(fù)指數(shù)哥的概念：a p= ap(aw0, p是正整數(shù))任何一個(gè)不等于零的數(shù)的- p (p是正整數(shù))指數(shù)哥，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)哥的倒數(shù).口 二 mp也可表示為： (mkn.J (mw。，nw。，p為正整數(shù))7 .單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘

3、，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù) 作為積的一個(gè)因式.一21213324例：(1) 3ab 2abc abc(2) ( m n) (-2m n)328 .單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.22、221例：(1) 2ab(5ab +3a b)(2) (-ab 2ab) -ab322222 3(3) (-5m n) .(2n +3m n )(4) 2(x + y z +xy z ) xyz9.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)

4、相乘，再把所得的積相加.例：(1) (1 -x)(0.6-x)(2) (2x + y)(x y) (3) ( 2m + n)2練習(xí)：1 .計(jì)算 2x 3 ( 2xy)(1xy) 3 的結(jié)果是2. (3X 10 8)X(4X 10 4)=23,若n為正整數(shù)，且x 2n=3,則(3x 3n) 2的值為 4.如果(a nb . ab m) 3= a 9b15,那么mn的值是5. T-a 2(2a 3-a) = 6. (-4x 2+6x-8) (- 1x 2) =27. 2n(-1 + 3mn 2)= 8,若 k(2k-5) + 2k(1 -k) = 32,貝U k=9. ( 3x 2)+(2x-3y

5、)(2x 5y) 3y(4x 5y) =10. 在(ax 2+bx3)(x 2 lx+8)的結(jié)果中不含 x 3和 x 項(xiàng)，則 a= _, b=_211. 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為(a+4)cm,寬為(a - 3)cm,高為(a + 5)cm,則它的表面積為 ,體積為 。12. 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 10cm,寬比長(zhǎng)少6cm,則它的面積是 ,若將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和都擴(kuò)大了2cm,則面積增大了。10 .單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為 商的一個(gè)因式.例：(1) 28x4y2+7x3y (2) -5a5b3c+ 15a4b (3) (

6、2x2y) 3，(-7xy2) + 14x4y311 .多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.例：(1)(3x2 y - 6xy) . 6xy (2)(5a3b - 10a2b2 - 15ab3) (-5ab)練習(xí)：1 .計(jì)算：，八 3423,122,、，c23J 322：(1) x y z 丁 x y ；(2) (-2x y) 丁 - -x y ；77<2)(3) 16(a b 6+4(a b 2 .(4) (4x3y2n 2,2xyn 3(5) (4x109 -(-2x103 )2.計(jì)算：3323z.x 33-1 2 311

7、12 21| 12| . f 1|(1) 16x y 丁一xy一一 xyi；(2)- x y I_xyj_xyI2< 2 J 2八2、5 p7 55 n + 21 1 n, 2 !2 n, n !(3) -a b b -a b i -a b i< 2 八4 八5 J3 .計(jì)算:(1) 4(x y 沁+y 4 】+ 6(y x 3 (x + y 2 (2)16(a + b 6(a b 5> (a + b3(a b4 .若(ax3my12)43x3y2n)=4x 6y8 ,貝U a =, m =,=易錯(cuò)點(diǎn)：在嘉的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤；有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤；誤用

8、同底數(shù)哥的除法法則；用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò);乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12.乘法公式：平方差公式：(a+b) (ab) =a2 b2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.完全平方公式：(a+ b) 2=a2+2ab+ b2(ab) 2=a22ab+b22倍.文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的 例 1:(1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m + 2n)(-m-2n).例 2: (1) (x+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)2練習(xí)

9、:1、-a5) (-a2)=/ 3 2、22 、3,2、3 |x(x y ) -2(x y) (-xy )一4, 33, 43, 23, 2 /2、6a b +12a b -8a b =2a b (2.2,. 223、x +9y =(x+) ； x +2x 35=(x + 7)(213114、已知 x 十一 =5 ,那么 x + =； , x - I =xxx22 5、若9x +mxy+16y是一個(gè)完全平方式，那么 m的值是32226、多項(xiàng)式 x +x ,x +2x+1,x x2的公因式是 3x7、因式分解： 8 + =。27一，、.2_128、因式分解：4m +2mn + n =。49、計(jì)算

10、：0.131父80.004父80.002父8=2210、x -y _x + y =(x _y)，A,則 A=易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13.因式分解(難點(diǎn))因式分解的定義.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；(2)因式分解必須是恒等變形；(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式

11、分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念；(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)； 字母一一各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù) 一一相同字母的最低次數(shù)；(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因 式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).9;如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的,例：(1) 8a3b2 +12ab3c(2) 75x3y535x2y4(4)注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的

12、.2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；常用的公式：平方差公式：a2 - b2 = ( a+ b) (a b)完全平方公式：a2+2ab+b2= ( a+b) 2a22ab+b2= (a b) 2例：(1) a2b2 -0.25c2(2) 9(a b)2+6(b a) + 1422 22 22 _ 2(3)a x -4a x y + 4x y(4) (x + y) -12(x + y)z +36z練習(xí)：-222 一1、若x +2(m 3)x+16是完全平方式，則 m的值等于。2、x +x + m = (xn)則m=n=3、2x3y2與 I2x6y 的公因式是 _4、

13、若xm_yn=(x + y2)(x_y2)(x2 + y4),則 m=, n=。2 222224224.5、在多項(xiàng)式m +n ,-a -b ,x +4y ,Ys +9t中，可以用平方差公式分解因式的有 ,其結(jié)果是。 26、若x +2(m 3)x+16是完全平方式，則 m=。222.2004200520067、x +()x +2 =(x +2)(x +) 8、已知 1+x+x+ +x +x =0,則*=.222229、若 16(ab) +M +25是完全平方式 M=。 10、x +6x+ (_)= (x + 3) , x +()+9=(x 3)一 2 一 22 一 一一 211、若9x +k+y

14、是完全平方式，則 k=。12、若x+4x 4的值為0,則3x +12x 5的值是。-2-22_13、右 x ax -15 = (x +1)(x -15)則 a=。 14、右 x + y = 4, x + y = 6 則 xy =。2215、方程x +4x =0,的解是。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤； 分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、哥的有關(guān)運(yùn)算例1. (2009年湘西)在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是()3262、35(A) a a =a(B) (a ) =a8242 22 4(C) a

15、 =a =a(D) (ab ) =a b分析:哥的運(yùn)算包括同底數(shù)哥的乘法運(yùn)算、哥的乘方、積的乘方和同底數(shù)哥的除法運(yùn)算.哥的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確解決哥的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則解：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則知a3 ,a2 = a342 = a5,所以(A)錯(cuò)；根據(jù)哥的乘方運(yùn)算法則知(a2)3 =a2格=a6，所以(B)錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則知a8 -a2 = a8 = a6 ,所以(C)錯(cuò)；故選(D).例2. (2009年齊齊哈爾)已知10m =2, 10n =3,貝U 103m知=.分析：本題主要考查哥的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)塞的乘法法則am wn =

16、am* ,將指數(shù)相加化為哥相乘的形式，再逆用哥的乘方的法則(am)n =amn,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為哥的乘方的形式，然后代入求值即可.3m 2n 3m 2nm、3n、23 2 _斛：10=10 M10 =(10)(10 ) =2 乂3 =72.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例 3. (2009 年賀州)計(jì)算：(1a) (la3_1) =.4分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.計(jì)算時(shí)，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，注意符號(hào)的變化.1 31 314斛：(一2a) (-a -1)=( -2a) -a -(-2a) 1 = - - a +2a. 442考點(diǎn)3、乘法公式 . 2例 4. (20

17、09 年山西省)計(jì)算：(x+3) (x1Xx2)分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng)解：(x + 3 2 -(x -1 X x - 2 )= x2 +6x +9 (x2 -2x -x + 2) 22=x 6x 9 -x 2x x - 2= 9x 7.3例5. (2009年寧夏)已知：a+b=, ab=1,化簡(jiǎn)(a2)(b2)的結(jié)果是2分析：本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算，然后靈活變形，使其出現(xiàn)(a + b )與ab ,以便求值.3 一 一解：(a -2)(b -2) = ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4 = i- 2x-+4 =

18、 2.2考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例 6. (2009 年長(zhǎng)沙)先化簡(jiǎn)，再求值：(a+b)(ab)+(a+b)22a2,其中 a=3, b =3分析：本題是一道綜合計(jì)算題，主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：(a+b)(ab)+(a+b)22a2二 a2 -b2 a2 2ab b2 -2a2= 2ab1 .1當(dāng) a=3, b ='時(shí)，2ab=2父3父l=23 . 3.考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009 年廈門)計(jì)算：(2x y)(2x+ y) + y(y 6x) 2x分析:本題的一道綜合計(jì)算題，首先要先算中括號(hào)內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進(jìn)行整式的除法運(yùn)算.解：(2x y)( 2x+y) + y(y6x) 2x=(4x2- y2+ y2- 6xy) -2x=(4x2- 6xy) -2x=2x- 3y.考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算22例8. (2009年定西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為：ab = a -b，求方程(4矽3) ax=24的解.分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式ab=a2-b2可知，在本題中“出”定義的是平方差運(yùn)算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方.解：: a$b=a