角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用學(xué)習(xí)資料

1、精品文檔角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用李澤林，過程裝備與控制工程，10110902。摘要：掌握角動(dòng)量守恒定律，并通過習(xí)題深入分析其應(yīng)用和注意事項(xiàng)。關(guān)鍵詞：剛體，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，慣性系。在研究“質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某一定點(diǎn)或軸線運(yùn)動(dòng)”這類問題時(shí)， 常常利用“角動(dòng)量守恒定律”來處理此類問題。但是如何正確應(yīng) 用角動(dòng)量定律解題尤為重要。本文通過對角動(dòng)量守恒定律詳細(xì)的 推導(dǎo)，加深對定律的理解，以及通過習(xí)題來深入分析角動(dòng)量守恒 的正確應(yīng)用。1.1質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)量為P,相對于參考p1 角動(dòng)量守恒定律點(diǎn)O的角動(dòng)量為L,其值L r卩引n ，其中a是質(zhì) 點(diǎn)的動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)相對參考點(diǎn) 0的位置矢量r

2、的夾 角。其角動(dòng)量的變化量 L等于外力的沖量矩 M t （M為外力對參 考點(diǎn)O的力矩），即dL M ?dt。若m=q得L =0,即質(zhì)點(diǎn)對參 考點(diǎn)o的角動(dòng)量守恒。1. 2質(zhì)點(diǎn)系對參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律t，仍等于質(zhì)同樣當(dāng)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，且處于慣性系中，可以推導(dǎo)出作 用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對參考點(diǎn)的外力矩的沖量點(diǎn)系對該參考點(diǎn)的角動(dòng)量的變化量，即Mi °時(shí)（即質(zhì)點(diǎn)系的和外力矩為零），質(zhì)點(diǎn)系對該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。1. 3角動(dòng)量守恒的判斷當(dāng)外力對參考點(diǎn)的力矩為零，即 Mi °時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。有四種情況可 判斷角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不受外力。所有外力通過參 考

3、點(diǎn)。每個(gè)外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。內(nèi) 力對參考點(diǎn)的力矩遠(yuǎn)大于外力對參考點(diǎn)的合力矩，即內(nèi)力矩對質(zhì) 點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)超過外力矩的影響，角動(dòng)量近似守恒。2角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用2.1 開普勒第二定律，即行星對太陽的矢徑在相等的時(shí)間間隔小如圖，設(shè)行星的質(zhì)量為 m它相對太陽的位矢為r，速度為V, 走過的路程為s。行星受到太陽對它的萬有引力，方向沿著它和太陽的連線，因此行星受到的外力矩為零，它相對于太陽所在的點(diǎn)0 角動(dòng)量守恒L r mv恒矢量角動(dòng)量的大小為行星的速率為v=ds/dt 。代入得L rmv sinL rm 竺 sindtr sin m dsdt中，r sin ds為行星對精

4、品文檔太陽的矢徑在dt時(shí)間內(nèi)掃過的面積 dA的兩倍，rsin ds 2dA代入得2mdAdt由于角動(dòng)量守恒，L是一個(gè)常量，所以dAdt常數(shù)即行星對太陽的矢徑在相等得時(shí)間間隔內(nèi)掃過的面積相等。2.2 如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長為21，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為m的小球B、D和C,開始時(shí)靜止在光滑M的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì) 量為M的小球A,以一給定速度 Vo沿垂直于桿DB的方向與右端小 球B作彈性碰撞。求剛碰后小球 A、B、C D的速度，并詳細(xì)討論 以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。本題粗看是一類彈性碰撞類問題，利用動(dòng)量守恒、能量守恒及 桿子牽連速度來求解。但本題涉及4個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)系，未

5、知量多，利用上述關(guān)系還不能求解。挖掘題中的守恒規(guī)律成為本題 的難點(diǎn)，且守恒規(guī)律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬間，球A擠壓B,其作用力方向垂 直于桿，使球B獲得沿vo方向的速度vb。從而在碰撞瞬間使小球 C、 D的速度也沿V。方向。對質(zhì)點(diǎn)組 B、C、D與A組成的系統(tǒng)，碰撞前 后動(dòng)量守恒。由于小球 C位于由B、C、D三球組成的質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì) 心處，所以小球 C的速度也就是質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心速度?？傻茫篗 v0 M vA 3mvC（）質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A是彈性碰撞，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相 等。碰撞后A、B、C、D的速度分別為Va、Vb、Vc、Vd，得(2)(2)對質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞瞬間，在 B處受到A球

6、的作用力,B、C、D若取B （與B球重合的空間固定點(diǎn)）為參考點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)組在碰撞前后，外力矩等于零，所以質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量守恒。可得0 mlvC 2mlvD(3)由桿的剛性條件有：Vb Vc VcVd(4)由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得Vc4M5M 6mVo(5)(6)MvA+-mvB2 21mvC4MVcvo即 5M 6m，碰撞后,B、05M 6m(7)2MVo5M 6m(8)10M5M 6m5M Vo碰撞后各小球的運(yùn)動(dòng)碰撞后，質(zhì)點(diǎn)組 B、C、D不受外力作用，其質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng),D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的大小為VbVcl6M v05M 6m l 。方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。由（6）式

7、可知，碰后小球 A的速度的大小和方向與M m的大小有關(guān)，由于 M m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形比較復(fù)雜，即可以使 Va=O ； Va<0 ； Va>0且Va Vc ； Va Vc情景的 出現(xiàn)，在此不作詳細(xì)討論。2.3 質(zhì)量為速度為的子彈擊中并嵌入一質(zhì)量為m2 99mi、長度為L的棒的一端，速度與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上，子 彈擊中棒后與棒共同運(yùn)動(dòng)。求棒和子彈繞垂直于平面的軸的角速 度的大小。由題可知，子彈和棒構(gòu)成的系統(tǒng)在打擊前后所收到的外力為 零，因此系統(tǒng)對任意一定軸的合力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。下 面對幾種常見的解法作出分析討論。常見的錯(cuò)誤解：取固定z軸（過A點(diǎn)），因子彈打

8、擊時(shí)間很短，棒在打擊過程中位置可以看做不變。設(shè)打擊后系統(tǒng)的角速度為，則根據(jù)角動(dòng)量守恒定律得（我剛開始做的解法）其中所以gLv。 jAjA fmL2 m丄2m丄V。3 m2 L2 m1 L2這種錯(cuò)誤的解法究竟是錯(cuò)在哪里呢？這種解法忽視了角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用條件，角動(dòng)量守恒定律適用于慣性參考系和質(zhì)心 參考系。若把z軸作為桿過A點(diǎn)的定軸，此時(shí) A點(diǎn)受到撞擊后做 變速運(yùn)動(dòng)，無形之中所選的參考系為非慣性參考系，因而角動(dòng)量 對z軸不守恒，此時(shí)在根據(jù)角動(dòng)量守恒定律列出的式子自然是錯(cuò) 的。正確的解法為設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心C與桿的中點(diǎn)0距離為d,以系統(tǒng)質(zhì)心為z軸,此時(shí)系統(tǒng)對質(zhì)心的合力矩為零，故對z軸角動(dòng)量守恒，得式中m1f d Vo jc72m2L2m2d2mi (i d)2mi(| d)v°吉 m2L2 m2d2 m1(| d)2m 1 2 , m 299 m 1 代入得m 1 m 2一6vo2103Lmb (寺 d)v°古 m2 L2 m 2d 2 m1 ( d )通過上述