超幾何分布與二項分布

1、超幾何分布與二項分布一 選擇題（共9小題）1. （ 2004?遼寧）已知隨機變量E的概率分布如下，則 P （ =10）=（）2. （2011?黃岡模擬）隨機變量E的概率分布規(guī)律為F ：二- | -|（n=1、2、3、4、），其中a是常數(shù),E12345678910P2rrr"TiT"TlT212T12U12Tnm（132s33539A . AB.2C.1D.1罰31039310A.二B . 1C .D . 29| 3| 11冋則 |二|的值為（2 2)3. （2008?石景山區(qū)一模）已知隨機變量 E的分布列為且設(shè) n=2 +1，貝U n的期望值是（）A . 1B . 一C .

2、二D . _ 136P (X=k)JDk (k+1)A .:;B .C .-D . 5T55264.設(shè)隨機變量X的概率分布為(k=1 , 2, 3, 4, 5),則 p (務曲魯)=()-101p111263315.電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為：，次品率為現(xiàn)對該批電子手表進行測試，設(shè)第X次首次測到正品,D .則 P ( 1X 013)等于(/ 1 20126. （2010?江西）一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為

3、P1和P2.則（ ）A . P1=P2B .P1< P2C . P1> P2D .以上二種情況都有可能7. （2011?濰坊二模）設(shè)X為隨機變量，XB h | ,若隨機變量X的數(shù)學期望EX=2，則P（X=2 ）等于（）A. 13B. 4C.13D. 801|243243|24328 (2012?衡陽模擬)已知隨機變量嚴N (0, a ),且p ( A 1) =p ( M a-3)的值為()A . 2B . - 2C . 0D . 19.設(shè)隨機變量 匕N (0,1)，若P ( E翱=p,則P (- 1 v M 0)=()A . 1 - pB.PC ° 丄+PD .丄-P22

4、二填空題（共5小題）10.（2010?上海模擬）在10件產(chǎn)品中有2件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是 .11有一批產(chǎn)品，其中有 6件正品和4件次品，從中任取 3件，至少有2件次品的概率為 .12. （2010?棗莊模擬）設(shè)隨機變量XB （n，0.5），且DX=2，則事件X=1 ”的概率為 （作數(shù)字作答.）13. 若隨機變量 X服從二項分布，且 XB （10，0.8 ），貝U EX、DX分別是，.14. （2011?浙江）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為：，得到乙、丙公司面試的概率均為P，且三個公司是否讓其面試是

5、相互獨立的.記X為該畢業(yè)生3得到面試的公司個數(shù).若 P （X=0 ）=，則隨機變量 X的數(shù)學期望E （ X）=.12三.解答題（共3小題）15. （2009?朝陽區(qū)二模）在袋子中裝有 10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有n （ 2韋，且n希）個， 其余的球為紅球.（l）若n=5，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；（H）從袋里任意取出 2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是一，求紅球的個數(shù)；15（m）在（n）的條件下，從袋里任意取出2個球.若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分.用E表示取出的2個球所得分數(shù)的和，寫出E

6、的分布列，并求 E的數(shù)學期望E E16 某批產(chǎn)品共10件，已知從該批產(chǎn)品中任取 1件，則取到的是次品的概率為P=0.2 若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，(1) 求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；(2) 求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù) X的概率分布列與期望.17. (2006?崇文區(qū)一模)某足球賽事中甲乙兩只球隊進入決賽，但乙隊明顯處于弱勢，乙隊為爭取勝利，決定采取這樣的戰(zhàn)術(shù)：頑強防守，0: 0逼平甲隊進入點球大戰(zhàn).假設(shè)在點球大戰(zhàn)中雙方每名運動員進球概率均為'現(xiàn)規(guī)定:4點球大戰(zhàn)中每隊各出 5名隊員，且每名隊員都各踢一球，求：(I) 乙隊以4: 3點球取勝的概率有多大？(II) 設(shè)點球中乙

7、隊得分為隨機變量三求乙隊在五個點球中得分E的概率分布和數(shù)學期望.參考答案與試題解析一 選擇題（共9小題）1.（ 2004?遼寧）已知隨機變量E的概率分布如下，則 P （ =10）=（）E12345678910P2322|332 哀J235223(3®239mA. _2JB.2c. LilD散型隨機變量及其分布列.計算題.由題意知，本題需要先計算出其它的概率之和，根據(jù)表格可以看出9個變量對應的概率組成一個首項是:,公比是的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，得到答案.解答：解：由題意知，本題需要先計算出其它的概率之和，根據(jù)表格可以看出9個變量對應的概率組成一個首

8、項是;,公比是【的等比數(shù)列，'S+m=1,故選C.1,本題又考查等比數(shù)列點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，在一個試驗中所有的變量的概率之和是的和，是一個綜合題.2. （2011?黃岡模擬）隨機變量 E的概率分布規(guī)律為P=a （善）n （ n=1、2、3、4、）其中a是常數(shù),則.'的值為（）2 2A . 2B . 1C .5D . 213考點：離散型隨機變量及其分布列；互斥事件的概率加法公式. 專題：計算題.分析：估計所給的隨機變量的分布列的特點，利用無窮等比遞縮數(shù)列的各項之和寫出所有的變量的概率之和，使 它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式寫出結(jié)果.解答：解：

9、隨機變量E的概率分布規(guī)律為：二- | -（n=1、2、3、4、），32=123=p（ e=i）+p（ e=2）=； .='22239 9故選c .點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，是一個綜合題目，在解題時一定要注意所有的變量的概率之和 的求法，注意應用分布列的性質(zhì).3. （2008?石景山區(qū)一模）已知隨機變量 E的分布列為且設(shè) n=2 +1，貝U n的期望值是（）-1Q1F12i6i31B.C. 2D. _ -36考點：離散型隨機變量及其分布列.分析：由題目中所給的變量的分布列得到變量E的期望，根據(jù)n=2+1關(guān)系，得到兩個變量的關(guān)系， 代入E的期望,求出結(jié)果.解答：解：由表格

10、得到 E手- 1 X +1 X =,23619E n=E （2+1） =2E +1=2 X（-三）+仁疳,故選C.離散型隨機變量及其分布列. 概率與統(tǒng)計.考點： 專題： 分析：點評：本題考查有一定關(guān)系的兩個變量之間的期望之間的關(guān)系，本題也可以這樣來解，根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系 寫出n的分布列，再由分布列求出期望.4.設(shè)隨機變量X的概率分布為P （X=k ）ID(k=1, 2， 3, 4, 5),則 P (2)=()=k (k+1)A .3B. 2C.D . 5101521 6由題意可得 P( X=1 ) +P (X=2 )+P( X=3 )+P( X=4 )+P( X=5 ) =1,求出 m 的

11、值，再根據(jù) -/: =P2u(X=2 ) +P (X=3 ),進而求出答案.解答：解：因為所有事件發(fā)生的概率之和為1 ,即 P ( X=1) +P (X=2) +P (X=3) +P ( X=4) +P (X=5) =1, 所以 m (+ +-+ +) =1，即 m (1-丄)=11X 2 2X 3 3X4 4X5 5X66所以m=£.5所以 P (X=k ) =6( k=1 , 2, 3, 4, 5),5k (k+1)貝 Up=P (X=2 ) +P (X=3 ) =§+§=_!.225X2X3 5X3X4 10故選A.點評：解決此類問題的關(guān)鍵是掌握所有事件發(fā)生

12、的概率之和為1，進而求出隨機變量的分布列即可得到答案.5電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為；次品率為：，現(xiàn)對該批電子手表進行測試，設(shè)第X次首次測到正品,考點：超幾何分布. 專題：概率與統(tǒng)計. 分析： 解答：44r嚴B.1Z 1 X 2013C.1Z2012D .!20131-歸）則 P ( 1X 013)等于()A .先求出P (X=0 ),即第0次首次測到正品，即全是次品的概率，從而可得結(jié)論.解：由題意，P (X=0 ) =1 11 2013P （你 013） =1 - P （X=0 ） = ' - 4故選B .點評：本題考查n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生 k次的概率，考查學生的計算能力

13、，屬于中檔題.6. (2010?江西)一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為P1和P2.則(A . P1=P2B .P1< P2C . P1> P2D .以上二種情況都有可能考點：-二項分布與n次獨立重復試驗的模型；等可能事件的概率.專題：計算題；壓軸題.分析：每箱中抽到劣幣的可能性都相等，故可用獨立重復試驗求解，又因為事件發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣”的對立事件是沒有劣幣”概率好求.方法一概率為1 0.99 ;方法一概率

14、為1( J ，做差比較大小即可.50解答：，解：方案一：此方案下，每箱中的劣幣被選中的概率為，沒有發(fā)現(xiàn)劣幣的概率是0.99,故至少發(fā)現(xiàn)一100枚劣幣的總概率為1 - 0.9910;方案二：此方案下，每箱的劣幣被選中的概率為，總事件的概率為1-( ),5050作差得P1- P2=（卷）5- 0.9910,由計算器算得 P1 - P2< 050卩1< P2.故選B點評：本題考查獨立重復試驗的概率和對立事件的概率冋題，以及利用概率知識解決冋題的能力.7.(2011?濰坊二模)設(shè)X為隨機變量，XB ", ，若隨機變量X的數(shù)學期望EX=2，則P(X=2 )等于()A . 一B.&l

15、t;C.-D.：243243243考點：專題：概率與統(tǒng)計. 分析：二項分布與n次獨立重復試驗的模型.根據(jù)X為隨機變量，XB一 I和求服從二項分布的變量的期望值公式，代入公式得到3n的值，再根據(jù)二項分布概率公式得到結(jié)果.解答：解：隨機變量X為隨機變量，XB，其期望 EX=np= =2,5=6 ,3門P (X=2) =-：-亠L=_"% T '3，243故選D.點評：本題主要考查分布列和期望的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是 過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式.個相反的2&( 2012?衡陽模擬)已知隨機變量N (0, a ),且p ( >

16、; 1) =p ( V a-3)的值為(B. - 2考點：專題：計算題；概率與統(tǒng)計.分析：利用正態(tài)曲線的對稱性，可得曲線的對稱軸是直線 解答：二項分布與n次獨立重復試驗的模型.x=0 ,由此可得結(jié)論.解：由題意，汁N (0, a2), /曲線的對稱軸是直線x=0,p (A 1) =p ( M a- 3)'a - 3+1=0a=2故選A.點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，主要考查正態(tài)曲線的對稱性，是一個基礎(chǔ)題.9.設(shè)隨機變量 N (0,1)，若P ( E翱=p,則P (- 1 v V0)=()二項分布與n次獨立重復試驗的模型.考點：專題：概率與統(tǒng)計.分析：隨機變量E服從

17、標準正態(tài)分布 N (0, 1),知正態(tài)曲線關(guān)于 x=0對稱，根據(jù)P ( =p，得到P (1> > 0) =£ - p，再根據(jù)對稱性寫出要求概率.解答：解：隨機變量E服從標準正態(tài)分布 N (0, 1),正態(tài)曲線關(guān)于x=0對稱，PPP(E 翱=p ,(1> A0) =- p,2(-1 v M0)=廠 p,故選D.點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題的主要依據(jù)是曲線的對稱性，這種問題可以出現(xiàn) 在選擇或填空中.填空題(共5小題)10. (2010?上海模擬)在10件產(chǎn)品中有2件次品，任意抽取 3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是£考點：超幾何分

18、布；離散型隨機變量的期望與方差.專題：計算題.分析：設(shè)抽到次品個數(shù)為 E貝UH ( 3, 2 , 10),利用公式E手理，即可求得抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值.N|解答：解：設(shè)抽到次品個數(shù)為E,則H (3 , 2 , 10)Ei".:N" 10 "5故答案為：5點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望，解題的關(guān)鍵是確定抽到次品個數(shù)服從超幾何分布，從而利用相應的 期望公式求解.11 有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取 3件，至少有2件次品的概率為 _12. (2010?棗莊模擬)設(shè)隨機變量XB (n, 0.5),且DX=2，則事件 X=1 ”的概率為丄盼(作

19、數(shù)字作答.)考點：超幾何分布.專題：；概率與統(tǒng)計.分析：從10件產(chǎn)品任取3件的取法共有-| ,其中所取的三件中 至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分別為廠二！，：.利用互斥事件的概率計算公式和古典概型的概率計算公式即可得出.解答：，解：從10件產(chǎn)品任取3件的取法共有 ，其中所取的三件中 至少有2件次品”包括2件次品、3件次品， 取法分別為廠.!,:.c洌+諾1因此所求的概率 p= .c33v10故答案為.3點評：本題考查了互斥事件的概率計算公式和古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.考點：-二項分布與n次獨立重復試驗的模型.專題：計算題.分析：由隨機變量XB (n, 0.5),且DX=

20、2，知n >0.5 > (1 - 0.5) =2，解得n=8.再由二項分布公式能夠?qū)С鍪?件X=1”的概率.解答： 解：隨機變量XB (n, 0.5),且DX=2 ,n>0.5X( 1 - 0.5) =2,F=8.p (x=1)=C；X65X (1-05) 7二點.故答案為:132'點評：本題考查二項分布的性質(zhì)和應用，解題時要注意二項分布方差公式D手np （1 - p）的靈活運用.13 .若隨機變量 X服從二項分布，且 XB （10, 0.8）,則EX、DX分別是 8,1.6考點：-二項分布與n次獨立重復試驗的模型.專題：計算題.分析：；根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)

21、二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關(guān) 于n和p的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量，做出概率.解答：解：TX服從二項分布 XB (n 10, 0.8)由 E e=10X).8=8，D 手仁np (1 - p) 10X0.8>0.2=1.6，故答案為8; 1.6點評：本題主要考查分布列和期望的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的 過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式.14. （2011?浙江）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為：，得到乙、丙公司面試的概率均為P,且三個

22、公司是否讓其面試是相互獨立的記X為該畢業(yè)生3得到面試的公司個數(shù).若p（ X=0）則隨機變量X的數(shù)學期望E（ X）=_ '_ 考點：離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列.X的可能取專題：計算題.分析： 根據(jù)該畢業(yè)生得到面試的機會為o時的概率，做出得到乙、丙公司面試的概率，根據(jù)題意得到值，結(jié)合變量對應的事件寫出概率和做出期望.解答：解：由題意知 X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，則X的可能取值是0, 1 , 2, 3,P（X=o）匚:，,巴，(X=1)=1匚迂：=】(X=2)(X=3)=1 - ： ；.:12 IT4R2 弓-E(X)=;，故答案為：;點評：本題考查離散型隨機

23、變量的分布列和離散型隨機變量的期望，考查生活中常見的一種題目背景，是一個基 礎(chǔ)題目.三.解答題（共3小題）15. (2009?朝陽區(qū)二模)在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有n ( 2韋，且n希)個，其余的球為紅球.(l) 若n=5，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；(n)從袋里任意取出 2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是二，求紅球的個數(shù)；15(m)在(n)的條件下，從袋里任意取出2個球.若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分.用E表示取出的2個球所得分數(shù)的和，寫出E的分布列，并求 E的數(shù)學期望EE:

24、超幾何分布；n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生 k次的概率；離散型隨機變量的期望與方差.:綜合題.2個紅球的(I )先求出從袋中任取 1個球是紅球的概率，再利用獨立事件的概率公式可求三次取球中恰有 概率；(n )根據(jù)從袋中一次任取 2個球，如果這2個球顏色相同的概率是 _建立等式關(guān)系，求出 n的值，從而15求出紅球的個數(shù).(m) E的取值為2, 3, 4, 5, 6,然后分別求出對應的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望的公式解之 即可； 解：(I)設(shè) 從袋中任取1個球是紅球”為事件A，則V 匚 所以，：；：.(4分)答：三次取球中恰有 2個紅球的概率為(n)設(shè) 從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事

25、件B,n fp、 _5 + 5+5-G+n (口-1) + (7 - n) (6 n) _ 4,1590125r2 J 102整理得：n - 7n +12=0,解得n=3 （舍）或n=4.所以，紅球的個數(shù)為 3個.- （8分）P 2p 1 jn 1J-I 1 p 1 . p 2（m） E的取值為 2,3,4,5,6,且.- I 一 .，1,-1515嚴 310 v10 v10- . rz 5155via所以E的分布列為23456P24T715153冃15所以，二-2二 廠 ；< :" =(13 分)本題以摸球為素材，主要考查相互獨立事件的概率的求法，考查了離散型隨機變量的期望與

26、分布列，解題 的關(guān)鍵是正確利用公式求概率.16某批產(chǎn)品共10件，已知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為P=0.2 若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，(1) 求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；(2) 求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù) X的概率分布列與期望.考點：超幾何分布；離散型隨機變量的期望與方差. 專題：應用題.分析:解答:設(shè)該批產(chǎn)品中次品有x件，由已知匚一，可求次品的件數(shù)（1）設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為 X , 3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為E 15vio（2）取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù) X可能為0, 1, 2,求出相應的概率，從而可得概率分布列與期望.解：設(shè)該批產(chǎn)品中次品有 x件，由已知10（1）設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為 X , 3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為31D15'x