非線性有限元分析報(bào)告

1、非線性有限元分析1 概述在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)于許多力學(xué)問題和物理問題，人們已經(jīng)得到了它們所應(yīng)遵循的基本方 程（常微分方程或偏微分方程）和相應(yīng)的定解條件（邊界條件） 。但能夠用解析方法求出精確解的 只是少數(shù)方程性質(zhì)比較簡單，并且?guī)缀涡螤钕喈?dāng)規(guī)則的問題。對(duì)于大多數(shù)工程實(shí)際問題，由于方 程的某些特征的非線性性質(zhì)，或由于求解區(qū)域的幾何形狀比較復(fù)雜，則不能得到解析的答案。這 類問題的解決通常有兩種途徑。一是引入簡化假設(shè)，將方程和幾何邊界簡化為能夠處理的情況， 從而得到問題在簡化狀態(tài)下的解答。但是這種方法只是在有限的情況下是可行的，因?yàn)檫^多的簡 化可能導(dǎo)致誤差很大甚至是錯(cuò)誤的解答。因此人們多年來一直在致力

2、于尋找和發(fā)展另一種求解途 徑和方法數(shù)值解法。特別是五十多年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)值分析 方法已成為求解科學(xué)技術(shù)問題的主要工具。已經(jīng)發(fā)展的數(shù)值分析方法可以分為兩大類。一類以有限差分法為代表，主要特點(diǎn)是直接求解 基本方程和相應(yīng)定解條件的近似解。其具體解法是將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)上 用差分方程來近似微分方程，當(dāng)采用較多結(jié)點(diǎn)時(shí)，近似解的精度可以得到改善。但是當(dāng)用于求解 幾何形狀復(fù)雜的問題時(shí)，有限差分法的精度將降低，甚至發(fā)生困難。另一類數(shù)值分析方法是首先建立和原問題基本方程及相應(yīng)定解條件相等效的積分提法，然后 再建立近似解法并求解。如果原問題的方程具有某些特定的性質(zhì)，

3、則它的等效積分提法可以歸結(jié) 為某個(gè)泛函的變分，相應(yīng)的近似解法實(shí)際上就是求解泛函的駐值問題。諸如里茲法，配點(diǎn)法，最 小二乘法，伽遼金法，力矩法等都屬于這一類方法。但此類方法也只能局限于幾何形狀規(guī)則的問 題，原因在于它們都是在整個(gè)求解區(qū)域上假設(shè)近似函數(shù)，因此，對(duì)于幾何形狀復(fù)雜的問題，不可 能建立合乎要求的近似函數(shù)。I960 年，R.W.CLOUG發(fā)表了有限單元法的第一篇文獻(xiàn)“The Finite Element Method in PlaneStress Analysis ”，這同時(shí)也標(biāo)志著有限單元法（FEM的問世。有限單元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)，且按一定方式相互聯(lián)接在一起

4、的單元的組合體。由于單元能按不 同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合， 且單元本身又可以有不同形狀， 因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。 并且可以利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，從而 使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題?，F(xiàn)已證明，有限單元法是基于變分原理的里茲法的另一種形式，從而使里茲法分析的所有理 論基礎(chǔ)都適用于有限單元法，確認(rèn)了有限單元法是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍方法。利用變分 原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲法的主要區(qū)別是有限單元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求解域而是 在單元上規(guī)定的， 而且事先不要求滿足任何邊界條件， 因此可以用來處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)

5、問題。在短短四十余年的時(shí)間里，有限單元的分析方法已經(jīng)迅速地發(fā)展為適合于使用各種類型計(jì)算 機(jī)解決復(fù)雜工程問題的一種相當(dāng)普及的方法。如今，有限元廣泛地應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科門類，已經(jīng)成 為工程師和科研人員用于解決實(shí)際工程問題，進(jìn)行科學(xué)研究不可或缺的有力工具。有限單元法的 應(yīng)用范圍已由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題，板殼問題，由靜力平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定問題， 動(dòng)力問題和波動(dòng)問題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性，粘彈性，粘塑性和復(fù)合材料等，從固 體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)，傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展 到優(yōu)化設(shè)計(jì)并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合。各種各樣商業(yè)化的大型通用有限元軟件層出不窮

6、， 不斷推陳出新。可以預(yù)見，隨著現(xiàn)代力學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的發(fā)展，有限單元法作 為一個(gè)具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用范圍的數(shù)值分析工具，必將得到進(jìn)一步的完善和發(fā)展。2 非線性問題的類型和求解特點(diǎn)21 非線性問題的類型2. 1. 1 線性分析的含義 在有限元分析中的線性假設(shè)包含下列含義：即結(jié)點(diǎn)位移為無限小量，材料為線彈性，加載時(shí) 邊界條件的性質(zhì)保持不變。于是，靜力平衡方程可以表示為：K U R （2.1）其中， K 為剛度矩陣， R 為荷載矢量。由于 K 和 R 的元素為常數(shù)，故位移響應(yīng) U 是荷載 矢量 R 的線性函數(shù)。也就是說，如果 R 變?yōu)?R ，則 U 變?yōu)?U ，其中， 為常數(shù)。

7、這 就是所謂的線性有限元分析。如果上述假設(shè)中的任何一條不能得到滿足，那么就屬于非線性有限 元分析。2. 1. 2 非線性分析的必要性 結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，從本質(zhì)上講都是非線性的，線性假設(shè)只是實(shí)際工程問題的一種簡化。當(dāng)然，任何實(shí)際工程問題的求解都避免不了適當(dāng)?shù)睾喕?，簡化是否合理主要?yīng)根據(jù)求解效果和實(shí)際經(jīng)驗(yàn) 來判斷。 對(duì)于目前工程實(shí)際中的很多問題， 如地震作用下結(jié)構(gòu)的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)， 高層建筑抗風(fēng)， 大跨度網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性，索膜結(jié)構(gòu)找形荷載與裁減分析，大型橋梁風(fēng)致振動(dòng)等問題的研究， 僅僅假設(shè)為線性問題是很不夠的，常常需要進(jìn)一步考慮為非線性問題。因此，對(duì)各種工程結(jié)構(gòu)的 非線性分析就是必不可少且日趨重要了

8、。對(duì)于結(jié)構(gòu)力學(xué)的非線性問題來說，有限單元法是最為有 效的數(shù)值分析方法。2. 1. 3 非線性問題的類型 通常，把非線性問題分為兩大類，即分為幾何非線性和材料非線性。但從建立基本方程和程 序設(shè)計(jì)的方便出發(fā)，又可分為三種類型：1材料非線性 ： 非線性效應(yīng)僅由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性引起，位移分量仍假設(shè)為無限小量， 故仍可采用工程應(yīng)力和工程應(yīng)變來描述，即僅材料為非線性。非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是結(jié)構(gòu)非線 性的常見原因，許多因素都可以影響材料的應(yīng)力應(yīng)變性質(zhì)，包括加載歷史（如在彈塑性響應(yīng)狀況 下），環(huán)境狀況（如溫度） ，加載的時(shí)間總量（如在蠕變響應(yīng)狀況下）等。2幾何非線性：如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，則變化了的幾何形狀

9、可能會(huì)引起結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)， 這又可以分為兩種情形：第一種情形，大位移小應(yīng)變。只是物體經(jīng)歷了大的剛體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，固連于物體坐標(biāo)系中的 應(yīng)變分量仍假設(shè)為無限小。此時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系則根據(jù)實(shí)際材料和實(shí)際問題可以是線性的也可以 是非線性的。第二種情形，大位移大應(yīng)變。也即最一般的的情況，此時(shí)結(jié)構(gòu)的平動(dòng)位移，轉(zhuǎn)動(dòng)位移和應(yīng)變 都不再是無限小量，本構(gòu)關(guān)系也是非線性的。3狀態(tài)非線性：除以上兩種非線性問題之外，還有一種非線性問題，即由于系統(tǒng)剛度和邊界 條件的性質(zhì)隨物體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化所引起的非線性響應(yīng)。例如，一根只能拉伸的鋼索可能是松散 的, 也可能是繃緊的；軸承套可能是接觸的 , 也可能是不接觸的； 凍土可能是凍

10、結(jié)的 ,也可能是融 化的。這些系統(tǒng)的剛度和邊界條件由于系統(tǒng)狀態(tài)的改變?cè)诓煌闹抵g突然變化。狀態(tài)改變也許和載荷直接有關(guān)，也可能由某種外部原因引起。最為典型的就是接觸問題，接觸是狀態(tài)非線性類 型中一個(gè)特殊而重要的子集。通常情況下，狀態(tài)非線性問題可以在上述材料非線性和幾何非線性 類型中的每一種同時(shí)出現(xiàn)，從而使得問題的分析變得更為復(fù)雜。22 非線性問題的求解特點(diǎn)2. 2. 1非線性分析的基本問題非線性分析的基本問題是求出在當(dāng)前荷載作用下的平衡狀態(tài)。如果作用的荷載被描述成時(shí)間 的函數(shù)，則物體有限元離散系統(tǒng)的平衡方程可以表示為：t R t F 0 (2.2)其中，矢量 t R 由 t 時(shí)刻外荷載的結(jié)點(diǎn)力

11、分量所構(gòu)成， 而矢量 t F 則表示 t 時(shí)刻的單元應(yīng)力所引 起的結(jié)點(diǎn)力分量。 平衡方程 (2.2) 應(yīng)針對(duì) t 時(shí)刻的幾何位形建立， 并應(yīng)計(jì)入所有的非線性效應(yīng)。 如 果是動(dòng)力分析，矢量 t R 中還應(yīng)當(dāng)包括慣性力和阻尼力。在求解非線性問題時(shí)， (2.2) 式應(yīng)在全部加載歷史中成立。 變量 t 的引入并不意味著一定是動(dòng)力問題。在靜力分析中， t 不具有真實(shí)“時(shí)間”的含義，它的不同取值只是表示相應(yīng)于不同位形 的不同的荷載水平。 但是，在動(dòng)力分析或具有時(shí)間效應(yīng)的靜力分析中， 變量 t 就有了它本來的 “時(shí) 間”的含義。2. 2. 2非線性方程組的增量逐步解法對(duì)于許多工程結(jié)構(gòu)，我們所關(guān)心的常常是在特

12、定的荷載水平下，或相應(yīng)的時(shí)間物體中的應(yīng)力 和變形。實(shí)際問題根據(jù)其解法可以分為兩大類型。第一類問題無需計(jì)算中間變形過程，可直接求 解在給定荷載下的平衡位形。但是，如果問題的幾何性質(zhì)或材料性質(zhì)與路徑相關(guān)或與時(shí)間相關(guān)， 即該問題依賴于變形歷史，則中間變形過程的計(jì)算是不可缺少的，這就是第二類問題。從本質(zhì)上 來說，非線性問題是第二類問題。此時(shí)，往往采用增量分析的方法。增量逐步解法的基本思想是：假定t時(shí)刻的解為已知，要求 t + A t時(shí)刻的解，其中， At是適當(dāng)選擇的時(shí)間增量。在 t + A t時(shí)刻，式(2.2)寫成為：t t R t t F 0 (2.3)這里，左上標(biāo)表示為 t A t 時(shí)刻的量。由于

13、 t 時(shí)刻的解為已知，因此，可以寫為：t t F t F F (2.4)式中， F 表示 t 到 tAt 時(shí)間間隔內(nèi)，由于單元內(nèi)應(yīng)力增量所引起的結(jié)點(diǎn)力增量矢量。這一矢 量可以近似表示為：F t K U (2.5)式中，七K為相應(yīng)于t時(shí)刻材料和幾何條件的切線剛度矩陣。U為At時(shí)間間隔中的結(jié)點(diǎn)位移增量，現(xiàn)在它還是未知的。將式 (2.4) 和(2.5) 代入式 (2.3) 中，得到：t K U t t R t F (2.6)上式中只有位移增量U為未知，一旦解出，即可算得 t + A t時(shí)刻的位移：t tU t U U(2.7)根據(jù) t t U ，就容易算出 tA t 時(shí)刻的應(yīng)力及 t t F ， t

14、 t K ，于是馬上可以著手下一步的計(jì) 算。但要指出的是，式 (2.5) 是一個(gè)近似表達(dá)式，因此 tA t 時(shí)刻的解也是近似的，如果急于求 成的作下去，最終結(jié)果可能出現(xiàn)不可忽視的重大誤差以致于達(dá)到荒謬的地步。解決這一困難的辦 法是以花費(fèi)計(jì)算時(shí)間為代價(jià)，即在t到t +At時(shí)步中進(jìn)行足夠次數(shù)的迭代，以保證最終的解獲得足夠的精度。2. 2. 3 引入修正 Newton Raphson 迭代格式的增量逐步解法 現(xiàn)在更多采用的方法是在每一個(gè)荷載增量步中，使用Newton Raphson 迭代法或修正的NewtonRaphson 迭代法。由于后者不需要每次迭代時(shí)都計(jì)算切線剛度矩陣，因此在實(shí)際中具有 更廣泛

15、的應(yīng)用?，F(xiàn)對(duì)該方法做簡單的介紹。在t時(shí)刻到t + A t時(shí)刻的時(shí)步中，修正 Newton Raphson法的迭代公式可以表示為：i t t R t t F i1(2.8)Ui(2.9)其中， i 表示迭代步數(shù)，依次取 1， 2， 3，其迭代所用的初始值正是時(shí)刻的解，即：(2.10)式 (2.8) 的右端項(xiàng)：t t i 1F 隨i的增加而逐步接近U0稱為第R 。因此，i 步迭代前的不平衡荷載。在迭代過程中，我們可事先對(duì)不平衡荷載的模給定一個(gè)精度指標(biāo)，每次迭代后檢查不平衡荷載是否小于該指標(biāo)。若滿足精度，則在求出t t U 之后轉(zhuǎn)入下一時(shí)步的計(jì)算，否則繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求為止。3材料非線性問題

16、的有限單元法31 材料非線性問題概述在所有的非線性分析問題中，材料非線性問題的處理相對(duì)簡單，不需要重新列出整個(gè)問題的 表達(dá)格式，只要將材料本構(gòu)關(guān)系線性化，就可將線性問題的表達(dá)格式推廣用于非線性分析。一般 來說，通過試探和迭代的過程求解一系列線性問題，如果在最后階段，材料的狀態(tài)參數(shù)被調(diào)整得 滿足材料的非線性本構(gòu)關(guān)系，則最終可得到問題的解答。材料非線性問題可以分為兩種類型。一類是不依賴于時(shí)間的彈塑性問題，其特點(diǎn)是當(dāng)荷載作 用以后，材料變形立即發(fā)生，并且不再隨時(shí)間而變化。另一類是依賴于時(shí)間的粘(彈，塑)性問 題，其特點(diǎn)是荷載作用以后，材料不僅立即發(fā)生變形，而且變形隨時(shí)間繼續(xù)變化。在荷載保持不 變的條

17、件下， 由于材料粘性而繼續(xù)增長的變形稱之為蠕變； 另一方面， 在變形保持不變的條件下， 由于材料粘性而使應(yīng)力衰減稱之為松弛。顯然，后一類材料非線性問題在求解時(shí)更為困難一些。 32 材料非線性本構(gòu)關(guān)系限于篇幅，本文僅討論最為常見的彈塑性非線性本構(gòu)關(guān)系。彈塑性材料進(jìn)入塑性的特征是當(dāng) 荷載卸去以后存在不可恢復(fù)的永久變形，因而在涉及卸載的情況下，應(yīng)力應(yīng)變之間不再存在惟一 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是區(qū)別于非線彈性材料的基本屬性。以材料的單向受力情況為例，只是在加載時(shí) 應(yīng)力應(yīng)變呈現(xiàn)非線性關(guān)系，還不足以判定材料是非線性彈性還是彈塑性。但是一經(jīng)卸載立即發(fā)生 兩者的區(qū)別，非線性彈性材料將沿原路徑返回，而彈塑性材料將依據(jù)不

18、同的加載歷史卸載后產(chǎn)生 不同的永久變形。任何一種彈塑性材料都應(yīng)當(dāng)滿足塑性力學(xué)的四條基本準(zhǔn)則，這里對(duì)此作簡單的介紹：1 初始屈服條件： 規(guī)定了材料開始塑性變形的應(yīng)力狀態(tài)。 在有限元分析中， 通常采用 V.Mises 準(zhǔn)則。2 流動(dòng)準(zhǔn)則：規(guī)定塑性應(yīng)變?cè)隽康姆至亢蛻?yīng)力分量以及應(yīng)力增量分量之間的關(guān)系。3 硬化準(zhǔn)則：規(guī)定材料進(jìn)入塑性變形后的后繼屈服函數(shù)。對(duì)于理想彈塑性材料，因無硬化 效應(yīng)，后繼屈服函數(shù)和初始屈服函數(shù)一致；對(duì)于硬化材料，通常又有各向同性硬化準(zhǔn)則， 隨動(dòng)硬化準(zhǔn)則和混合硬化準(zhǔn)則三種不同的準(zhǔn)則。4 加載，卸載準(zhǔn)則：用以判別從一塑性狀態(tài)出發(fā)是繼續(xù)塑性加載還是彈性卸載，這是計(jì)算 中判定是否繼續(xù)塑性變

19、形以及決定是采用彈塑性本構(gòu)關(guān)系還是彈性本構(gòu)關(guān)系所必須的。各種類型的彈塑性材料可以從對(duì)各自的后繼屈服函數(shù)進(jìn)行微分出發(fā)，進(jìn)而推導(dǎo)出各自相應(yīng)的 應(yīng)力應(yīng)變的增量關(guān)系，這里不一一列舉。需要進(jìn)一步說明的是，對(duì)于處于高溫條件下工作的結(jié)構(gòu)，必須考慮溫度對(duì)本構(gòu)關(guān)系的影響。 比如隨著溫度的升高， 屈曲極限有所降低， 材料硬化特性也有所減少， 并逐漸接近理想塑性材料， 同時(shí)材料常數(shù) E, 口，a等也隨溫度變化而有所變化。至于長期工作在高溫條件下的結(jié)構(gòu)還必須 考慮蠕變的效應(yīng)。33 材料非線性問題的有限元表達(dá)格式 對(duì)于彈塑性材料，由于材料和結(jié)構(gòu)的彈塑性行為與加載以及變形的歷史有關(guān)。因此，在進(jìn)行 結(jié)構(gòu)的彈塑性分析時(shí)，通常

20、將荷載分成若干個(gè)增量，然后對(duì)于每一荷載增量，將彈塑性方程線性 化，從而使彈塑性分析這一非線性問題分解為一系列的線性問題。按照這種思想， 首先建立增量形式的荷載條件和位移條件， 進(jìn)而建立增量形式的虛位移原理， 即增量形式的最小勢(shì)能原理，最終即可得到基于增量形式的有限元表達(dá)格式。系統(tǒng)平衡方程形式 同前 (3.5) 式，其中切線剛度矩陣 t K 在這里是系統(tǒng)的彈塑性剛度矩陣。彈塑性增量有限元分析在將加載過程劃分為若干增量步以后，對(duì)于每一個(gè)增量步應(yīng)包含下列 三個(gè)算法步驟：1 線性化彈塑性本構(gòu)關(guān)系，并形成增量有限元方程。2 求解有限元方程。注意在求解過程中每個(gè)增量步或每次迭代時(shí)彈塑性剛度矩陣都可能發(fā) 生

21、局部的變化。3 積分本構(gòu)方程，決定新的應(yīng)力狀態(tài)，檢查平衡條件，并決定是否進(jìn)行新的迭代。上述每一步驟的算法方案和數(shù)值方法，以及荷載增量步長的選擇都關(guān)系到整個(gè)求解過程的穩(wěn) 定性，精度和效率。這里尤其需要注意的是非線性方程組求解方案的選擇。通?？梢圆捎靡韵聨追N求解方案：無迭代的增量解法，具有變剛度迭代 （N-R 迭代） 的增量解 法和具有常剛度迭代（mN-R迭代）的增量解法。變剛度迭代具有良好的收斂性，允許采用較大的時(shí) 間步長，但每次迭代都要重新形成和分解新的剛度矩陣。而采用常剛度迭代可以節(jié)省上述計(jì)算費(fèi) 用，缺點(diǎn)是收斂速度較慢，特別在接近荷載的極限狀況時(shí)，因此經(jīng)常需要同時(shí)采用加速迭代的措 施。具體采

22、用何種求解方案，應(yīng)根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，綜合考慮精度和效率兩方面因素。對(duì)于除彈塑性以外的材料非線性問題，例如熱彈塑性蠕變問題，粘彈塑性問題等，由于同 時(shí)涉及獨(dú)立于時(shí)間和依賴于時(shí)間的兩類非彈性變形以及本構(gòu)方程的高度非線性，無論是其本構(gòu)方 程的建立和它的積分方法，還是非線性方程組的求解方法都遠(yuǎn)比通常的彈塑性分析困難得多。但 還是有很多共性的方面，這里不再展開詳述。4 幾何非線性問題的有限單元法41 幾何非線性問題概述在某一固體力學(xué)問題中，如果假定物體所發(fā)生的位移遠(yuǎn)小于物體自身的幾何尺度，應(yīng)變遠(yuǎn)小 于 1，那么此問題就稱作滿足“小變形假定” 。在此前提下，建立物體或微元體的平衡條件時(shí)可以 不考慮物體的

23、位置和形狀（簡稱位形）的變化。因此分析中不必區(qū)分變形前和變形后的位形。同 時(shí)在加載和變形過程中的應(yīng)變可用一階無窮小的線性應(yīng)變進(jìn)行度量。但是在實(shí)際中，我們往往會(huì)遇到很多不符合小變形假定的問題，例如板殼等薄壁結(jié)構(gòu)的屈曲 問題。此時(shí)必須考慮變形對(duì)平衡的影響，即平衡條件應(yīng)建立在變形后的位形上，同時(shí)應(yīng)變表達(dá)式 也應(yīng)包括位移的二次項(xiàng)。這樣一來，平衡方程和幾何關(guān)系都將是非線性的。這種由于大平動(dòng)和大 轉(zhuǎn)動(dòng)引起的非線性問題稱為幾何非線性問題。幾何非線性問題還有另外一種類型，例如金屬的成 型，橡皮型材料受荷載作用，都可能會(huì)出現(xiàn)很大的應(yīng)變，這時(shí)除了采用非線性的平衡方程和幾何 關(guān)系以外，還需要引入相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，

24、盡管對(duì)于后一問題材料通常還處于彈性狀態(tài)。當(dāng)然 大多數(shù)大應(yīng)變問題是和材料的非彈性性質(zhì)聯(lián)系在一起的。這類幾何非線性問題即通常所說的大平 動(dòng)，大轉(zhuǎn)動(dòng)，大應(yīng)變問題。42 幾何非線性問題的有限元表達(dá)格式早期幾何非線性有限元分析基本上是線性分析的擴(kuò)展，針對(duì)各個(gè)具體問題分別進(jìn)行分析。而 近年來，基于非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理的有限元分析取得很大發(fā)展，得到了統(tǒng)一的一般非線性分 析的表達(dá)格式。基于非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，首先應(yīng)當(dāng)對(duì)大變形情況下的應(yīng)變和應(yīng)力進(jìn)行度量。這是因?yàn)樵诜?線性問題中，由于存在的大位移，大應(yīng)變而導(dǎo)致有限變形，使得原來傳統(tǒng)的小變形下的Cauchy方程不再適用。此時(shí)，根據(jù)連續(xù)體在不同的位形下坐標(biāo)的變換，

25、對(duì)變形前后物體上某一線段變形 的度量可以采用兩種不同的應(yīng)變度量方式。即用變形前坐標(biāo)表示的Green 應(yīng)變張量和用變形后坐標(biāo)表示的 Almansi 應(yīng)變張量。在大變形問題中，是用從變形后的物體內(nèi)截取出的微元體來建立平 衡方程和與之等效的虛功原理的。因此，在從變形后物體內(nèi)截取出的微元體上面定義的應(yīng)力張量 稱為 Euler 應(yīng)力張量。如果用于變形前的位形，可以具體定義另外兩種應(yīng)力張量：Lagrange 應(yīng)力張量和 Kirchhoff 應(yīng)力張量。此外，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中還定義了一種其分量不隨材料剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而 變化的速率型應(yīng)力張量， Jaumann 應(yīng)力速率張量。在涉及幾何非線性問題的有限單元法中，通常都采

26、用增量分析的方法。為了得到方程的解答，所有的變量都應(yīng)參考某一已經(jīng)求得的平衡位形。在實(shí)際分析中，通常有以下兩種選擇：1 .全Lagrange格式（Total Lagrange Formulation ，簡稱 T.L.格式），這種格式中所有變 量以時(shí)間0的位形作為參考位形。2 .更新 Lagrange 格式（Updated Lagrange Formulation，簡稱 U.L.格式），這種格式中所有變量以時(shí)間t的位形作為參考位形。因?yàn)樵谇蠼膺^程中參考位形是不斷改變的，所以稱之為更新的 Lagrange 格式。由以上兩種格式導(dǎo)出的求解方程在理論上是等效的，如若采用數(shù)學(xué)上相一致的本構(gòu)關(guān)系，它 們將產(chǎn)

27、生相同的結(jié)果。但在求解的有限元矩陣方程本身和求解步驟上仍有一定的差別。在通用的 有限元程序中，通常同時(shí)包括這兩種格式，使用時(shí)可以根據(jù)所分析問題及材料本構(gòu)關(guān)系的具體特 點(diǎn)和形式選擇最有效的格式。為進(jìn)一步說明非線性分析的特點(diǎn)，下表列出按非線性問題的不同分類所采用的不同描述方法 和應(yīng)力應(yīng)變。表1非線性問題分類分析類型特點(diǎn)描述方法應(yīng)力和應(yīng)變僅材料非線性平動(dòng)位移，轉(zhuǎn)動(dòng)位移和應(yīng)變無限小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。僅材料非線性（M.N.O.）工程應(yīng)力工程應(yīng)變大平動(dòng)大轉(zhuǎn)動(dòng)小應(yīng)變線元的平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移充分大， 但線元的伸長和線元之間的角度改變無限小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的。全 Lagrange 描述(T

28、.L.)Kirchhoff 應(yīng)力Gree n應(yīng)變更新 Lagrange 描述(U丄.)Cauchy應(yīng)力Almansi 應(yīng)變大平動(dòng)大轉(zhuǎn)動(dòng)大應(yīng)變線元的伸長和線元之間的角度改變充分大， 線兀的平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移也可以充分大， 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的。全 Lagrange 描述(T.L.)Kirchhoff 應(yīng)力Gree n應(yīng)變更新 Lagrange-Jaumann描述(U.L .J.)Jauman n應(yīng)力率Almansi應(yīng)變率4. 3幾何非線性問題有限元方程的求解對(duì)于幾何非線性有限元的求解，一般采用等參元對(duì)求解域進(jìn)行離散。兩種表達(dá)格式T.L.和U.L.都可應(yīng)用，關(guān)鍵在于對(duì)求解方程的線性化處理

29、。因?yàn)闊o論是T.L.格式還是U.L.格式，都是基于線性化處理后的虛位移原理建立的有限元矩陣方程，該矩陣方程僅是對(duì)于每一時(shí)間步長所應(yīng) 求解的非線性方程的近似。由于系統(tǒng)的非線性性質(zhì)，線性化處理帶來的誤差將可能導(dǎo)致解的漂移 或不穩(wěn)定。因此，仍需采用基于Newton-Raphson迭代格式或修正 Newton-Raphson迭代格式的增量逐步解法求解方程組。在實(shí)際分析中，兩種格式用于求解的時(shí)間一般情況下相差不多，究竟選擇哪種格式通常取決 于所采用的本構(gòu)關(guān)系的具體形式。也就應(yīng)當(dāng)在求解之初便首先區(qū)分是大應(yīng)變還是小應(yīng)變，選擇格 式已在表1中列出，此處不再詳述。和材料非線性問題相比，幾何非線性問題有著更為復(fù)雜

30、多樣的荷載一位移路徑，如在荷載控制下的疾速通過和位移控制下的疾速通過。因此，荷載增量步長的自動(dòng)選擇就顯得格外重要。近些年來，廣泛應(yīng)用的一類荷載增量步長的自動(dòng)選擇方法是“廣義弧長法”。在廣義弧長法中，用于調(diào)節(jié)荷載增量和位移增量在弧長AL中作用的比例因子a對(duì)弧長法的總體性能有很大的影響。一般采用的比例因子有：a=1的球面弧長法，a=0的柱面弧長法，a= Sp的橢圓弧長法。對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)和荷載情況，很難說以上a不同取值的三種情況中哪一種具有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，但是a=0的柱面弧長法具有較好的普遍適應(yīng)性。5桿索非線性有限元理論在結(jié)構(gòu)非線性有限元分析中，最為重要也最為基本的是建立精度適合的各種有限單元列式， 并

31、在基于某些假定的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其單元?jiǎng)偠染仃嚭陀邢拊蠼夥匠?。下由于目前的研究和?yīng)用 中已經(jīng)出現(xiàn)了相當(dāng)多的上述單元的理論和模型，限于篇幅并基于應(yīng)用角度，每種單元僅選擇一種 最為常用，精度也較高的單元加以介紹。5. 15. 1. 11.2.3.5. 1.2非線性有限桿單元理論基本假定桿單元只能承受軸向力；桿單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合虎克定律; 桿單元位移變形為大位移小應(yīng)變。剛度矩陣及有限元方程假定單元位移函數(shù)線性插值:Ui1Ui2Ui(5.1)tUi,jUitXj1Ui2Ui(5.2)在局部坐標(biāo)系E中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:E ep式中： ，表示局部坐標(biāo)系下單元的應(yīng)變和應(yīng)力;T為:在局部和整體坐標(biāo)系關(guān)系中，

32、轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力增量和應(yīng)變?cè)隽康淖儞Q矩陣(5.3)式中：l , m, n是方向余弦。由此可得:l2n2 lmttEeptIn mn， 表示整體坐標(biāo)系下單元的應(yīng)力和應(yīng)變。應(yīng)變?cè)隽亢臀灰圃隽康年P(guān)系可用 B 矩陣表示，則有限元矩陣可表示為：ttK0tBLTDtBL tdVtVttKutBNL TSEtBNL tdVtV(5.4)ttFtBLT E dVtV式中：SE, d E分別為Kirchhoff應(yīng)力矩陣和向量。將積分式展開，得到線性剛度矩陣，非線性剛度矩陣和內(nèi)力項(xiàng)的矩陣表達(dá)式：llmlnllmlnlm2 mmnlm2 mmnttK0lnl2mn2 nlnl2mn2 nlmlnlmlnlm2 mmnlm

33、2 mmnlnmn2 nlnmn2 n(5.5)100100010010ttKuE001001A/L100100010010001001(5.6)ttFE A 1mnlmt n(5.7)按虛位移原理的矩陣列式為：ttK0tt K uu t tQ tt F(5.8)上式即為有限元基本方程。52 非線性有限索單元理論索結(jié)構(gòu)在大跨結(jié)構(gòu)中已得到廣泛的應(yīng)用。隨著連續(xù)長索的不斷應(yīng)用，對(duì)于索力學(xué)模型的精度要求也越來越高。初期的研究以解析法為基礎(chǔ)，對(duì)較為簡單理想的外荷載和邊界條件作了分析。 隨著計(jì)算技術(shù)的提高，提出并采用了考慮大變形的各種離散模型，主要有：兩節(jié)點(diǎn)直線桿單元模 型，以等效彈性模量來考慮垂度影響；兩節(jié)點(diǎn)拋物線索單元模型，以及為了提高分析精度采用內(nèi) 插節(jié)點(diǎn)的多節(jié)點(diǎn)索單元 ( 三節(jié)點(diǎn)， 四節(jié)點(diǎn)， 五節(jié)點(diǎn)索單元 ) 模型和采用 B 樣條基構(gòu)建的索單元模型。 下面簡要介紹懸鏈線索單元模型。5. 2. 1 基本假定1. 索為理想柔索，不受壓且無彎曲剛度；2. 滿足大變形，小應(yīng)變要求；3. 索中外荷載沿索長均勻分布。5. 2. 2剛度矩陣及有限元方程作幾何非線性分析時(shí)，索單元的切線剛度可按下述方法計(jì)算。如圖1中為一個(gè)索單元，其中i點(diǎn)的位移是 "1, "2, "3; j