非線性有限元分析報告

1、非線性有限元分析1 概述在科學技術領域內，對于許多力學問題和物理問題，人們已經(jīng)得到了它們所應遵循的基本方 程（常微分方程或偏微分方程）和相應的定解條件（邊界條件） 。但能夠用解析方法求出精確解的 只是少數(shù)方程性質比較簡單，并且?guī)缀涡螤钕喈斠?guī)則的問題。對于大多數(shù)工程實際問題，由于方 程的某些特征的非線性性質，或由于求解區(qū)域的幾何形狀比較復雜，則不能得到解析的答案。這 類問題的解決通常有兩種途徑。一是引入簡化假設，將方程和幾何邊界簡化為能夠處理的情況， 從而得到問題在簡化狀態(tài)下的解答。但是這種方法只是在有限的情況下是可行的，因為過多的簡 化可能導致誤差很大甚至是錯誤的解答。因此人們多年來一直在致力

2、于尋找和發(fā)展另一種求解途 徑和方法數(shù)值解法。特別是五十多年來，隨著電子計算機的飛速發(fā)展和廣泛應用，數(shù)值分析 方法已成為求解科學技術問題的主要工具。已經(jīng)發(fā)展的數(shù)值分析方法可以分為兩大類。一類以有限差分法為代表，主要特點是直接求解 基本方程和相應定解條件的近似解。其具體解法是將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的結點上 用差分方程來近似微分方程，當采用較多結點時，近似解的精度可以得到改善。但是當用于求解 幾何形狀復雜的問題時，有限差分法的精度將降低，甚至發(fā)生困難。另一類數(shù)值分析方法是首先建立和原問題基本方程及相應定解條件相等效的積分提法，然后 再建立近似解法并求解。如果原問題的方程具有某些特定的性質，

3、則它的等效積分提法可以歸結 為某個泛函的變分，相應的近似解法實際上就是求解泛函的駐值問題。諸如里茲法，配點法，最 小二乘法，伽遼金法，力矩法等都屬于這一類方法。但此類方法也只能局限于幾何形狀規(guī)則的問 題，原因在于它們都是在整個求解區(qū)域上假設近似函數(shù)，因此，對于幾何形狀復雜的問題，不可 能建立合乎要求的近似函數(shù)。I960 年，R.W.CLOUG發(fā)表了有限單元法的第一篇文獻“The Finite Element Method in PlaneStress Analysis ”，這同時也標志著有限單元法（FEM的問世。有限單元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個，且按一定方式相互聯(lián)接在一起

4、的單元的組合體。由于單元能按不 同的聯(lián)結方式進行組合， 且單元本身又可以有不同形狀， 因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。 并且可以利用在每一個單元內假設的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)，從而 使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。現(xiàn)已證明，有限單元法是基于變分原理的里茲法的另一種形式，從而使里茲法分析的所有理 論基礎都適用于有限單元法，確認了有限單元法是處理連續(xù)介質問題的一種普遍方法。利用變分 原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲法的主要區(qū)別是有限單元法假設的近似函數(shù)不是在全求解域而是 在單元上規(guī)定的， 而且事先不要求滿足任何邊界條件， 因此可以用來處理很復雜的連續(xù)介質

5、問題。在短短四十余年的時間里，有限單元的分析方法已經(jīng)迅速地發(fā)展為適合于使用各種類型計算 機解決復雜工程問題的一種相當普及的方法。如今，有限元廣泛地應用于各個學科門類，已經(jīng)成 為工程師和科研人員用于解決實際工程問題，進行科學研究不可或缺的有力工具。有限單元法的 應用范圍已由彈性力學平面問題擴展到空間問題，板殼問題，由靜力平衡問題擴展到穩(wěn)定問題， 動力問題和波動問題。分析的對象從彈性材料擴展到塑性，粘彈性，粘塑性和復合材料等，從固 體力學擴展到流體力學，傳熱學等連續(xù)介質力學領域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴展 到優(yōu)化設計并和計算機輔助設計技術相結合。各種各樣商業(yè)化的大型通用有限元軟件層出不窮

6、， 不斷推陳出新?？梢灶A見，隨著現(xiàn)代力學，計算數(shù)學，計算機技術等學科的發(fā)展，有限單元法作 為一個具有鞏固理論基礎和廣泛應用范圍的數(shù)值分析工具，必將得到進一步的完善和發(fā)展。2 非線性問題的類型和求解特點21 非線性問題的類型2. 1. 1 線性分析的含義 在有限元分析中的線性假設包含下列含義：即結點位移為無限小量，材料為線彈性，加載時 邊界條件的性質保持不變。于是，靜力平衡方程可以表示為：K U R （2.1）其中， K 為剛度矩陣， R 為荷載矢量。由于 K 和 R 的元素為常數(shù)，故位移響應 U 是荷載 矢量 R 的線性函數(shù)。也就是說，如果 R 變?yōu)?R ，則 U 變?yōu)?U ，其中， 為常數(shù)。

7、這 就是所謂的線性有限元分析。如果上述假設中的任何一條不能得到滿足，那么就屬于非線性有限 元分析。2. 1. 2 非線性分析的必要性 結構力學問題，從本質上講都是非線性的，線性假設只是實際工程問題的一種簡化。當然，任何實際工程問題的求解都避免不了適當?shù)睾喕?，簡化是否合理主要應根?jù)求解效果和實際經(jīng)驗 來判斷。 對于目前工程實際中的很多問題， 如地震作用下結構的彈塑性動力響應， 高層建筑抗風， 大跨度網(wǎng)殼結構動力穩(wěn)定性，索膜結構找形荷載與裁減分析，大型橋梁風致振動等問題的研究， 僅僅假設為線性問題是很不夠的，常常需要進一步考慮為非線性問題。因此，對各種工程結構的 非線性分析就是必不可少且日趨重要了

8、。對于結構力學的非線性問題來說，有限單元法是最為有 效的數(shù)值分析方法。2. 1. 3 非線性問題的類型 通常，把非線性問題分為兩大類，即分為幾何非線性和材料非線性。但從建立基本方程和程 序設計的方便出發(fā)，又可分為三種類型：1材料非線性 ： 非線性效應僅由應力應變關系的非線性引起，位移分量仍假設為無限小量， 故仍可采用工程應力和工程應變來描述，即僅材料為非線性。非線性的應力應變關系是結構非線 性的常見原因，許多因素都可以影響材料的應力應變性質，包括加載歷史（如在彈塑性響應狀況 下），環(huán)境狀況（如溫度） ，加載的時間總量（如在蠕變響應狀況下）等。2幾何非線性：如果結構經(jīng)受大變形，則變化了的幾何形狀

9、可能會引起結構的非線性響應， 這又可以分為兩種情形：第一種情形，大位移小應變。只是物體經(jīng)歷了大的剛體平動和轉動，固連于物體坐標系中的 應變分量仍假設為無限小。此時的應力應變關系則根據(jù)實際材料和實際問題可以是線性的也可以 是非線性的。第二種情形，大位移大應變。也即最一般的的情況，此時結構的平動位移，轉動位移和應變 都不再是無限小量，本構關系也是非線性的。3狀態(tài)非線性：除以上兩種非線性問題之外，還有一種非線性問題，即由于系統(tǒng)剛度和邊界 條件的性質隨物體的運動發(fā)生變化所引起的非線性響應。例如，一根只能拉伸的鋼索可能是松散 的, 也可能是繃緊的；軸承套可能是接觸的 , 也可能是不接觸的； 凍土可能是凍

10、結的 ,也可能是融 化的。這些系統(tǒng)的剛度和邊界條件由于系統(tǒng)狀態(tài)的改變在不同的值之間突然變化。狀態(tài)改變也許和載荷直接有關，也可能由某種外部原因引起。最為典型的就是接觸問題，接觸是狀態(tài)非線性類 型中一個特殊而重要的子集。通常情況下，狀態(tài)非線性問題可以在上述材料非線性和幾何非線性 類型中的每一種同時出現(xiàn)，從而使得問題的分析變得更為復雜。22 非線性問題的求解特點2. 2. 1非線性分析的基本問題非線性分析的基本問題是求出在當前荷載作用下的平衡狀態(tài)。如果作用的荷載被描述成時間 的函數(shù)，則物體有限元離散系統(tǒng)的平衡方程可以表示為：t R t F 0 (2.2)其中，矢量 t R 由 t 時刻外荷載的結點力

11、分量所構成， 而矢量 t F 則表示 t 時刻的單元應力所引 起的結點力分量。 平衡方程 (2.2) 應針對 t 時刻的幾何位形建立， 并應計入所有的非線性效應。 如 果是動力分析，矢量 t R 中還應當包括慣性力和阻尼力。在求解非線性問題時， (2.2) 式應在全部加載歷史中成立。 變量 t 的引入并不意味著一定是動力問題。在靜力分析中， t 不具有真實“時間”的含義，它的不同取值只是表示相應于不同位形 的不同的荷載水平。 但是，在動力分析或具有時間效應的靜力分析中， 變量 t 就有了它本來的 “時 間”的含義。2. 2. 2非線性方程組的增量逐步解法對于許多工程結構，我們所關心的常常是在特

12、定的荷載水平下，或相應的時間物體中的應力 和變形。實際問題根據(jù)其解法可以分為兩大類型。第一類問題無需計算中間變形過程，可直接求 解在給定荷載下的平衡位形。但是，如果問題的幾何性質或材料性質與路徑相關或與時間相關， 即該問題依賴于變形歷史，則中間變形過程的計算是不可缺少的，這就是第二類問題。從本質上 來說，非線性問題是第二類問題。此時，往往采用增量分析的方法。增量逐步解法的基本思想是：假定t時刻的解為已知，要求 t + A t時刻的解，其中， At是適當選擇的時間增量。在 t + A t時刻，式(2.2)寫成為：t t R t t F 0 (2.3)這里，左上標表示為 t A t 時刻的量。由于

13、 t 時刻的解為已知，因此，可以寫為：t t F t F F (2.4)式中， F 表示 t 到 tAt 時間間隔內，由于單元內應力增量所引起的結點力增量矢量。這一矢 量可以近似表示為：F t K U (2.5)式中，七K為相應于t時刻材料和幾何條件的切線剛度矩陣。U為At時間間隔中的結點位移增量，現(xiàn)在它還是未知的。將式 (2.4) 和(2.5) 代入式 (2.3) 中，得到：t K U t t R t F (2.6)上式中只有位移增量U為未知，一旦解出，即可算得 t + A t時刻的位移：t tU t U U(2.7)根據(jù) t t U ，就容易算出 tA t 時刻的應力及 t t F ， t

14、 t K ，于是馬上可以著手下一步的計 算。但要指出的是，式 (2.5) 是一個近似表達式，因此 tA t 時刻的解也是近似的，如果急于求 成的作下去，最終結果可能出現(xiàn)不可忽視的重大誤差以致于達到荒謬的地步。解決這一困難的辦 法是以花費計算時間為代價，即在t到t +At時步中進行足夠次數(shù)的迭代，以保證最終的解獲得足夠的精度。2. 2. 3 引入修正 Newton Raphson 迭代格式的增量逐步解法 現(xiàn)在更多采用的方法是在每一個荷載增量步中，使用Newton Raphson 迭代法或修正的NewtonRaphson 迭代法。由于后者不需要每次迭代時都計算切線剛度矩陣，因此在實際中具有 更廣泛

15、的應用?，F(xiàn)對該方法做簡單的介紹。在t時刻到t + A t時刻的時步中，修正 Newton Raphson法的迭代公式可以表示為：i t t R t t F i1(2.8)Ui(2.9)其中， i 表示迭代步數(shù)，依次取 1， 2， 3，其迭代所用的初始值正是時刻的解，即：(2.10)式 (2.8) 的右端項：t t i 1F 隨i的增加而逐步接近U0稱為第R 。因此，i 步迭代前的不平衡荷載。在迭代過程中，我們可事先對不平衡荷載的模給定一個精度指標，每次迭代后檢查不平衡荷載是否小于該指標。若滿足精度，則在求出t t U 之后轉入下一時步的計算，否則繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求為止。3材料非線性問題

16、的有限單元法31 材料非線性問題概述在所有的非線性分析問題中，材料非線性問題的處理相對簡單，不需要重新列出整個問題的 表達格式，只要將材料本構關系線性化，就可將線性問題的表達格式推廣用于非線性分析。一般 來說，通過試探和迭代的過程求解一系列線性問題，如果在最后階段，材料的狀態(tài)參數(shù)被調整得 滿足材料的非線性本構關系，則最終可得到問題的解答。材料非線性問題可以分為兩種類型。一類是不依賴于時間的彈塑性問題，其特點是當荷載作 用以后，材料變形立即發(fā)生，并且不再隨時間而變化。另一類是依賴于時間的粘(彈，塑)性問 題，其特點是荷載作用以后，材料不僅立即發(fā)生變形，而且變形隨時間繼續(xù)變化。在荷載保持不 變的條

17、件下， 由于材料粘性而繼續(xù)增長的變形稱之為蠕變； 另一方面， 在變形保持不變的條件下， 由于材料粘性而使應力衰減稱之為松弛。顯然，后一類材料非線性問題在求解時更為困難一些。 32 材料非線性本構關系限于篇幅，本文僅討論最為常見的彈塑性非線性本構關系。彈塑性材料進入塑性的特征是當 荷載卸去以后存在不可恢復的永久變形，因而在涉及卸載的情況下，應力應變之間不再存在惟一 的對應關系，這是區(qū)別于非線彈性材料的基本屬性。以材料的單向受力情況為例，只是在加載時 應力應變呈現(xiàn)非線性關系，還不足以判定材料是非線性彈性還是彈塑性。但是一經(jīng)卸載立即發(fā)生 兩者的區(qū)別，非線性彈性材料將沿原路徑返回，而彈塑性材料將依據(jù)不

18、同的加載歷史卸載后產(chǎn)生 不同的永久變形。任何一種彈塑性材料都應當滿足塑性力學的四條基本準則，這里對此作簡單的介紹：1 初始屈服條件： 規(guī)定了材料開始塑性變形的應力狀態(tài)。 在有限元分析中， 通常采用 V.Mises 準則。2 流動準則：規(guī)定塑性應變增量的分量和應力分量以及應力增量分量之間的關系。3 硬化準則：規(guī)定材料進入塑性變形后的后繼屈服函數(shù)。對于理想彈塑性材料，因無硬化 效應，后繼屈服函數(shù)和初始屈服函數(shù)一致；對于硬化材料，通常又有各向同性硬化準則， 隨動硬化準則和混合硬化準則三種不同的準則。4 加載，卸載準則：用以判別從一塑性狀態(tài)出發(fā)是繼續(xù)塑性加載還是彈性卸載，這是計算 中判定是否繼續(xù)塑性變

19、形以及決定是采用彈塑性本構關系還是彈性本構關系所必須的。各種類型的彈塑性材料可以從對各自的后繼屈服函數(shù)進行微分出發(fā)，進而推導出各自相應的 應力應變的增量關系，這里不一一列舉。需要進一步說明的是，對于處于高溫條件下工作的結構，必須考慮溫度對本構關系的影響。 比如隨著溫度的升高， 屈曲極限有所降低， 材料硬化特性也有所減少， 并逐漸接近理想塑性材料， 同時材料常數(shù) E, 口，a等也隨溫度變化而有所變化。至于長期工作在高溫條件下的結構還必須 考慮蠕變的效應。33 材料非線性問題的有限元表達格式 對于彈塑性材料，由于材料和結構的彈塑性行為與加載以及變形的歷史有關。因此，在進行 結構的彈塑性分析時，通常

20、將荷載分成若干個增量，然后對于每一荷載增量，將彈塑性方程線性 化，從而使彈塑性分析這一非線性問題分解為一系列的線性問題。按照這種思想， 首先建立增量形式的荷載條件和位移條件， 進而建立增量形式的虛位移原理， 即增量形式的最小勢能原理，最終即可得到基于增量形式的有限元表達格式。系統(tǒng)平衡方程形式 同前 (3.5) 式，其中切線剛度矩陣 t K 在這里是系統(tǒng)的彈塑性剛度矩陣。彈塑性增量有限元分析在將加載過程劃分為若干增量步以后，對于每一個增量步應包含下列 三個算法步驟：1 線性化彈塑性本構關系，并形成增量有限元方程。2 求解有限元方程。注意在求解過程中每個增量步或每次迭代時彈塑性剛度矩陣都可能發(fā) 生

21、局部的變化。3 積分本構方程，決定新的應力狀態(tài)，檢查平衡條件，并決定是否進行新的迭代。上述每一步驟的算法方案和數(shù)值方法，以及荷載增量步長的選擇都關系到整個求解過程的穩(wěn) 定性，精度和效率。這里尤其需要注意的是非線性方程組求解方案的選擇。通?？梢圆捎靡韵聨追N求解方案：無迭代的增量解法，具有變剛度迭代 （N-R 迭代） 的增量解 法和具有常剛度迭代（mN-R迭代）的增量解法。變剛度迭代具有良好的收斂性，允許采用較大的時 間步長，但每次迭代都要重新形成和分解新的剛度矩陣。而采用常剛度迭代可以節(jié)省上述計算費 用，缺點是收斂速度較慢，特別在接近荷載的極限狀況時，因此經(jīng)常需要同時采用加速迭代的措 施。具體采

22、用何種求解方案，應根據(jù)具體問題的特點，綜合考慮精度和效率兩方面因素。對于除彈塑性以外的材料非線性問題，例如熱彈塑性蠕變問題，粘彈塑性問題等，由于同 時涉及獨立于時間和依賴于時間的兩類非彈性變形以及本構方程的高度非線性，無論是其本構方 程的建立和它的積分方法，還是非線性方程組的求解方法都遠比通常的彈塑性分析困難得多。但 還是有很多共性的方面，這里不再展開詳述。4 幾何非線性問題的有限單元法41 幾何非線性問題概述在某一固體力學問題中，如果假定物體所發(fā)生的位移遠小于物體自身的幾何尺度，應變遠小 于 1，那么此問題就稱作滿足“小變形假定” 。在此前提下，建立物體或微元體的平衡條件時可以 不考慮物體的

23、位置和形狀（簡稱位形）的變化。因此分析中不必區(qū)分變形前和變形后的位形。同 時在加載和變形過程中的應變可用一階無窮小的線性應變進行度量。但是在實際中，我們往往會遇到很多不符合小變形假定的問題，例如板殼等薄壁結構的屈曲 問題。此時必須考慮變形對平衡的影響，即平衡條件應建立在變形后的位形上，同時應變表達式 也應包括位移的二次項。這樣一來，平衡方程和幾何關系都將是非線性的。這種由于大平動和大 轉動引起的非線性問題稱為幾何非線性問題。幾何非線性問題還有另外一種類型，例如金屬的成 型，橡皮型材料受荷載作用，都可能會出現(xiàn)很大的應變，這時除了采用非線性的平衡方程和幾何 關系以外，還需要引入相應的應力應變關系，

24、盡管對于后一問題材料通常還處于彈性狀態(tài)。當然 大多數(shù)大應變問題是和材料的非彈性性質聯(lián)系在一起的。這類幾何非線性問題即通常所說的大平 動，大轉動，大應變問題。42 幾何非線性問題的有限元表達格式早期幾何非線性有限元分析基本上是線性分析的擴展，針對各個具體問題分別進行分析。而 近年來，基于非線性連續(xù)介質力學原理的有限元分析取得很大發(fā)展，得到了統(tǒng)一的一般非線性分 析的表達格式。基于非線性連續(xù)介質力學，首先應當對大變形情況下的應變和應力進行度量。這是因為在非 線性問題中，由于存在的大位移，大應變而導致有限變形，使得原來傳統(tǒng)的小變形下的Cauchy方程不再適用。此時，根據(jù)連續(xù)體在不同的位形下坐標的變換，

25、對變形前后物體上某一線段變形 的度量可以采用兩種不同的應變度量方式。即用變形前坐標表示的Green 應變張量和用變形后坐標表示的 Almansi 應變張量。在大變形問題中，是用從變形后的物體內截取出的微元體來建立平 衡方程和與之等效的虛功原理的。因此，在從變形后物體內截取出的微元體上面定義的應力張量 稱為 Euler 應力張量。如果用于變形前的位形，可以具體定義另外兩種應力張量：Lagrange 應力張量和 Kirchhoff 應力張量。此外，在連續(xù)介質力學中還定義了一種其分量不隨材料剛體轉動而 變化的速率型應力張量， Jaumann 應力速率張量。在涉及幾何非線性問題的有限單元法中，通常都采

26、用增量分析的方法。為了得到方程的解答，所有的變量都應參考某一已經(jīng)求得的平衡位形。在實際分析中，通常有以下兩種選擇：1 .全Lagrange格式（Total Lagrange Formulation ，簡稱 T.L.格式），這種格式中所有變 量以時間0的位形作為參考位形。2 .更新 Lagrange 格式（Updated Lagrange Formulation，簡稱 U.L.格式），這種格式中所有變量以時間t的位形作為參考位形。因為在求解過程中參考位形是不斷改變的，所以稱之為更新的 Lagrange 格式。由以上兩種格式導出的求解方程在理論上是等效的，如若采用數(shù)學上相一致的本構關系，它 們將產(chǎn)

27、生相同的結果。但在求解的有限元矩陣方程本身和求解步驟上仍有一定的差別。在通用的 有限元程序中，通常同時包括這兩種格式，使用時可以根據(jù)所分析問題及材料本構關系的具體特 點和形式選擇最有效的格式。為進一步說明非線性分析的特點，下表列出按非線性問題的不同分類所采用的不同描述方法 和應力應變。表1非線性問題分類分析類型特點描述方法應力和應變僅材料非線性平動位移，轉動位移和應變無限小，應力應變關系是非線性的。僅材料非線性（M.N.O.）工程應力工程應變大平動大轉動小應變線元的平動位移和轉動位移充分大， 但線元的伸長和線元之間的角度改變無限小，應力應變關系是線性的或非線性的。全 Lagrange 描述(T

28、.L.)Kirchhoff 應力Gree n應變更新 Lagrange 描述(U丄.)Cauchy應力Almansi 應變大平動大轉動大應變線元的伸長和線元之間的角度改變充分大， 線兀的平動位移和轉動位移也可以充分大， 應力應變關系是線性的或非線性的。全 Lagrange 描述(T.L.)Kirchhoff 應力Gree n應變更新 Lagrange-Jaumann描述(U.L .J.)Jauman n應力率Almansi應變率4. 3幾何非線性問題有限元方程的求解對于幾何非線性有限元的求解，一般采用等參元對求解域進行離散。兩種表達格式T.L.和U.L.都可應用，關鍵在于對求解方程的線性化處理

29、。因為無論是T.L.格式還是U.L.格式，都是基于線性化處理后的虛位移原理建立的有限元矩陣方程，該矩陣方程僅是對于每一時間步長所應 求解的非線性方程的近似。由于系統(tǒng)的非線性性質，線性化處理帶來的誤差將可能導致解的漂移 或不穩(wěn)定。因此，仍需采用基于Newton-Raphson迭代格式或修正 Newton-Raphson迭代格式的增量逐步解法求解方程組。在實際分析中，兩種格式用于求解的時間一般情況下相差不多，究竟選擇哪種格式通常取決 于所采用的本構關系的具體形式。也就應當在求解之初便首先區(qū)分是大應變還是小應變，選擇格 式已在表1中列出，此處不再詳述。和材料非線性問題相比，幾何非線性問題有著更為復雜

30、多樣的荷載一位移路徑，如在荷載控制下的疾速通過和位移控制下的疾速通過。因此，荷載增量步長的自動選擇就顯得格外重要。近些年來，廣泛應用的一類荷載增量步長的自動選擇方法是“廣義弧長法”。在廣義弧長法中，用于調節(jié)荷載增量和位移增量在弧長AL中作用的比例因子a對弧長法的總體性能有很大的影響。一般采用的比例因子有：a=1的球面弧長法，a=0的柱面弧長法，a= Sp的橢圓弧長法。對于不同的結構和荷載情況，很難說以上a不同取值的三種情況中哪一種具有絕對的優(yōu)勢，但是a=0的柱面弧長法具有較好的普遍適應性。5桿索非線性有限元理論在結構非線性有限元分析中，最為重要也最為基本的是建立精度適合的各種有限單元列式， 并

31、在基于某些假定的基礎上推導出其單元剛度矩陣和有限元求解方程。下由于目前的研究和應用 中已經(jīng)出現(xiàn)了相當多的上述單元的理論和模型，限于篇幅并基于應用角度，每種單元僅選擇一種 最為常用，精度也較高的單元加以介紹。5. 15. 1. 11.2.3.5. 1.2非線性有限桿單元理論基本假定桿單元只能承受軸向力；桿單元的應力應變關系符合虎克定律; 桿單元位移變形為大位移小應變。剛度矩陣及有限元方程假定單元位移函數(shù)線性插值:Ui1Ui2Ui(5.1)tUi,jUitXj1Ui2Ui(5.2)在局部坐標系E中，應力應變關系為:E ep式中： ，表示局部坐標系下單元的應變和應力;T為:在局部和整體坐標系關系中，

32、轉軸時應力增量和應變增量的變換矩陣(5.3)式中：l , m, n是方向余弦。由此可得:l2n2 lmttEeptIn mn， 表示整體坐標系下單元的應力和應變。應變增量和位移增量的關系可用 B 矩陣表示，則有限元矩陣可表示為：ttK0tBLTDtBL tdVtVttKutBNL TSEtBNL tdVtV(5.4)ttFtBLT E dVtV式中：SE, d E分別為Kirchhoff應力矩陣和向量。將積分式展開，得到線性剛度矩陣，非線性剛度矩陣和內力項的矩陣表達式：llmlnllmlnlm2 mmnlm2 mmnttK0lnl2mn2 nlnl2mn2 nlmlnlmlnlm2 mmnlm

33、2 mmnlnmn2 nlnmn2 n(5.5)100100010010ttKuE001001A/L100100010010001001(5.6)ttFE A 1mnlmt n(5.7)按虛位移原理的矩陣列式為：ttK0tt K uu t tQ tt F(5.8)上式即為有限元基本方程。52 非線性有限索單元理論索結構在大跨結構中已得到廣泛的應用。隨著連續(xù)長索的不斷應用，對于索力學模型的精度要求也越來越高。初期的研究以解析法為基礎，對較為簡單理想的外荷載和邊界條件作了分析。 隨著計算技術的提高，提出并采用了考慮大變形的各種離散模型，主要有：兩節(jié)點直線桿單元模 型，以等效彈性模量來考慮垂度影響；兩節(jié)點拋物線索單元模型，以及為了提高分析精度采用內 插節(jié)點的多節(jié)點索單元 ( 三節(jié)點， 四節(jié)點， 五節(jié)點索單元 ) 模型和采用 B 樣條基構建的索單元模型。 下面簡要介紹懸鏈線索單元模型。5. 2. 1 基本假定1. 索為理想柔索，不受壓且無彎曲剛度；2. 滿足大變形，小應變要求；3. 索中外荷載沿索長均勻分布。5. 2. 2剛度矩陣及有限元方程作幾何非線性分析時，索單元的切線剛度可按下述方法計算。如圖1中為一個索單元，其中i點的位移是 "1, "2, "3; j