2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)理

1、山東卷(理科數(shù)學(xué))1.(2012山東,理1)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位),則z為().a.3+5ib.3-5ic.-3+5id.-3-5ia設(shè)z=a+bi,a,br,則z(2-i)=(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i,所以解得所以z=3+5i,故選a.2.(2012山東,理2)已知全集u=0,1,2,3,4,集合a=1,2,3,b=2,4,則(ua)b為().a.1,2,4b.2,3,4c.0,2,4d.0,2,3,4c易知ua=0,4,所以(ua)b=0,2,4,故選c.3.(2012山東,理3)設(shè)a>0,且a1,則“函數(shù)f(x)=ax在r上是

2、減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-a)x3在r上是增函數(shù)”的().a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件a由函數(shù)f(x)=ax在r上是減函數(shù)可得0<a<1,由函數(shù)g(x)=(2-a)x3在r上是增函數(shù)可得a<2,因?yàn)?<a<1a<2,a<20<a<1,所以題干中前者為后者的充分不必要條件,故選a.4.(2012山東,理4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查.為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2,960,分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間1,450的人做問(wèn)卷

3、a,編號(hào)落入?yún)^(qū)間451,750的人做問(wèn)卷b,其余的人做問(wèn)卷c.則抽到的人中,做問(wèn)卷b的人數(shù)為().a.7b.9c.10d.15c由題意可得,抽樣間隔為30,區(qū)間451,750恰好為10個(gè)完整的組,所以做問(wèn)卷b的有10人,故選c.5.(2012山東,理5)設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是().a.b.c.-1,6d.a作出可行區(qū)域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)z=3x-y可變?yōu)閥=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域內(nèi)平移l0,可知在a點(diǎn)處z取最小值為-,在b點(diǎn)處z取最大值為6,故選a.6.(2012山東,理6)執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入a=4,那么輸出的n的值為().a.2

4、b.3c.4d.5b由程序框圖知,當(dāng)n=0時(shí),p=1,q=3;當(dāng)n=1時(shí),p=5,q=7;當(dāng)n=2時(shí),p=21,q=15,此時(shí)n增加1變?yōu)?,滿(mǎn)足p>q,循環(huán)結(jié)束,輸出n=3,故選b.7.(2012山東,理7)若,sin 2=,則sin =().a.b.c.d.d由,得2.又sin 2=,故cos 2=-.故sin =.8.(2012山東,理8)定義在r上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+6)=f(x).當(dāng)-3x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x<3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=().a.335b.338c.1 678d.2 012b由

5、f(x+6)=f(x)得f(x)的周期為6,所以f(1)+f(2)+f(2 012)=335f(1)+f(2)+f(6)+f(1)+f(2),而f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+f(2 012)=338,故選b.9.(2012山東,理9)函數(shù)y=的圖象大致為().d令f(x)=,則f(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+),而f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).又因?yàn)楫?dāng)x時(shí),cos 6x>0,2x-2-x>0,

6、即f(x)>0,而f(x)=0有無(wú)數(shù)個(gè)根,所以d正確.10.(2012山東,理10)已知橢圓c:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線(xiàn)x2-y2=1的漸近線(xiàn)與橢圓c有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓c的方程為().a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1d雙曲線(xiàn)x2-y2=1的漸近線(xiàn)為y=±x,與橢圓c有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為16,可得四邊形為正方形,其邊長(zhǎng)為4,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與橢圓c的一個(gè)交點(diǎn)為(2,2),所以有+=1,又因?yàn)閑=,a2=b2+c2,聯(lián)立解方程組得a2=20,b2=5,故選d.11.(2012山東,理11

7、)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為().a.232b.252c.472d.484c完成這件事可分為兩類(lèi),第一類(lèi)3張卡片顏色各不相同共有=256種;第二類(lèi)3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有=216種,由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有472種,故選c.12.(2012山東,理12)設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,br,a0).若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),則下列判斷正確的是().a.當(dāng)a<0時(shí),x1+x2&

8、lt;0,y1+y2>0b.當(dāng)a<0時(shí),x1+x2>0,y1+y2<0c.當(dāng)a>0時(shí),x1+x2<0,y1+y2<0d.當(dāng)a>0時(shí),x1+x2>0,y1+y2>0b解析:由題意知函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,br,a0)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),等價(jià)于方程=ax2+bx(a,br,a0)有兩個(gè)不同的根x1,x2,即方程ax3+bx2-1=0有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2,因而可設(shè)ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2),即ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x-x2x2+2x1x

9、2x-x2),b=a(-2x1-x2),+2x1x2=0,-ax2=-1,x1+2x2=0,ax2>0,當(dāng)a>0時(shí),x2>0,x1+x2=-x2<0,x1<0,y1+y2=+=>0.當(dāng)a<0時(shí),x2<0,x1+x2=-x2>0,x1>0,y1+y2=+=<0.13.(2012山東,理13)若不等式|kx-4|2的解集為x|1x3,則實(shí)數(shù)k=. 2不等式|kx-4|2可化為-2kx-42,即2kx6,而不等式的解集為x|1x3,所以k=2.14.(2012山東,理14)如圖,正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1,e

10、,f分別為線(xiàn)段aa1,b1c上的點(diǎn),則三棱錐d1-edf的體積為. 三棱錐d1-edf的體積即為三棱錐f-dd1e的體積.因?yàn)閑,f分別為aa1,b1c上的點(diǎn),所以在正方體abcd-a1b1c1d1中edd1的面積為定值,f到平面aa1d1d的距離為定值1,所以=××1=.15.(2012山東,理15)設(shè)a>0.若曲線(xiàn)y=與直線(xiàn)x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a=. 由題意可得曲線(xiàn)y=與直線(xiàn)x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積s=dx=a2,解得a=.16.(2012山東,理16)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,一單位圓的圓心的初始位置在

11、(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)p的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為. (2-sin 2,1-cos 2)因?yàn)閳A心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此過(guò)程中p點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為2,其所對(duì)圓心角為2.如圖所示,過(guò)p點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn),垂足為a,圓心為c,與x軸相切于點(diǎn)b,過(guò)c作pa的垂線(xiàn),垂足為d,則pcd=2-,|pd|=sin=-cos 2,|cd|=cos=sin 2,所以p點(diǎn)坐標(biāo)為(2-sin 2,1-cos 2),即的坐標(biāo)為(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山東,理17)已知向量m=(sin x,1),n=(a>0

12、),函數(shù)f(x)=m·n的最大值為6.(1)求a;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在上的值域.解:(1)f(x)=m·n=asin xcos x+cos 2x=a=asin.因?yàn)閍>0,由題意知a=6.(2)由(1)f(x)=6sin.將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=6sin=6sin的圖象;再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=6sin的圖象.因此g(x)=6sin.因?yàn)閤,所以4x+.故g(x)在上的值域?yàn)?3,6.18.

13、(2012山東,理18)在如圖所示的幾何體中,四邊形abcd是等腰梯形,abcd,dab=60°,fc平面abcd,aebd,cb=cd=cf.(1)求證:bd平面aed;(2)求二面角f-bd-c的余弦值.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蝍bcd是等腰梯形,abcd,dab=60°,所以adc=bcd=120°.又cb=cd,所以cdb=30°.因此adb=90°,adbd.又aebd,且aead=a,ae,ad平面aed,所以bd平面aed.(2)解法一:由(1)知adbd,所以acbc.又fc平面abcd,因此ca,cb,cf兩兩垂直,以c為坐標(biāo)原

14、點(diǎn),分別以ca,cb,cf所在的直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)cb=1,則c(0,0,0),b(0,1,0),d,f(0,0,1),因此=,=(0,-1,1).設(shè)平面bdf的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m·=0,m·=0,所以x=y=z,取z=1,則m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面bdc的一個(gè)法向量,則cos<m,>=,所以二面角f-bd-c的余弦值為.解法二:取bd的中點(diǎn)g,連接cg,fg,由于cb=cd,因此cgbd.又fc平面abcd,bd平面abcd,所以fcbd.由于fccg=c,fc,cg平面fcg,所

15、以bd平面fcg.故bdfg.所以fgc為二面角f-bd-c的平面角.在等腰三角形bcd中,由于bcd=120°,因此cg=cb.又cb=cf,所以gf=cg,故cosfgc=,因此二面角f-bd-c的余弦值為.19.(2012山東,理19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒(méi)有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒(méi)有命中得0分,該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.(1)求該射手恰好命中一次的概率;(2)求該射手的總得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望ex.解:(1)記:“該射手恰好命中一次”為事件a,“該射手射擊

16、甲靶命中”為事件b,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件c,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件d,由題意知p(b)=,p(c)=p(d)=,由于a=b+d,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得p(a)=p(b+d)=p(b)+p()+p(d)=p(b)p()p()+p()p(c)p()+p()p()p(d)=××+××+××=.(2)根據(jù)題意,x的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得p(x=0)=p()=1-p(b)1-p(c)1-p(d)=××=,p(x=1)=p(b)=p(b)p()p()=&#

17、215;×=,p(x=2)=p(+d)=p()+p(d)=××+××=,p(x=3)=p(bc+bd)=p(bc)+p(bd)=××+××=,p(x=4)=p(cd)=××=,p(x=5)=p(bcd)=××=.故x的分布列為x012345p所以ex=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.20.(2012山東,理20)在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)

18、任意mn*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和sm.解:(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列,所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(nn*).(2)對(duì)mn*,若9m<an<92m,則9m+8<9n<92m+8.因此9m-1+1n92m-1.故得bm=92m-1-9m-1.于是sm=b1+b2+b3+bm=(9+93+92m-1)-(1+9

19、+9m-1)=-=.21.(2012山東,理21)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,f是拋物線(xiàn)c:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),m是拋物線(xiàn)c上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)m,f,o三點(diǎn)的圓的圓心為q,點(diǎn)q到拋物線(xiàn)c的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.(1)求拋物線(xiàn)c的方程;(2)是否存在點(diǎn)m,使得直線(xiàn)mq與拋物線(xiàn)c相切于點(diǎn)m?若存在,求出點(diǎn)m的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)若點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為,直線(xiàn)l:y=kx+與拋物線(xiàn)c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a,b,l與圓q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)d,e,求當(dāng)k2時(shí),|ab|2+|de|2的最小值.解:(1)依題意知f,圓心q在線(xiàn)段of的垂直平分線(xiàn)y=上,因?yàn)閽佄锞€(xiàn)c的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-,所以=,

20、即p=1,因此拋物線(xiàn)c的方程為x2=2y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)m(x0>0)滿(mǎn)足條件,拋物線(xiàn)c在點(diǎn)m處的切線(xiàn)斜率為y'='=x0.所以直線(xiàn)mq的方程為y-=x0(x-x0),令y=得xq=+,所以q.又|qm|=|oq|,故+=+,因此=,又x0>0,所以x0=,此時(shí)m(,1).故存在點(diǎn)m(,1),使得直線(xiàn)mq與拋物線(xiàn)c相切于點(diǎn)m.(3)當(dāng)x0=時(shí),由(2)得q.q的半徑為r=,所以q的方程為+=.由整理得2x2-4kx-1=0.設(shè)a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|ab|2=(1+

21、k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.設(shè)d,e兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x3,y3),(x4,y4).由于2=+>0,x3+x4=,x3x4=-,所以|de|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=+.因此|ab|2+|de|2=(1+k2)(4k2+2)+.令1+k2=t,由于k2,則t5.所以|ab|2+|de|2=t(4t-2)+=4t2-2t+,設(shè)g(t)=4t2-2t+,t,因?yàn)間'(t)=8t-2-,所以當(dāng)t,g'(t)g'=6,即函數(shù)g(t)在t是增函數(shù),所以當(dāng)t=時(shí)g(t)取到最小值,因此當(dāng)k=時(shí),|ab|2+|de|2取到最小值.22.(2012山東,理22)已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e=2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)與x軸平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)g(x)=(x2+x)f'(x),其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對(duì)任意x>0,g(x)<1+e-2.(1)解:由f