2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)文

1、1 / 12 浙江文科浙江文科 選擇題部分(共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10小題,每小題 5分,共 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2013 浙江,文 1)設(shè)集合 s=x|x-2,t=x|-4x1,則 st=( ). a.-4,+) b.(-2,+) c.-4,1 d.(-2,1 答案:d 解析:集合 s與集合 t 都表示連續(xù)的實數(shù)集,此類集合的運算可通過數(shù)軸直觀表示出來.,故 st=x|-2x1,故選 d. 2.(2013 浙江,文 2)已知 i是虛數(shù)單位,則(2+i)(3+i)=( ). a.5-5i b.7-5i c.5+5i d.7+5i

2、 答案:c 解析:(2+i)(3+i)=6+5i+i2,因為 i2=-1,所以(2+i)(3+i)=5+5i,故選 c. 3.(2013 浙江,文 3)若 r,則“=0”是 sin cos ”的( ). a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:a 解析:當(dāng) =0 時,sin cos 成立;若 sin cos ,可取6等值,所以“=0”是“sin f(1),則( ). a.a0,4a+b=0 b.a0,2a+b=0 d.af(1)且 f(0),f(1)在對稱軸同側(cè),故函數(shù) f(x)在(-,2上單調(diào)遞減,則拋物線開口方向朝上,知 a0,故選 a.

3、8.(2013 浙江,文 8)已知函數(shù) y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù) y=f(x)的圖象如右圖所示,則該函數(shù)的圖象是( ). 答案:b 解析:由導(dǎo)函數(shù)圖象知,函數(shù) f(x)在-1,1上為增函數(shù).當(dāng) x(-1,0)時 f(x)由小到大,則 f(x)圖象的增長趨勢由緩到快,當(dāng) x(0,1)時 f(x)由大到小,則 f(x)的圖象增長趨勢由快到緩,故選 b. 9.(2013 浙江,文 9)如圖,f1,f2是橢圓 c1:x24+y2=1 與雙曲線 c2的公共焦點,a,b 分別是 c1,c2在第二、四象限的公共點.若四邊形 af1bf2為矩形,則 c2的離心率是( ). 4 / 12

4、 a.2 b.3 c.32 d.62 答案:d 解析:橢圓 c1中,|af1|+|af2|=2a=4,|f1f2|=2c=23.又四邊形 af1bf2為矩形,f1af2=90 ,|af1|2+|af2|2=|f1f2|2,|af1|=2-2,|af2|=2+2,雙曲線 c2中,2c=23,2a=|af2|-|af1|=22,故 e=32=62,故選 d. 10.(2013 浙江,文 10)設(shè) a,br,定義運算“”和“”如下: ab=a,a b,b,a b,ab=b,a b,a,a b. 若正數(shù) a,b,c,d滿足 ab4,c+d4,則( ). a.ab2,cd2 b.ab2,cd2 c.ab

5、2,cd2 d.ab2,cd2 答案:c 解析:由題意知,運算“”為兩數(shù)中取小,運算“”為兩數(shù)中取大,由 ab4知,正數(shù) a,b 中至少有一個大于等于 2.由 c+d4 知,c,d中至少有一個小于等于 2,故選 c. 非選擇題部分(共 100 分) 二、填空題:本大題共 7小題,每小題 4分,共 28 分. 11.(2013 浙江,文 11)已知函數(shù) f(x)=x-1.若 f(a)=3,則實數(shù) a= . 答案:10 解析:由 f(a)=a-1=3,得 a-1=9,故 a=10. 12.(2013 浙江,文 12)從 3男 3女共 6名同學(xué)中任選 2 名(每名同學(xué)被選中的機會均等),這 2 名都

6、是女同學(xué)的概率等于 . 5 / 12 答案:15 解析:從 3 男,3女中任選兩名,共有 15 種基本情況,而從 3女中任選 2名女同學(xué),則有 3 種基本情況,故所求事件的概率為315=15. 13.(2013 浙江,文 13)直線 y=2x+3被圓 x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于 . 答案:45 解析:圓的圓心為(3,4),半徑是 5,圓心到直線的距離 d=|23-4+3|22+12= 5,可知弦長 l=252-(5)2=45. 14.(2013 浙江,文 14)若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值等于 . 答案:95 解析:該程序框圖為循環(huán)結(jié)構(gòu). 當(dāng) k=1時,s=1+

7、112=32; 當(dāng) k=2時,s=32+123=53; 當(dāng) k=3時,s=53+134=74; 當(dāng) k=4時,s=74+145=95,循環(huán)結(jié)束,輸出 s=95. 6 / 12 15.(2013 浙江,文 15)設(shè) z=kx+y,其中實數(shù) x,y滿足x 2,x-2y + 4 0,2x-y-4 0.若 z的最大值為 12,則實數(shù)k= . 答案:2 解析:滿足條件x 2,x-2y + 4 0,2x-y-4 0的區(qū)域 d如圖陰影部分所示,且 a(2,3),b(4,4),c(2,0).作直線 l0:y=-kx,當(dāng)k0 時,y=-kx 為減函數(shù),在 b處 z最大,此時 k=2;當(dāng) k12時,在 a處取得最

8、大值,k=92(舍去),故 k=2. 16.(2013 浙江,文 16)設(shè) a,br,若 x0時恒有 0 x4-x3+ax+b(x2-1)2,則 ab= . 答案:-1 解析:令 x=1,得 01-1+a+b0, 整理,得 a+b=0, 令 x=-1,得 01-(-1)-a+b0, 整理,得 a-b=2, 解組成的方程組,得a = 1,b = -1. ab=-1. 17.(2013 浙江,文 17)設(shè) e1,e2為單位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,yr.若 e1,e2的夾角為6,則|x|b|的最大值等于 . 答案:2 解析:因為 b0,所以 b=xe1+ye2,x0,y0. 7 /

9、12 又|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+3xy,|x|2|b|2=x22+2+3xy=122+3+1,不妨設(shè)yx=t,則|x|2|b|2=12+3t+1,當(dāng) t=-32時,t2+3t+1 取得最小值14,此時|x|2|b|2取得最大值,所以|x|b|的最大值為 2. 三、解答題:本大題共 5小題,共 72 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 18.(2013 浙江,文 18)(本題滿分 14分)在銳角abc中,內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c,且 2asin b=3b. (1)求角 a的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求abc 的面積. 解:(1)由 2as

10、in b=3b及正弦定理aa=bb,得 sin a=32. 因為 a是銳角,所以 a=3. (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos a,得 b2+c2-bc=36. 又 b+c=8,所以 bc=283. 由三角形面積公式 s=12bcsin a,得abc的面積為733. 19.(2013 浙江,文 19)(本題滿分 14分)在公差為 d的等差數(shù)列an中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求 d,an; (2)若 d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|. 解:(1)由題意得 5a3a1=(2a2+2)2, 即 d2-3d-4=0. 故 d=-1或

11、 d=4. 所以 an=-n+11,nn*或 an=4n+6,nn*. (2)設(shè)數(shù)列an的前 n項和為 sn,因為 d1,求 f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值. 解:(1)當(dāng) a=1時,f(x)=6x2-12x+6, 所以 f(2)=6. 又因為 f(2)=4,所以切線方程為 y=6x-8. (2)記 g(a)為 f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值. 10 / 12 f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f(x)=0,得到 x1=1,x2=a. 當(dāng) a1時, x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f(x) + 0 - 0 + f(

12、x) 0 單調(diào) 遞增 極大值 3a-1 單調(diào) 遞減 極小值 a2(3-a) 單調(diào) 遞增 4a3 比較 f(0)=0和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)=0,1 3. 當(dāng) a-1 時, x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f(x) - 0 + f(x) 0 單調(diào)遞減 極小值 3a-1 單調(diào)遞增 -28a3-24a2 得 g(a)=3a-1. 綜上所述,f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值為 g(a)=3a-1,a -1,0,1 3. 22.(2013 浙江,文 22)(本題滿分 14分) 已知拋物線 c 的頂點為 o(0,0),焦點為 f(0,1). (1)求拋物線 c

13、的方程; 11 / 12 (2)過點 f 作直線交拋物線 c于 a,b 兩點.若直線 ao,bo 分別交直線 l:y=x-2 于 m,n 兩點,求|mn|的最小值. 解:(1)由題意可設(shè)拋物線 c的方程為 x2=2py(p0),則p2=1, 所以拋物線 c 的方程為 x2=4y. (2)設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),直線 ab的方程為 y=kx+1. 由y = kx + 1,x2= 4y消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 從而|x1-x2|=4k2+ 1. 由y =y1x1x,y = x-2, 解得點 m的橫坐標(biāo) xm=2x1x1-y1=2x1x1-x124=84-x1. 同理點 n 的橫坐標(biāo) xn=