2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(廣東卷)文

1、1 / 10 2014 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷) 數(shù)學(xué)(文科) 本試卷共 4 頁(yè),21 小題,滿分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘. 注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用 2b 鉛筆將試卷類型(a)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”. 2.選擇題每小題選出答案后,用 2b 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上. 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需

2、改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效. 4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用 2b 鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無(wú)效. 5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回. 參考公式:錐體的體積公式 v=13sh,其中 s 為錐體的底面積,h為錐體的高. 一組數(shù)據(jù) x1,x2,xn的方差 s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù). 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,滿分 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2014

3、廣東,文 1)已知集合 m=2,3,4,n=0,2,3,5,則 mn=( ). a.0,2 b.2,3 c.3,4 d.3,5 答案:b 解析:由題意知 mn=2,3,故選 b. 2.(2014 廣東,文 2)已知復(fù)數(shù) z滿足(3-4i)z=25,則 z=( ). a.-3-4i b.-3+4i c.3-4i d.3+4i 答案:d 解析:由題意知 z=253-4i=25(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3+4i,故選 d. 3.(2014 廣東,文 3)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),則 b-a=( ). a.(-2,1) b.(2,-1) c.(2,0) d.(4,3) 2

4、/ 10 答案:b 解析:由題意得 b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故選 b. 4.(2014 廣東,文 4)若變量 x,y 滿足約束條件 + 2 8,0 4,0 3,則 z=2x+y 的最大值等于( ). a.7 b.8 c.10 d.11 答案:c 解析:畫出 x,y 約束條件限定的可行域如圖陰影部分所示,作直線 l:y=-2x,平移直線 l,經(jīng)過可行域上的點(diǎn) a(4,2)時(shí),z 取最大值,即 zmax=24+2=10,故選 c. 5.(2014 廣東,文 5)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ). a.2x-12 b.x3sin x c.2cos x+1 d.x2+2x 答案:a 解

5、析:對(duì)于 a 選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)?r.令 f(x)=2x-12,f(-x)=2-x-12-=12-2x=-f(x),故 a 正確;對(duì)于 b 選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)?r,令 g(x)=x3sin x,g(-x)=(-x)3sin(-x)=x3sin x=g(x),該函數(shù)為偶函數(shù);對(duì)于 c 選項(xiàng),函數(shù)定義域?yàn)?r,令h(x)=2cos x+1,h(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=h(x),h(x)為偶函數(shù);對(duì)于 d 選項(xiàng),令 m(x)=x2+2x,由 m(1)=3,m(-1)=32,m(1)m(-1),m(1)-m(-1),知該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故選 a. 6.(2014 廣東,

6、文 6)為了解 1 000 名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為 40 的樣本,則分段的間隔為( ). a.50 b.40 c.25 d.20 答案:c 解析:由題意知分段間隔為1 00040=25,故選 c. 7.(2014 廣東,文 7)在abc 中,角 a,b,c 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a,b,c,則“ab”是“sin asin b”的( ). a.充分必要條件 b.充分非必要條件 c.必要非充分條件 d.非充分非必要條件 3 / 10 答案:a 解析:由正弦定理sin=sin=2r(r為三角形外接圓半徑)得,a=2rsin a,b=2rsin b,故 ab2rsin a2r

7、sin bsin asin b,故選 a. 8.(2014 廣東,文 8)若實(shí)數(shù) k 滿足 0k5,則曲線21625-=1 與曲線216-25=1 的( ). a.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 b.虛半軸長(zhǎng)相等 c.離心率相等 d.焦距相等 答案:d 解析:0k0,16-k0, 對(duì)于雙曲線21625-=1,實(shí)軸長(zhǎng)為 8,虛軸長(zhǎng)為 25-,焦距為 216 + 5-=221-;對(duì)于雙曲線216-25=1,實(shí)軸長(zhǎng)為 216-,虛軸長(zhǎng)為 25,焦距為 216- + 5=221-,因此兩雙曲線的焦距相等,故選 d. 9.(2014 廣東,文 9)若空間中四條兩兩不同的直線 l1,l2,l3,l4,滿足 l1l2,l2l

8、3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是( ). a.l1l4 b.l1l4 c.l1與 l4既不垂直也不平行 d.l1與 l4的位置關(guān)系不確定 答案:d 解析:如圖所示正方體 abcd-a1b1c1d1,取 l1為 bb1,l2為 bc,l3為 ad,l4為 cc1,則 l1l4,可知選項(xiàng) a 錯(cuò)誤;取 l1為bb1,l2為 bc,l3為 ad,l4為 c1d1,則 l1l4,故 b 錯(cuò)誤,則 c 也錯(cuò)誤,故選 d. 10.(2014 廣東,文 10)對(duì)任意復(fù)數(shù) 1,2,定義 1 2=12,其中2是 2的共軛復(fù)數(shù).對(duì)任意復(fù)數(shù) z1,z2,z3,有如下四個(gè)命題: (z1+z2) z3=(z1 z3

9、)+(z2 z3); z1 (z2+z3)=(z1 z2)+(z1 z3); (z1 z2) z3=z1 (z2 z3); 4 / 10 z1 z2=z2 z1. 則真命題的個(gè)數(shù)是( ). a.1 b.2 c.3 d.4 答案:b 解析:由定義知(z1+z2) z3=(z1+z2)3=z13+z23=(z1 z3)+(z2 z3), 故正確;對(duì)于,z1 (z2+z3)=z12+ 3=z1(2+ 3)=z12+z13=z1 z2+z1 z3,故正確;對(duì)于,左邊=(z12) z3=z123,右邊=z1 (z23)=z123=z12z3,左邊右邊,故錯(cuò)誤;對(duì)于,取 z1=1+i,z2=2+i,左邊=

10、z12=(1+i)(2-i)=3+i;右邊=z21=(2+i)(1-i)=3-i,左邊右邊,故錯(cuò)誤,故選 b. 二、填空題:本大題共 5 小題,考生作答 4 小題,每小題 5 分,滿分 20 分. (一)必做題(1113 題) 11.(2014 廣東,文 11)曲線 y=-5ex+3 在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為 . 答案:5x+y+2=0 解析:y=-5ex,所求曲線的切線斜率 k=y|x=0=-5e0=-5,切線方程為 y-(-2)=-5(x-0),即 5x+y+2=0. 12.(2014 廣東,文 12)從字母 a,b,c,d,e 中任取兩個(gè)不同字母,則取到字母 a 的概率為 . 答案

11、:25 解析:基本事件總數(shù)有 10 個(gè),即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含 a 的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共 4 個(gè),故由古典概型知所求事件的概率 p=410=25. 13.(2014 廣東,文 13)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且 a1a5=4,則 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 答案:5 解析:由等比數(shù)列性質(zhì)知 a1a5=a2a4=32=4. an0,a3=2,a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=25,

12、log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5)=log225=5. (二)選做題(1415 題,考生只能從中選做一題) 14.(2014 廣東,文 14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,曲線 c1與 c2的方程分別為 2cos2=sin 與cos =1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為 x 軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則曲線 c1與 c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 . 答案:(1,2) 5 / 10 解析:曲線 c1的普通方程為 y=2x2,曲線 c2的普通方程為 x=1,聯(lián)立 = 1, = 22,解得 = 1, = 2.因此交點(diǎn)

13、的直角坐標(biāo)為(1,2). 15.(2014 廣東,文 15)(幾何證明選講選做題)如圖,在平行四邊形 abcd 中,點(diǎn) e在 ab上且 eb=2ae,ac 與 de交于點(diǎn) f,則的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)= . 答案:3 解析:eb=2ae,ab=3ae. 又四邊形 abcd 為平行四邊形, abcd,ab=cd,cdfaef, 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)=3. 三、解答題:本大題共 6 小題,滿分 80 分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(本小題滿分 12 分)(2014 廣東,文 16)已知函數(shù) f(x)=asin( +3),xr,且 f(512) =322. (1)求 a的值; (2)若 f()-

14、f(-)=3,(0,2),求 f(6-). 解:(1)f(x)=asin( +3),且 f(512) =322, f(512)=asin(512+3)=asin34=a22=322, a=3. (2)f(x)=3sin( +3),且 f()-f(-)=3, f()-f(-)=3sin( +3)-3sin(- +3) =3(sincos3+ cossin 3)-(sin 3cos- cos 3sin) =32sin cos 3=3sin =3, sin =33,且 (0,2), cos =1-sin2 =63. f(6-)=3sin(6- +3) 6 / 10 =3sin(2-)=3cos =6

15、. 17.(本小題滿分 13 分)(2014 廣東,文 17)某車間 20 名工人年齡數(shù)據(jù)如下表: 年齡(歲) 工人數(shù)(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合計(jì) 20 (1)求這 20 名工人年齡的眾數(shù)與極差; (2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這 20 名工人年齡的莖葉圖; (3)求這 20 名工人年齡的方差. 解:(1)由圖可知,眾數(shù)為 30.極差為:40-19=21. (2) 1 9 2 888999 3 000001111222 4 0 (3)根據(jù)表格可得: =19+283+293+30 5+314+323+4020 =30, s2=120(1

16、9-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2+(41-30)2 =13.65. 7 / 10 18.(本小題滿分 13 分)(2014 廣東,文 18)如圖 1,四邊形 abcd 為矩形,pd平面 abcd,ab=1,bc=pc=2.作如圖2 折疊;折痕 efdc,其中點(diǎn) e,f分別在線段 pd,pc 上,沿 ef 折疊后點(diǎn) p 疊在線段 ad 上的點(diǎn)記為 m,并且mfcf. 圖 1 圖 2 (1)證明:cf平面 mdf; (2)求三棱錐 m-cde 的體積. (1)證明:pd平面 abcd,且 pd平面 pcd, 平面 pc

17、d面 abcd,交線為 cd. 又四邊形 abcd 為矩形,adcd,ad平面 abcd, md平面 pcd. 又由于 cf平面 pcd, mdcf. mfcf,且 mdmf=m, cf平面 mdf. (2)解:md平面 pcd, vm-cde=13scdemd. cf平面 mdf,df平面 mdf, cfdf. 在 rtpcd 中,cd=1,pc=2, pcd=60 ,且 cd=1, 8 / 10 cf=12,故 pf=2-12=32. mf=32. 又cfmf,故利用勾股定理得:cm=102, 在 rtmdc 中,cm=102,cd=1,得 dm=62. 又f點(diǎn)位于 cp的四等分點(diǎn),且 p

18、d=3, e為 pd 的四等分點(diǎn),故 de=34, scde=12cdde=12134=38, vm-cde=13scdedm=216. 19.(本小題滿分 14 分)(2014 廣東,文 19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn,且 sn滿足2-(n2+n-3) sn-3(n2+n)=0,nn*. (1)求 a1的值; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (3)證明:對(duì)一切正整數(shù) n,有11(1+1)+12(2+1)+1(+1)13. (1)解:由2-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*, 令 n=1,得12-(-1)s1-6=0, 即12+a1-6=0,解得 a1=2 或

19、 a1=-3. 由于數(shù)列an為正數(shù)數(shù)列,所以 a1=2. (2)解:由2-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*, 因式分解得(sn+3)(sn-n2-n)=0. 由數(shù)列an為正數(shù)數(shù)列可得 sn-n2-n=0, 即 sn=n2+n. 當(dāng) n2 時(shí), an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n, 由 a1=2 可得,nn*,an=2n. (3)證明:由(2)可知1(+1)=12(2+1), nn*,1(+1)=12(2+1)1(2-1)(2+1)=12(12-1-12+1). 當(dāng) n=1 時(shí),顯然有11(1+1)=1613; 9 / 10 當(dāng) n2 時(shí),11(1+1

20、)+12(2+1)+1(+1) 12(2+1)+12(13-15+15-17+ +12-1- 12+1) =131212+113, 所以,對(duì)一切正整數(shù) n,有11(1+1)+12(2+1)+1(+1)b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0),離心率為53. (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若動(dòng)點(diǎn) p(x0,y0)為橢圓 c 外一點(diǎn),且點(diǎn) p到橢圓 c 的兩條切線相互垂直,求點(diǎn) p的軌跡方程. 解:(1)由 c=5,e=53得:a=3,b=2. 橢圓方程為:29+24=1. (2)設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為 a,b. 當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí),即 a,b兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn),p 點(diǎn)坐標(biāo)為( 3, 2). 當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí), 設(shè)橢圓切線斜率為 k,過點(diǎn) p 的橢圓的切線方程為 y-y0=k(x-x0),