2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(課標全國Ⅰ) (2)

1、1 / 9 2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 課標全國理科數(shù)學 注意事項: 1.本試題分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,第卷 1 至 3 頁,第卷 3 至 5 頁. 2.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置. 3.全部答案在答題卡上完成,答在本試題上無效. 4.考試結(jié)束后,將本試題和答題卡一并交回. 第卷 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2015 課標全國,理 1)設復數(shù) z 滿足1+1=i,則|z|=( ) a.1 b.2 c.3 d.2 答案:

2、a 解析:1+1=i,z=i1i+1=(i1)(i+1)(i+1)(i+1)=i,|z|=1. 2.(2015 課標全國,理 2)sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10 = ( ) a.-32 b.32 c.-12 d.12 答案:d 解析:sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10 =sin 20 cos 10 +cos 20 sin 10 =sin(10 +20 )=sin 30 =12. 3.(2015 課標全國,理 3)設命題 p:nn,n22n,則p 為( ) a.nn,n22n b.nn,n22n c.nn,n22n d.nn,n2=2n 答案:

3、c 解析:p:nn,n22n, p:nn,n22n.故選 c. 4.(2015 課標全國,理 4)投籃測試中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為 0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為( ) a.0.648 b.0.432 c.0.36 d.0.312 答案:a 解析:由條件知該同學通過測試,即 3 次投籃投中 2 次或投中 3 次. 故 p=c320.62(1-0.6)+c330.63=0.648. 5.(2015 課標全國,理 5)已知 m(x0,y0)是雙曲線 c:22-y2=1 上的一點,f1,f2是 c 的兩個焦點.若1

4、 2 0,則 y0的取值范圍是( ) a.(33,33) b.(36,36) c.(223,223) d.(233,233) 答案:a 解析:由條件知 f1(-3,0),f2(3,0), 1 =(-3-x0,-y0),2 =(3-x0,-y0), 1 2 = 02+ 02-30. 又022 02=1, 02=202+2.代入得0213, -33y00,由函數(shù)圖像可知,其周期為 t=2 (5414)=2, 所以2=2,解得 =. 所以 f(x)=cos(x+). 由圖像可知,當 x=12(14+54) =34時,f(x)取得最小值, 即 f(34)=cos(34+ )=-1, 解得34+=2k+

5、(kz), 解得 =2k+4(kz). 令 k=0,得 =4,所以 f(x)=cos( +4). 令 2kx+42k+(kz), 解得 2k-14x2k+34(kz). 所以函數(shù) f(x)=cos( +4)的單調(diào)遞減區(qū)間為2 14,2 +34(kz).結(jié)合選項知應選 d. 9.(2015 課標全國,理 9)執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的 t=0.01,則輸出的 n=( ) 3 / 9 a.5 b.6 c.7 d.8 答案:c 解析:s=1,n=0,m=12,t=0.01, s=s-m=12,m=2=14,n=n+1=1,s0.01, s=14,m=18,n=2,s0.01, s=18,m=11

6、6,n=3,s0.01, s=116,m=132,n=4,s0.01, s=132,m=164,n=5,s0.01, s=164,m=1128,n=6,s0.01, s=1128,m=1256,n=7,s0.01, n=7. 10.(2015 課標全國,理 10)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( ) a.10 b.20 c.30 d.60 答案:c 解析:由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展開式的通項為 tr+1=c5(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有當 r=2,即t3=c52(x2+x)3y2中才能含有 x5y2項.設(x2+x)3的展開式的通

7、項為 si+1=c3(x2)3-i xi=c3x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,則(x2+x)3的展開式中 x5項的系數(shù)是c31=3,故(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)是c523=103=30. 11.(2015 課標全國,理 11) 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為 r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為 16+20,則 r=( ) a.1 b.2 c.4 d.8 答案:b 解析:由條件知,該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面圓直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成,其表面積是一個矩形面積、兩個半圓

8、面積、圓柱側(cè)面積的一半、球表面積的一半相加所得,所以表面積為 s表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得 r=2. 12.(2015 課標全國,理 12)設函數(shù) f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a1,若存在唯一的整數(shù) x0使得 f(x0)0,則 a 的取值范圍是( ) 4 / 9 a.32e,1) b.32e,34) c.32e,34) d.32e,1) 答案:d 解析:設 g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),則不等式 f(x)0 即為 g(x)h(x). 因為 g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 當 x-1

9、2時,g(x)-12時,g(x)0,函數(shù) g(x)單調(diào)遞增. 所以 g(x)的最小值為 g(12). 而函數(shù) h(x)=a(x-1)表示經(jīng)過點 p(1,0),斜率為 a 的直線. 如圖,分別作出函數(shù) g(x)=ex(2x-1)與 h(x)=a(x-1)的大致圖像. 顯然,當 a0 時,滿足不等式 g(x)h(x)的整數(shù)有無數(shù)多個. 函數(shù) g(x)=ex(2x-1)的圖像與 y 軸的交點為 a(0,-1),與 x 軸的交點為 d(12,0). 取點 c(1,3e). 由圖可知,不等式 g(x)h(x)只有一個整數(shù)解時,須滿足 kpcakpa. 而 kpc=0(3e)1(1)=32e,kpa=0(

10、1)10=1, 所以32ea0),所以( 0)2+ (0 2)2=4-a,解得 a=32,故圓心為(32,0),此時半徑 r=4-32=52,因此該圓的標準方程是( 32)2+y2=254. 15.(2015 課標全國,理 15)若 x,y 滿足約束條件 1 0, 0, + 4 0,則的最大值為 . 答案:3 解析:畫出約束條件對應的平面區(qū)域(如圖),點 a為(1,3),要使最大,則00最大,即過點(x,y),(0,0)兩點的直線斜率最大,由圖形知當該直線過點 a時,()max=3010=3. 5 / 9 16.(2015 課標全國,理 16)在平面四邊形 abcd 中,a=b=c=75 ,b

11、c=2,則 ab 的取值范圍是 . 答案:(6 2,6 + 2) 解析:如圖. 作 cead 交 ab于 e,則ceb=75 ,ecb=30 . 在cbe中,由正弦定理得,eb=6 2. 延長 cd 交 ba的延長線于 f,則f=30 . 在bcf中,由正弦定理得,bf=6 + 2, 所以 ab的取值范圍為(6 2,6 + 2). 三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 17)sn為數(shù)列an的前 n 項和.已知 an0,2+2an=4sn+3. (1)求an的通項公式; (2)設 bn=1+1,求數(shù)列bn的前 n 項和. 解

12、:(1)由2+2an=4sn+3,可知+12+2an+1=4sn+1+3. 可得+12 2+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=+12 2=(an+1+an)(an+1-an). 由于 an0,可得 an+1-an=2. 又12+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a1=3. 所以an是首項為 3,公差為 2 的等差數(shù)列,通項公式為 an=2n+1. 6 分 (2)由 an=2n+1 可知 bn=1+1=1(2+1)(2+3)=12(12+112+3). 設數(shù)列bn的前 n 項和為 tn,則 tn=b1+b2+bn =12(1315) + (1517) +

13、+ (12+112+3) =3(2+3). 12 分 18.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 18) 如圖,四邊形 abcd 為菱形,abc=120 ,e,f是平面 abcd 同一側(cè)的兩點,be平面 abcd,df平面abcd,be=2df,aeec. (1)證明:平面 aec平面 afc; (2)求直線 ae與直線 cf所成角的余弦值. 解: (1)連結(jié) bd,設 bdac=g,連結(jié) eg,fg,ef. 在菱形 abcd 中,不妨設 gb=1. 由abc=120 ,可得 ag=gc=3. 6 / 9 由 be平面 abcd,ab=bc,可知 ae=ec. 又 aeec,所以

14、eg=3,且 egac. 在 rtebg 中,可得 be=2,故 df=22. 在 rtfdg 中,可得 fg=62. 在直角梯形 bdfe中,由 bd=2,be=2,df=22,可得 ef=322. 從而 eg2+fg2=ef2,所以 egfg. 又 acfg=g,可得 eg平面 afc. 因為 eg平面 aec,所以平面 aec平面 afc. 6 分 (2)如圖,以 g 為坐標原點,分別以 , 的方向為 x 軸、y 軸正方向,| |為單位長,建立空間直角坐標系 g-xyz. 由(1)可得 a(0,-3,0),e(1,0,2),f(1,0,22),c(0,3,0), 所以 =(1,3,2),

15、 = (1,3,22). 10 分 故 cos= | | |=-33. 所以直線 ae與直線 cf 所成角的余弦值為33. 12 分 19.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量 y(單位:t)和年利潤 z(單位:千元)的影響.對近 8 年的年宣傳費 xi和年銷售量 yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. x y w i=18(xi-x)2 i=18(wi-w)2 i=18(xi-x)(yi-y) i=18(wi-w)(yi-y) 46.6 563 6.8 2

16、89.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi=, =18=18wi. (1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx 與 y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程; (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x,y 的關(guān)系為 z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題: 年宣傳費 x=49 時,年銷售量及年利潤的預報值是多少? 年宣傳費 x 為何值時,年利潤的預報值最大? 附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線 v=+u 的斜率和截

17、距的最小二乘估計分別為=1()()=1()2,= . 解:(1)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類型. 2 分 (2)令 w=,先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程. 由于=18()()=18()2=108.81.6=68, = =563-686.8=100.6, 所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為=100.6+68w,因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為=100.6+68. 6 分 (3)由(2)知,當 x=49 時,年銷售量 y 的預報值 =100.6+6849=576.6, 7 / 9 年利潤 z 的預報值=576.60.2-49=66.32.

18、 9 分 根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤 z 的預報值 =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12. 所以當 =13.62=6.8,即 x=46.24 時,取得最大值. 故年宣傳費為 46.24 千元時,年利潤的預報值最大. 12 分 20.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 20)在直角坐標系 xoy 中,曲線 c:y=24與直線 l:y=kx+a(a0)交于 m,n兩點. (1)當 k=0 時,分別求 c 在點 m 和 n 處的切線方程; (2)y 軸上是否存在點 p,使得當 k 變動時,總有opm=opn?說明理由. 解:(1)由題設可得 m(2,a),n(-

19、2,a),或 m(-2,a),n(2,a). 又 y=2,故 y=24在 x=2處的導數(shù)值為,c 在點(2,a)處的切線方程為 y-a=(x-2),即x-y-a=0. y=24在 x=-2處的導數(shù)值為-,c 在點(-2,a)處的切線方程為 y-a=-(x+2),即x+y+a=0. 故所求切線方程為x-y-a=0 和x+y+a=0. 5 分 (2)存在符合題意的點,證明如下: 設 p(0,b)為符合題意的點,m(x1,y1),n(x2,y2),直線 pm,pn 的斜率分別為 k1,k2. 將 y=kx+a 代入 c 的方程得 x2-4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 從

20、而 k1+k2=11+22 =212+()(1+2)12=(+). 當 b=-a 時,有 k1+k2=0,則直線 pm 的傾角與直線 pn 的傾角互補, 故opm=opn,所以點 p(0,-a)符合題意. 12 分 21.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 21)已知函數(shù) f(x)=x3+ax+14,g(x)=-ln x. (1)當 a 為何值時,x 軸為曲線 y=f(x)的切線; (2)用 minm,n表示 m,n 中的最小值,設函數(shù) h(x)=minf(x),g(x)(x0),討論 h(x)零點的個數(shù). 解:(1)設曲線 y=f(x)與 x 軸相切于點(x0,0),則 f(x0)=0,f(x0)=0, 即03+ 0+14= 0,302+ = 0. 解得 x0=12,a=-34. 因此,當 a=-34時,x 軸為曲線 y=f(x)的切線. 5 分 (2)當 x(1,+)時,g(x)=-ln x0,從而 h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故 h(x)在(1,+)無零點. 當 x=1 時,若 a-54,則 f(1)=a+540,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故 x=1 是 h(