2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學(湖南卷)

1、1 / 12 2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 湖南理科數學 本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分,共 6 頁.時量 120 分鐘,滿分 150 分. 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2015 湖南,理 1)已知(1i)2=1+i(i 為虛數單位),則復數 z=( ) a.1+i b.1-i c.-1+i d.-1-i 答案:d 解析:由已知得 z=(1i)21+i=2i1+i=2i(1i)(1+i)(1i)=22i2=-1-i. 2.(2015 湖南,理 2)

2、設 a,b是兩個集合,則“ab=a”是“ab”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:c 解析:若 ab=a,則有 ab;若 ab,則必有 ab=a.所以“ab=a”是“ab”的充要條件. 3.(2015 湖南,理 3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖.如果輸入 n=3,則輸出的 s=( ) a.67 b.37 c.89 d.49 答案:b 解析:由題意得,輸出的 s 為數列1(21)(2+1)的前 3 項和,而1(21)(2+1)=12(12112+1),即 sn=12(1 12+1) =2+1.故當輸入 n=3 時,s3=37,故選 b. 4.

3、(2015 湖南,理 4)若變量 x,y滿足約束條件 + 1,2 0,1 0,解得-1x0,即 f(x)0,所以 f(x)在(0,1)上是增函數.故選 a. 6.(2015 湖南,理 6)已知( )5的展開式中含32的項的系數為 30,則 a=( ) a.3 b.-3 c.6 d.-6 答案:d 解析:展開式的通項為 tr+1=c5 ()5-r ()=(-1)rc5ar 52(r=0,1,2,5).令52-r=32,得 r=1,所以展開式中含32項的系數為(-1)c51 a,于是-5a=30,解得 a=-6. 7.(2015 湖南,理 7)在如圖所示的正方形中隨機投擲 10 000 個點,則落

4、入陰影部分(曲線 c 為正態(tài)分布 n(0,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為( ) a.2 386 b.2 718 c.3 413 d.4 772 附:若 xn(,2),則 p(-x+)=0.682 6,p(-2x+2)=0.954 4. 答案:c 3 / 12 解析:由于曲線 c 為正態(tài)分布 n(0,1)的密度曲線,所以 p(-1x1)=0.682 6,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性知p(0x1)=0.341 3,即圖中陰影部分的面積為 0.341 3.由幾何概型知點落入陰影部分的概率 p=0.341 31=0.341 3.因此,落入陰影部分的點的個數的估計值為 10 0000.341 3=3

5、 413.故選 c. 8.(2015 湖南,理 8)已知點 a,b,c 在圓 x2+y2=1 上運動,且 abbc.若點 p的坐標為(2,0),則| + + |的最大值為( ) a.6 b.7 c.8 d.9 答案:b 解析:設坐標原點為 o,則 + + = + + + + + =3 + +( + ),由于 abbc,所以 ac 是圓的直徑,因此 + =0,于是| + + |=|3 + |=(3 + )2 =9|po |2+ 6po ob + |ob |2 =9 22+ 12 6 =37 6| | |cos = 37 12cos,故當pob= 時,cospob 取最小值-1,此時| + + |

6、取最大值 7. 9.(2015 湖南,理 9)將函數 f(x)=sin 2x 的圖象向右平移 (0 2)個單位后得到函數 g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min=3,則 = ( ) a.512 b.3 c.4 d.6 答案:d 解析:由題意可知,g(x)=sin(2x-2). 因為|f(x1)-g(x2)|=2,可知 f(x1)和 g(x2)分別為 f(x)和 g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值). 不妨令 2x1=2+2k(kz),2x2-2=-2+2m(mz), 則 x1-x2=2-+(k-m),又|x1-x2|min=3,所

7、以當 k-m=0 時,即 k=m,又 02,則有2-=3,解得 =6.故選 d. 10.(2015 湖南,理 10)某工件的三視圖如圖所示,現將該工件通過切割,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用率為(材料利用率 =新工件的體積原工件的體積)( ) a.89 b.169 c.4(21)3 d.12(21)3 答案:a 解析:由三視圖知該工件是一個圓錐,其底面半徑為 1,高為 2,故體積 v1=13 12 2=23.由圓及矩形的對稱性可知當長方體體積最大時,其底面一定為正方形,設其邊長為 x(0 x2),長方體的高為 h,則有221=2

8、2,所以 h=2-2x,4 / 12 則長方體體積 v=x2h=x2(2-2x)=2x2-2x3,所以 v(x)=4x-32x2,令 v(x)=0 得 x=223或 x=0(舍去),因當 0 x223時,v(x)遞增,而當223x1,所以 e=5. 14.(2015 湖南,理 14)設 sn為等比數列an的前 n 項和,若 a1=1,且 3s1,2s2,s3成等差數列,則 an= . 答案:3n-1 解析:設等比數列an的公比為 q,則 an=a1qn-1=qn-1. 因為 3s1,2s2,s3成等差數列,所以 2(2s2)=3s1+s3,即 4s2=3+s3,即 4(a1+a2)=3+(a1

9、+a2+a3), 也就是 4(1+q)=3+(1+q+q2), 整理得 q2-3q=0,解得 q=3 或 q=0(舍去). 所以等比數列an的首項為 a1=1,公比為 q=3, 故 an=3n-1. 15.(2015 湖南,理 15)已知函數 f(x)=3, ,2, .若存在實數 b,使函數 g(x)=f(x)-b 有兩個零點,則 a 的取值范圍是 . 答案:(-,0)(1,+) 5 / 12 解析:要使函數 g(x)=f(x)-b 有兩個零點,應使 f(x)圖象與直線 y=b 有兩個不同的交點. 當 0a1 時,由 f(x)的圖象知 f(x)在定義域 r 上單調遞增,它與直線 y=b 不可能

10、有兩個交點. 當 a0 時,由 f(x)的圖象(如圖)知,f(x)在(-,a上遞增,在(a,0)上遞減,在0,+)上遞增,且 a30,所以,當0b1 時,由 f(x)的圖象(如圖)知,f(x)在(-,a上遞增,在(a,+)上遞增,但 a3a2,所以當 a2ba3時,f(x)圖象與 y=b 有兩個不同的交點. 綜上,實數 a 的取值范圍是 a1. 三、解答題:本大題共 6 小題,共 75 分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 16.(2015 湖南,理 16)(本小題滿分 12 分) 本小題設有,三個選做題,請考生任選兩題作答,并將解答過程寫在答題卡中相應題號的答題區(qū)域內.如果全做,則按

11、所做的前兩題計分. .(本題滿分 6 分)選修 4-1:幾何證明選講 如圖,在o 中,相交于點 e的兩弦 ab,cd 的中點分別是 m,n.直線 mo 與直線 cd 相交于點 f.證明: (1)men+nom=180 ; (2)fe fn=fm fo. 證明: 6 / 12 (1)如圖所示,因為 m,n 分別是弦 ab,cd 的中點,所以 omab,oncd,即ome=90 ,eno=90 ,因此ome+eno=180 . 又四邊形的內角和等于 360 ,故men+nom=180 . (2)由(1)知,o,m,e,n 四點共圓,故由割線定理即得 fe fn=fm fo. .(本題滿分 6 分)

12、選修 4-4:坐標系與參數方程 已知直線 l: = 5 +32, = 3 +12(t 為參數).以坐標原點為極點,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線 c 的極坐標方程為 =2cos . (1)將曲線 c 的極坐標方程化為直角坐標方程; (2)設點 m 的直角坐標為(5,3),直線 l 與曲線 c 的交點為 a,b,求|ma| |mb|的值. 解:(1)=2cos 等價于 2=2cos . 將 2=x2+y2,cos =x 代入即得曲線 c 的直角坐標方程為 x2+y2-2x=0. (2)將 = 5 +32, = 3 +12代入,得 t2+53t+18=0.設這個方程的兩個實根分別為 t1,

13、t2,則由參數 t 的幾何意義即知,|ma| |mb|=|t1t2|=18. .(本題滿分 6 分)選修 4-5:不等式選講 設 a0,b0,且 a+b=1+1,證明: (1)a+b2; (2)a2+a2 與 b2+b0,b0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2=2,即 a+b2. (2)假設 a2+a2 與 b2+b2 同時成立,則由 a2+a0 得 0a1;同理,0b1,從而 ab1,這與 ab=1矛盾.故 a2+a2 與 b2+b0,所以 a(0,4),于是 sin a+sin c=sin a+sin(2 2)=sin a+cos 2a=-2sin2a+sin

14、a+1=-2(sin 14)2+98. 因為 0a4,所以 0sin a22, 因此22-2(sin 14)2+9898. 由此可知 sin a+sin c 的取值范圍是(22,98. 18.(2015 湖南,理 18)(本小題滿分 12 分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有 4 個紅球、6 個白球的甲箱和裝有 5 個紅球、5 個白球的乙箱中,各隨機摸出 1 個球,在摸出的 2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有 1 個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎. (1)求顧客抽獎 1 次能獲獎的概率; (2)若某顧客有 3 次抽獎機會,記該顧客在 3

15、 次抽獎中獲一等獎的次數為 x,求 x的分布列和數學期望. 解:(1)記事件 a1=從甲箱中摸出的 1 個球是紅球,a2=從乙箱中摸出的 1 個球是紅球,b1=顧客抽獎 1 次獲一等獎,b2=顧客抽獎 1 次獲二等獎,c=顧客抽獎 1 次能獲獎. 由題意,a1與 a2相互獨立,a12與1a2互斥,b1與 b2互斥,且 b1=a1a2,b2=a12+ 1a2,c=b1+b2, 因為 p(a1)=410=25,p(a2)=510=12, 所以 p(b1)=p(a1a2)=p(a1)p(a2)=2512=15, p(b2)=p(a12+ 1a2)=p(a12)+p(1a2) =p(a1)p(2)+p

16、(1)p(a2) =p(a1)(1-p(a2)+(1-p(a1)p(a2) =25 (1 12) + (1 25) 12=12. 故所求概率為 p(c)=p(b1+b2)=p(b1)+p(b2)=15+12=710. (2)顧客抽獎 3 次可視為 3 次獨立重復試驗,由(1)知,顧客抽獎 1 次獲一等獎的概率為15,所以 xb(3,15). 于是 p(x=0)=c30(15)0(45)3=64125, p(x=1)=c31(15)1(45)2=48125, p(x=2)=c32(15)2(45)1=12125, p(x=3)=c33(15)3(45)0=1125. 故 x的分布列為 x 0 1

17、 2 3 p 64125 48125 12125 1125 8 / 12 x的數學期望為 e(x)=315=35. 19. (2015 湖南,理 19)(本小題滿分 13 分)如圖,已知四棱臺 abcd-a1b1c1d1的上、下底面分別是邊長為 3 和 6 的正方形.a1a=6,且 a1a底面 abcd.點 p,q 分別在棱 dd1,bc 上. (1)若 p是 dd1的中點,證明:ab1pq. (2)若 pq平面 abb1a1,二面角 p-qd-a的余弦值為37,求四面體 adpq 的體積. 解法 1: 由題設知,aa1,ab,ad 兩兩垂直,以 a為坐標原點,ab,ad,aa1所在直線分別為

18、 x 軸、y 軸、z 軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則相關各點的坐標為 a(0,0,0),b1(3,0,6),d(0,6,0),d1(0,3,6),q(6,m,0),其中 m=bq,0m6. (1)若 p是 dd1的中點,則 p(0,92,3), = (6, 92,3). 又1 =(3,0,6),于是1 =18-18=0, 所以1 ,即 ab1pq. (2)由題設知, =(6,m-6,0),1 =(0,-3,6)是平面 pqd 內的兩個不共線向量. 設 n1=(x,y,z)是平面 pqd 的一個法向量,則1 = 0,1 1 = 0,即6 + ( 6) = 0,3 + 6 = 0. 取 y=

19、6,得 n1=(6-m,6,3). 又平面 aqd 的一個法向量是 n2=(0,0,1),所以 cos=12|1|2|=31(6)2+62+32=3(6)2+45. 而二面角 p-qd-a的余弦值為37,因此3(6)2+45=37,解得 m=4,或 m=8(舍去),此時 q(6,4,0). 設 =1 (0b0)的一個焦點,c1與 c2的公共弦的長為 26. (1)求 c2的方程; (2)過點 f的直線 l 與 c1相交于 a,b兩點,與 c2相交于 c,d 兩點,且 與 同向. 若|ac|=|bd|,求直線 l 的斜率; 設 c1在點 a處的切線與 x 軸的交點為 m.證明:直線 l 繞點 f

20、旋轉時,mfd 總是鈍角三角形. 解:(1)由 c1:x2=4y 知其焦點 f 的坐標為(0,1). 因為 f也是橢圓 c2的一個焦點, 所以 a2-b2=1. 又 c1與 c2的公共弦的長為 26,c1與 c2都關于 y 軸對稱,且 c1的方程為 x2=4y,由此易知 c1與 c2的公共點的坐標為(6,32),所以942+62=1. 聯立,得 a2=9,b2=8.故 c2的方程為29+28=1. (2)如圖,設 a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4). 因 與 同向,且|ac|=|bd|, 所以 = ,從而 x3-x1=x4-x2, 即 x1-x2=x3-x4

21、,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4. 設直線 l 的斜率為 k,則 l 的方程為 y=kx+1. 由 = + 1,2= 4得 x2-4kx-4=0. 而 x1,x2是這個方程的兩根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 11 / 12 由 = + 1,28+29= 1得(9+8k2)x2+16kx-64=0. 而 x3,x4是這個方程的兩根, 所以 x3+x4=-169+82,x3x4=-649+82. 將,代入,得 16(k2+1)=1622(9+82)2+4649+82, 即 16(k2+1)=1629(2+1)(9+82)2, 所以(9+8k2)2=1

22、69,解得 k=64,即直線 l 的斜率為64. 由 x2=4y 得 y=2,所以 c1在點 a處的切線方程為 y-y1=12(x-x1),即 y=12124. 令 y=0 得 x=12,即 m(12,0), 所以 = (12,1). 而 =(x1,y1-1),于是 =122-y1+1=124+10, 因此afm 是銳角,從而mfd=180 -afm 是鈍角. 故直線 l 繞點 f旋轉時,mfd 總是鈍角三角形. 21.(2015 湖南,理 21)(本小題滿分 13 分)已知 a0,函數 f(x)=eaxsin x(x0,+).記 xn為 f(x)的從小到大的第 n(nn*)個極值點.證明: (1)數列f(xn)是等比數列; (2)若 a1e21,則對一切 nn*,xn|f(xn)|恒成立. 證明:(1