2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)丙卷 (2)

1、絕密 啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項:1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答第卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3.回答第卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。(1) 設(shè)集合a=0,2,4,6,8,10,b=4,8,則ab=(a)4,8(b)0,2,6(c

2、)0,2,6,10(d)0,2,4,6,8,10(2) 若z=4+3i,則z|z|=(a)1(b)-1(c)45+35i(d)45-35i(3) 已知向量ba=(12,32),bc=(32,12),則abc=(a)30°(b)45°(c)60°(d)120°(4) 某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中a點表示十月的平均最高氣溫約為15,b點表示四月的平均最低氣溫約為5.下面敘述不正確的是(a)各月的平均最低氣溫都在0以上(b)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(c)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

3、(d)平均最高氣溫高于20的月份有5個(5) 小敏打開計算機(jī)時,忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是m,i,n中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(a)815(b)18(c)115(d)130(6) 若tan=-13,則cos2=(a)-45(b)-15(c)15(d)45(7) 已知a=243,b=323,c=2513,則(a)b<a<c(b)a<b<c(c)b<c<a(d)c<a<b(8) 執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的n=(a)3(b)4(c)5(d)6(9

4、) 在abc中,b=4,bc邊上的高等于13bc,則sina=(a)310(b)1010(c)55(d)31010(10) 如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(a)18+365(b)54+185(c)90(d)81(11) 在封閉的直三棱柱abc-a1b1c1內(nèi)有一個體積為v的球.若abbc,ab=6,bc=8,aa1=3,則v的最大值是(a)4(b)92(c)6(d)323(12) 已知o為坐標(biāo)原點,f是橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,a,b分別為c的左、右頂點,p為c上一點,且pfx軸.過點a的直線l與線

5、段pf交于點m,與y軸交于點e.若直線bm經(jīng)過oe的中點,則c的離心率為(a)13(b)12(c)23(d)34第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題,每個試題考生都必須作答。第2224題為選考題。考生根據(jù)要求作答。二、填空題:本題共4小題,每小題5分。(13) 設(shè)x,y滿足約束條件2x-y+10,x-2y-10,x1,則z=2x+3y-5的最小值為. (14) 函數(shù)y=sinx-3cosx的圖像可由函數(shù)y=2sinx的圖像至少向右平移個單位長度得到. (15) 已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于a,b兩點,過a,b分別作l的垂線與x軸交于

6、c,d兩點,則|cd|=. (16) 已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17) (本小題滿分12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.()求a2,a3;()求an的通項公式.(18) (本小題滿分12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2008-2014.()由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以

7、說明;()建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(yi-y)2=0.55,72.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回歸方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.(19) (本小題滿分12分)如圖,四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,adbc,ab=ad=ac=3,pa=bc=4,m為線段ad上一點,am=2md

8、,n為pc的中點.()證明mn平面pab;()求四面體n-bcm的體積.(20) (本小題滿分12分)已知拋物線c:y2=2x的焦點為f,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交c于a,b兩點,交c的準(zhǔn)線于p,q兩點.()若f在線段ab上,r是pq的中點,證明arfq;()若pqf的面積是abf的面積的兩倍,求ab中點的軌跡方程.(21) (本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.()討論f(x)的單調(diào)性;()證明當(dāng)x(1,+)時,1<x-1lnx<x;()設(shè)c>1,證明當(dāng)x(0,1)時,1+(c-1)x>cx.請考生在第2224題中任選一題作答,如果多做,則按所

9、做的第一題計分。(22) (本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖,o中ab的中點為p,弦pc,pd分別交ab于e,f兩點.()若pfb=2pcd,求pcd的大小;()若ec的垂直平分線與fd的垂直平分線交于點g,證明ogcd.(23) (本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線c1的參數(shù)方程為x=3cos,y=sin,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線c2的極坐標(biāo)方程為sin(+4)=22.()寫出c1的普通方程和c2的直角坐標(biāo)方程;()設(shè)點p在c1上,點q在c2上,求|pq|的最小值及此時p的直角坐標(biāo).(24) (本小

10、題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.()當(dāng)a=2時,求不等式f(x)6的解集;()設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)xr時,f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.試卷全解全析全國丙卷文科(1)c根據(jù)補(bǔ)集的定義,知從集合a=0,2,4,6,8,10中去掉集合b中的元素4,8后,剩下的4個元素0,2,6,10構(gòu)成的集合即為ab,即ab=0,2,6,10,故選c.(2)d因為z=4+3i,所以它的模為|z|=|4+3i|=42+32=5,共軛復(fù)數(shù)為z=4-3i.故z|z|=45-35i,選d.(3)a因為ba=12,32,bc=32,12,所以ba·bc=3

11、4+34=32.又因為ba·bc=|ba|·|bc|cosabc=1×1×cosabc=cosabc,所以cosabc=32,即abc=30°.故選a.(4)d由題圖可知,0 在虛線圈內(nèi),所以各月的平均最低氣溫都在0 以上,a正確;易知b,c正確;平均最高氣溫高于20 的月份有3個,分別為六月、七月、八月,d錯誤.故選d.(5)c密碼的前兩位共有15種可能,其中只有1種是正確的密碼,因此所求概率為115.故選c.(6)d(方法1)cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-1321+-13

12、2=45.故選d.(方法2)tan =-13,sincos=-13,即3sin =-cos .兩邊平方得9sin2=cos2,即9×1-cos22=1+cos22,解得cos 2=45.(7)a因為a=243=423,c=2513=523,b=323,且函數(shù)y=x23在0,+)內(nèi)是增函數(shù),所以323<423<523,即b<a<c.故選a.(8)b開始a=4,b=6,n=0,s=0,執(zhí)行循環(huán),第一次:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;第二次:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;第三次:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次:a=-2,b=

13、6,a=4,s=20,n=4;此時滿足判斷條件s>16,退出循環(huán),輸出n=4.故選b.(9)d(方法1)記角a,b,c的對邊分別為a,b,c,則由題意得,sabc=12a·13a=12acsin b,c=23a.由正弦定理,得sin c=23sin a.c=34-a,sin c=sin34-a=23sin a,即22cos a+22sin a=23sin a,整理得sin a=-3cos a.sin2a+cos2a=1,sin2a+19sin2a=1,即sin2a=910,解得sin a=31010(排除負(fù)值).故選d.(方法2)記角a,b,c的對邊分別為a,b,c,則由題意得

14、sabc=12a·a3=12acsin b,c=23a.b2=a2+23a2-2a·2a3·22=5a29,即b=5a3.由正弦定理asina=bsinb得,sin a=asinbb=a×225a3=31010.故選d.(10)b由題意知該幾何體為四棱柱,且四棱柱的底面是邊長為3的正方形,側(cè)棱長為35,所以所求表面積為(3×3+3×6+3×35)×2=54+185,故選b.(11)b由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個面相切.設(shè)球的半徑為r,易得abc的內(nèi)切球的半徑為6+8-102=2,則r2.因為2r

15、3,即r32,所以vmax=43×323=92,故選b.(12)a由題意知,a(-a,0),b(a,0),根據(jù)對稱性,不妨令p-c,b2a,設(shè)l:x=my-a,m-c,a-cm,e0,am.直線bm:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直線bm經(jīng)過oe的中點,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故選a.(13)-10滿足已知條件的可行域為如圖所示的陰影部分,其中a(1,0),b(-1,-1),c(1,3).z=2x+3y-5,y=-2x3+5+z3.作直線y=-23x,并在可行域內(nèi)移動,當(dāng)直線經(jīng)過點b時,直線在y軸上的截距最小,即z最小.故zmin=2&

16、#215;(-1)+3×(-1)-5=-10.(14)3因為y=sin x-3cos x=2sinx-3,所以函數(shù)y=sin x-3cos x的圖像可由函數(shù)y=2sin x的圖像至少向右平移3個單位長度得到.(15)4由題意得直線l的傾斜角為6,坐標(biāo)原點o到直線l的距離為|6|1+(-3)2=3.設(shè)直線l與x軸交于點e,結(jié)合題意知b(0,23),e(-6,0),則|be|=62+(23)2=43.因為|ab|=212-32=23,所以a為eb的中點.由題意知acbd,所以c為de的中點,即|ce|=|cd|=|ae|cos6=|ab|cos6=2332=4.(16)y=2x當(dāng)x>

17、;0時,-x<0,f(-x)=ex-1+x.因為f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因為f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,所求切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.(17)解 ()由題意得a2=12,a3=14.5分()(等比數(shù)列的定義、通項公式)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因為an的各項都為正數(shù),所以an+1an=12.故an是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,因此an=12n-1.12分(18)解 ()由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4,i=17(ti-t)2=2

18、8,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-t i=17yi=40.17-4×9.32=2.89.r2.890.55×2×2.6460.99.4分因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.6分()由y=9.3271.331及()得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.103,a=y-b t1.331-0.103×40.92.所以,y關(guān)于t的回歸方程為:y=0.92+0.10t.10分將2016年對應(yīng)的t=9

19、代入回歸方程得:y=0.92+0.10×9=1.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.12分(19)解 ()由已知得am=23ad=2.取bp的中點t,連接at,tn,由n為pc中點知tnbc,tn=12bc=2.3分又adbc,故tn􀱀am,四邊形amnt為平行四邊形,于是mnat.因為at平面pab,mn平面pab,所以mn平面pab.6分()因為pa平面abcd,n為pc的中點,所以n到平面abcd的距離為12pa.9分取bc的中點e,連結(jié)ae.由ab=ac=3得aebc,ae=ab2-be2=5.由ambc得m到bc的距離為5,

20、故sbcm=12×4×5=25.所以四面體n-bcm的體積vn-bcm=13×sbcm×pa2=453.12分(20)解 由題設(shè)知f12,0.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab0,且aa22,a,bb22,b,p-12,a,q-12,b,r-12,a+b2.記過a,b兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.3分()由于f在線段ab上,故1+ab=0.記ar的斜率為k1,fq的斜率為k2,則k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以arfq.5分()設(shè)l與x軸的交點為d(x1,0),則sabf=12|b-a

21、|fd|=12|b-a|x1-12,spqf=|a-b|2.由題設(shè)可得12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.設(shè)滿足條件的ab的中點為e(x,y).(分類討論)當(dāng)ab與x軸不垂直時,由kab=kde可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).當(dāng)ab與x軸垂直時,e與d重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.12分(21)解 ()(導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性)由題設(shè),f(x)的定義域為(0,+),f'(x)=1x-1,令f'(x)=0解得x=1.當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x&

22、gt;1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.4分()由()知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x1時,ln x<x-1.故當(dāng)x(1,+)時,ln x<x-1,ln1x<1x-1,即1<x-1lnx<x.7分()由題設(shè)c>1,(構(gòu)造函數(shù))設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g'(x)=c-1-cxln c,令g'(x)=0,解得x0=lnc-1lnclnc.當(dāng)x<x0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.9分由()知1<c-1lnc<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0<