初中數(shù)學(xué)三角形三邊關(guān)系的典型題例析

1、三角形三邊關(guān)系的典型題例析江蘇劉頓三角形的三條邊之間主要有這樣的關(guān)系：三角形的兩邊的和大于第三邊，三角形的兩 邊的差小于第三邊利用這兩個(gè)關(guān)系可以解決許多典型的幾何題目現(xiàn)舉例說(shuō)明一、確定三角形某一邊的取值范圍問(wèn)題根據(jù)三角形三邊之間關(guān)系泄理和推論可得結(jié)論：已知三角形的兩邊為a、b,則第三邊C滿足a-b<c<a+b.例1用三條繩子打結(jié)成三角形（不考慮結(jié)頭長(zhǎng)），已知其中兩條長(zhǎng)分別是3m和7m, 問(wèn)第三條繩子的長(zhǎng)有什么限制-簡(jiǎn)析 設(shè)第三條繩子的長(zhǎng)為Xm,則73VV7+3, KP 4<x<10.故第三條繩子的長(zhǎng)應(yīng)大于4m且小于IOm.二、判定三條線段能否組成三角形問(wèn)題根據(jù)三角形的三

2、邊關(guān)系，只需判斷最小的兩邊之和是否大于第三邊即可一例2（1） （2003年福建三明市中考試題）下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A.5cm> 7cm、IOCmB.7cm IOCm 13ClllC.5cm> 7cm、13CmD.5cm、IOCm 13Cm（2） （2004年哈爾濱市中考試題）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）AlcllI,2cm.4cmB.8cm,6cin.4cm C.12cm.5cm.6cm D.2cm.3cm,6cm簡(jiǎn)析 由三角形的三邊關(guān)系可知：（1）5+7<13,故應(yīng)選C； （2）6+4>8,故應(yīng)選B例3有下列長(zhǎng)度的三條線段

3、能否組成三角形？（1）a 3, a9 3（其中 a>3）；（2）G a+4, a+6（英中 a>0）：（3）a+b a+l, 2a（其中 a>Q）.簡(jiǎn)析（1）因?yàn)椋╝-3）+3=a,所以以線段。一3, a, 3為邊的三條線段不能組成三角形.（2）因?yàn)椋╝+6）a=6,而6與a+4的大小關(guān)系不能確左，所以以線段, +4, +6為邊的三條線段不一泄能組成三角形.(3) 因?yàn)?+l)+(+l)=2+2>2, (a+l)+2i=3a+l>(a+1),所以以線段a+1，a+l, 2a為邊的三條線段一左能組成三角形.三、求三角形某一邊的長(zhǎng)度問(wèn)題此類問(wèn)題往往有陷阱，即在根據(jù)題設(shè)

4、條件求得結(jié)論時(shí)，其中可能有一個(gè)答案是錯(cuò)誤的, 需要我們?nèi)ヨb別，而鑒別的依據(jù)就是這里的左理及推論.例4已知等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12Cm和21Cm兩部分, 求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)簡(jiǎn)析 如圖1,設(shè)腰ZlB=XCm,底ECTCln, D為/C邊的中點(diǎn).根據(jù)題意，得 x+丄X=I2,且>H-a=21:或x+丄x=21,且 v÷-x=12.2 - 2 2 ' 2解得x=8, Iy=I7：或X= 14, y=5.顯然當(dāng)x=8, )=17時(shí)，8+8<17不符合泄理，應(yīng)舍去-故此三角形的腰長(zhǎng)是14cm.例5 個(gè)三角形的兩邊分別是2厘米和9厘米，第三邊長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)

5、，則第三邊長(zhǎng) 為-簡(jiǎn)析設(shè)第三邊長(zhǎng)為X厘米，因?yàn)?-2<x<9÷2,即7vvll,而X是奇數(shù)，所以l9.故應(yīng)填上9厘米-四、求三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題此類求三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題和求三角形某一邊的長(zhǎng)度問(wèn)題一樣，也會(huì)設(shè)計(jì)陷阱，所以也應(yīng)避免答案的錯(cuò)誤.例6已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,則它的周長(zhǎng)等于.簡(jiǎn)析 已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,并沒(méi)有指明是腰還是底，故應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論，當(dāng)5是腰時(shí)，則底是6,即周長(zhǎng)等于16；當(dāng)6是腰時(shí)，則底是5,即周長(zhǎng)等于17.故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是16或17.五、判斷三角形的形狀問(wèn)題判斷三角形的形狀主要是根據(jù)條件尋找邊之間的

6、關(guān)系.例7已知小b、C是三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0.試判斷三角形 的形狀簡(jiǎn)析 因?yàn)?a2+b1+c2abbcCa=O,則有 IalJrlbIJrlCl 2ab 2bc2ca=Q.于是有(a-b) 2+ ( b- c) 2+ ( c-) 0.此時(shí)有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知(ab) 2=0: ( b C ) 2=0: ( ca) 2=0t即ab=Q: b c=0; ca=0.故a=b=c.所以此三角形是等邊三角形.六、化簡(jiǎn)代數(shù)式問(wèn)題這里主要是運(yùn)用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，從而確左代數(shù)式的符號(hào).例8 Li知三角形三邊長(zhǎng)為a、b、G且匕+6 c| + |abc=10

7、,求b的值.簡(jiǎn)析 因 a+b>c,故 a+b-c>O'因 a b<c,故 a bc<0.所以|a+bc + 0-bc= a+bc (abc)=2b=10.故 b=5.七、確定組成三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題要確怎三角形的個(gè)數(shù)只需根據(jù)題意，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系逐一驗(yàn)證，做到不漏不重例9現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm. 5cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形 的個(gè)數(shù)為()AlB.2C.3D.4簡(jiǎn)析由三角形的三邊關(guān)系知：若以長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm,則可以組成三角 形：若以長(zhǎng)度分別為3cm、4cm、5cm,則可以組成三角形：若以長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、 5cm,則不可以組成三角形：若以長(zhǎng)度分別為2cm、4cm、5cm,則也可以組成三角形即 分別為2cm、3cm、4cm&