初中數(shù)學(xué)三角形三邊關(guān)系的典型題例析

1、三角形三邊關(guān)系的典型題例析江蘇劉頓三角形的三條邊之間主要有這樣的關(guān)系：三角形的兩邊的和大于第三邊，三角形的兩 邊的差小于第三邊利用這兩個(gè)關(guān)系可以解決許多典型的幾何題目現(xiàn)舉例說明一、確定三角形某一邊的取值范圍問題根據(jù)三角形三邊之間關(guān)系泄理和推論可得結(jié)論：已知三角形的兩邊為a、b,則第三邊C滿足a-b<c<a+b.例1用三條繩子打結(jié)成三角形（不考慮結(jié)頭長），已知其中兩條長分別是3m和7m, 問第三條繩子的長有什么限制-簡析 設(shè)第三條繩子的長為Xm,則73VV7+3, KP 4<x<10.故第三條繩子的長應(yīng)大于4m且小于IOm.二、判定三條線段能否組成三角形問題根據(jù)三角形的三

2、邊關(guān)系，只需判斷最小的兩邊之和是否大于第三邊即可一例2（1） （2003年福建三明市中考試題）下列長度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A.5cm> 7cm、IOCmB.7cm IOCm 13ClllC.5cm> 7cm、13CmD.5cm、IOCm 13Cm（2） （2004年哈爾濱市中考試題）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）AlcllI,2cm.4cmB.8cm,6cin.4cm C.12cm.5cm.6cm D.2cm.3cm,6cm簡析 由三角形的三邊關(guān)系可知：（1）5+7<13,故應(yīng)選C； （2）6+4>8,故應(yīng)選B例3有下列長度的三條線段

3、能否組成三角形？（1）a 3, a9 3（其中 a>3）；（2）G a+4, a+6（英中 a>0）：（3）a+b a+l, 2a（其中 a>Q）.簡析（1）因?yàn)椋╝-3）+3=a,所以以線段。一3, a, 3為邊的三條線段不能組成三角形.（2）因?yàn)椋╝+6）a=6,而6與a+4的大小關(guān)系不能確左，所以以線段, +4, +6為邊的三條線段不一泄能組成三角形.(3) 因?yàn)?+l)+(+l)=2+2>2, (a+l)+2i=3a+l>(a+1),所以以線段a+1，a+l, 2a為邊的三條線段一左能組成三角形.三、求三角形某一邊的長度問題此類問題往往有陷阱，即在根據(jù)題設(shè)

4、條件求得結(jié)論時(shí)，其中可能有一個(gè)答案是錯(cuò)誤的, 需要我們?nèi)ヨb別，而鑒別的依據(jù)就是這里的左理及推論.例4已知等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分成12Cm和21Cm兩部分, 求這個(gè)三角形的腰長簡析 如圖1,設(shè)腰ZlB=XCm,底ECTCln, D為/C邊的中點(diǎn).根據(jù)題意，得 x+丄X=I2,且>H-a=21:或x+丄x=21,且 v÷-x=12.2 - 2 2 ' 2解得x=8, Iy=I7：或X= 14, y=5.顯然當(dāng)x=8, )=17時(shí)，8+8<17不符合泄理，應(yīng)舍去-故此三角形的腰長是14cm.例5 個(gè)三角形的兩邊分別是2厘米和9厘米，第三邊長是一個(gè)奇數(shù)

5、，則第三邊長 為-簡析設(shè)第三邊長為X厘米，因?yàn)?-2<x<9÷2,即7vvll,而X是奇數(shù)，所以l9.故應(yīng)填上9厘米-四、求三角形的周長問題此類求三角形的周長問題和求三角形某一邊的長度問題一樣，也會設(shè)計(jì)陷阱，所以也應(yīng)避免答案的錯(cuò)誤.例6已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,則它的周長等于.簡析 已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,并沒有指明是腰還是底，故應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論，當(dāng)5是腰時(shí)，則底是6,即周長等于16；當(dāng)6是腰時(shí)，則底是5,即周長等于17.故這個(gè)等腰三角形的周長是16或17.五、判斷三角形的形狀問題判斷三角形的形狀主要是根據(jù)條件尋找邊之間的

6、關(guān)系.例7已知小b、C是三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0.試判斷三角形 的形狀簡析 因?yàn)?a2+b1+c2abbcCa=O,則有 IalJrlbIJrlCl 2ab 2bc2ca=Q.于是有(a-b) 2+ ( b- c) 2+ ( c-) 0.此時(shí)有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知(ab) 2=0: ( b C ) 2=0: ( ca) 2=0t即ab=Q: b c=0; ca=0.故a=b=c.所以此三角形是等邊三角形.六、化簡代數(shù)式問題這里主要是運(yùn)用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，從而確左代數(shù)式的符號.例8 Li知三角形三邊長為a、b、G且匕+6 c| + |abc=10

7、,求b的值.簡析 因 a+b>c,故 a+b-c>O'因 a b<c,故 a bc<0.所以|a+bc + 0-bc= a+bc (abc)=2b=10.故 b=5.七、確定組成三角形的個(gè)數(shù)問題要確怎三角形的個(gè)數(shù)只需根據(jù)題意，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系逐一驗(yàn)證，做到不漏不重例9現(xiàn)有長度分別為2cm、3cm、4cm. 5cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形 的個(gè)數(shù)為()AlB.2C.3D.4簡析由三角形的三邊關(guān)系知：若以長度分別為2cm、3cm、4cm,則可以組成三角 形：若以長度分別為3cm、4cm、5cm,則可以組成三角形：若以長度分別為2cm、3cm、 5cm,則不可以組成三角形：若以長度分別為2cm、4cm、5cm,則也可以組成三角形即 分別為2cm、3cm、4cm&