函數(shù)的單調(diào)性_實(shí)用教案

1、設(shè)函數(shù)(hnsh) f(x) 的定義域?yàn)?I :一、函數(shù)一、函數(shù)(hnsh)(hnsh)的單調(diào)的單調(diào)性性注: : 函數(shù)(hnsh)(hnsh)是增函數(shù)(hnsh)(hnsh)還是減函數(shù)(hnsh)(hnsh)是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的. . 有的函數(shù)(hnsh)(hnsh)在一些區(qū)間上是增函數(shù)(hnsh), (hnsh), 而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)(hnsh). (hnsh). 如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1, x2, 當(dāng) x1x2 時(shí), 都有 f(x1)f(x2), 那么就說 f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù); 如果對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)

2、自變量的值 x1, x2, 當(dāng) x1f(x2), 那么就說 f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).第1頁/共16頁第一頁，共17頁。 如果函數(shù)(hnsh)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)(hnsh)或減函數(shù)(hnsh), 那么就說函數(shù)(hnsh) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性, 這一區(qū)間叫做函數(shù)(hnsh) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間.二 、 單 調(diào)二 、 單 調(diào)(dndio)(dndio)區(qū)區(qū)間間1.取值: 對(duì)任意(rny) x1, x2M, 且 x10(0, b0) 的單調(diào)區(qū)間.xb解: 函數(shù)(hnsh) f(x) 的定義域?yàn)?-, 0)(0, +), 典型典型(dinxng)例題

3、例題函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù) f (x)=a- - = , bx2ax2- -b x2函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-, - - ) 與 ( , +), abab函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- - , 0) 與 (0, ). abab令 f (x)0 得: x2 - - x0 或 0 x0 得: x2 x ; ababab第5頁/共16頁第五頁，共17頁。 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性學(xué)習(xí)中的最基本的問題, 但必須注意, 如果函數(shù)的解析式含有參數(shù), 而且參數(shù)的取值影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 這時(shí)必須對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行(jnxng)分類討論. 注: : 這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性十分重要(zhngyo)

4、, (zhngyo), 應(yīng)用非常廣泛, , 它的圖象如圖所示: :oyx2 ab- -2 ab baba- -第6頁/共16頁第六頁，共17頁。2.試討論函數(shù) y=2log2 x- -2log x + 1 的單調(diào)性.1212解: 令 t=log x, 則 t 關(guān)于 x 在 (0, +) 上單調(diào)遞減.12而 y=2t2- -2t+1 在 (-, 上單減, 在 , +) 上單增,1212又由 t得 x , 1222由 t 得 0 x , 1222故函數(shù) y=2log2 x- -2log x+1 在 , +) 上單調(diào)遞增, 在 (0, 上單調(diào)遞減.12122222第7頁/共16頁第七頁，共17頁。

5、3.設(shè)函數(shù)(hnsh) f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)當(dāng) k 為何值時(shí), 函數(shù)(hnsh) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 (0, 4); (2)當(dāng) k 為何值時(shí), 函數(shù)(hnsh) f(x) 在(0, 4)內(nèi)單調(diào)遞減.不等式 f (x)0 的解集為( (0, 4) ), 0 與 4 是方程(fngchng) kx2+2(k-1)x=0 的兩根,即 kx2+2(k- -1)x0 的解集為( (0, 4) ), 故由根與系數(shù)的關(guān)系可求得 k 值為 . 13(2)命題(mng t)等價(jià)于 kx2+2(k-1)x0 對(duì) x(0, 4) 恒成立, 設(shè)g(x)=kx+2(k- -1)

6、, 等價(jià)于 kx+2(k- -1)0 對(duì) x (0, 4) 恒成立, 由于 g(x) 為單調(diào)函數(shù), g(0)0 g(4)0 k . 13則 ( (或分離變量 k0 得: x- -1 或 0 x1; 由g (x)0 得: - -1x1. 故 g(x) 的單調(diào)(dndio)遞增區(qū)間是 (-, -1) 與 (0, 1);單調(diào)(dndio)遞減區(qū)間是 (-1, 0) 與 (1, +).4.已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 試確定 g(x) 的單調(diào)(dndio)區(qū)間.第10頁/共16頁第十頁，共17頁。 5.已知f(x)是定義在R上的增函數(shù), 對(duì)xR有f(x)0, 且f(

7、5)=1, 設(shè)F(x)=f(x)+ , 討論 F(x) 的單調(diào)性, 并證明你的結(jié)論. f(x) 1 分析(fnx): 這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題, 應(yīng)該用單調(diào)性定義解決. 解: 在 R 上任(shng rn)取 x1, x2, 設(shè) x1f(x1) 且:F(x2)- -F(x1)=f(x2)+ - -f(x1)+ f(x1)1f(x2)1=f(x2)- -f(x1)1- - . f(x1)f(x2) 1f(x) 是 R 上的增函數(shù), 且 f(5)=1, 當(dāng) x5 時(shí) 0f(x)5 時(shí) f(x)1.若 x1x25, 則 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)F(x1);

8、1- - x15, 則 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1, 綜上, F(x) 在 (-, 5) 上為減函數(shù)(hnsh), 在 (5, +) 上為增函數(shù)(hnsh).f(x2)- -f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- - 0, f(x1)f(x2) 1第11頁/共16頁第十一頁，共17頁。 6.已知函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?(-, 0)(0, +), 且滿足條件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 當(dāng) x1 時(shí), f(x)0. (1)求證(qizhng): f(x)為偶函數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.(1)

9、證: 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=- -1, 得 f(1)=f(- -1)+f(- -1)f(- -1)=0. 再令 y=- -1, 得 f(- -x)=f(x)+f(- -1)=f(x). f(x) 為偶函數(shù). 先討論(toln) f(x) 在 (0, +) 上的單調(diào)性, 任取x1, x2, 設(shè)x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上是增函數(shù), 由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是減函數(shù)(hnsh). 偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱, (2)解: 在中令 y=, 得: x1由知 f( )0. x2 x

10、1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =- -f(x), x 1 x 1 則 f(x2)- -f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 第12頁/共16頁第十二頁，共17頁。(3)解: fx(x- -3)=f(x)+f(x- -3)2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(- -4), 1) )若 x(x- -3)0, f(x) 在 (0, +) 上為增函數(shù), 由 fx(x- -3)f(4) 得: 2)若 x(x-3)0 x(x- -3)4 x3 - -1x4 - -1x0 或 3x4; x(x- -3)0 x(x- -3)

11、- -4 0 x3. 0 x3 x R 原不等式的解集為-1, 0)(0, 3)(3, 4 . 注 抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題, 其基本方法是變量代換、換元等, 應(yīng)熟練掌握它們的這些(zhxi)特點(diǎn). 法二 原不等式等價(jià)(dngji)(dngji)于 f|x(x-3)|f(4)(x f|x(x-3)|f(4)(x0, 0, x-3x-30), 0), 由 f(x) f(x) 在 (0, +) (0, +) 上為增函數(shù)得: |x(x-: |x(x-3)|4. 3)|4. 再進(jìn)一步求得解集. .第13頁/共16頁第十三頁，共17頁。(1)證: 由已知, 對(duì)任意(rny)的 x1,

12、x2(-, +) 且 x10, f(x2- - x1)1. f(x2- - x1)- -10. f(x2)- -f(x1)0 即 f(x2)f(x1). f(x) 是 R 上 的增函數(shù).(2)解: f(4)=5, 令 a=b=2 得: f(4)=f(2)+f(2)-1, 從而(cng r) f(2)=3.原不等式等價(jià)(dngji)(dngji)于 f(3m2-m-2)f(2). f(3m2-m-2)f(2).f(x) 是 R 上 的增函數(shù), 3m2- -m- -22, 即 3m2- -m- -40. 解得: - -1m . 4343故不等式 f(3m2- -m- -2)0 時(shí), 有 f(x)1. (1)求證: f(x) 是 R 上 的增函數(shù); (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2- -m- -2)0. 解得: - -1x0. 1x2 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 又對(duì)任意的 x1, x2(0, 1) 且 x10, 且有: 1x1 1x2 1+x21+x10; 1- -x11- -x20, 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 - - 0. log2 - -log2 0. 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 即 f(x1)f(x2). 函數(shù) f(x) 在 (0, 1) 內(nèi)單調(diào)遞減. 由于 f(x) 是奇函數(shù),故函數(shù) f