分析捕食者和食餌均帶有擴(kuò)散的隨機(jī)捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)

1、    分析捕食者和食餌均帶有擴(kuò)散的隨機(jī)捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)    雷潔【摘 要】 種群生態(tài)學(xué)作為生態(tài)學(xué)的重要分支，隨機(jī)捕食-食餌模型闡述了種群間的變化過(guò)程，表明了生態(tài)種群發(fā)展自然規(guī)律?；诖?，本文重點(diǎn)對(duì)捕食者和食餌均帶有擴(kuò)散的隨機(jī)捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。【關(guān)鍵詞】 捕食者;食餌;擴(kuò)散;模型;動(dòng)力學(xué)在生物種群中廣泛存在捕食-食餌關(guān)系，受到人類活動(dòng)的影響，斑塊化正在影響生物種群的生存和捕食。同時(shí)，生物種群中含有多個(gè)斑塊，并且各個(gè)斑塊種群并非獨(dú)立，為了捕食，很多捕食者會(huì)擴(kuò)散到其他斑塊中，而食餌為了躲避捕食者同樣會(huì)擴(kuò)散到其他斑塊中，這就造成了捕食者和

2、食餌的隨機(jī)性。而捕食者-食餌模型動(dòng)力學(xué)可以充分反映擴(kuò)散隨機(jī)捕食-食餌行動(dòng)規(guī)律。一、捕食-食餌模型定理通過(guò)微分方程耦合系統(tǒng)正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性，結(jié)合圖論理論，得出了基于網(wǎng)絡(luò)大量耦合系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的lyapunov定理，在文獻(xiàn)當(dāng)中，將圖論、網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用在n個(gè)斑塊捕食-食餌系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析中，將擴(kuò)散隨機(jī)捕食-食餌模型設(shè)定為：公式中，xi、yi表示食餌和捕食者種群在第i個(gè)斑塊上的密度;b，c，r，k代表非負(fù)常數(shù);e，q表示正常數(shù);d表示食餌從斑塊到斑塊i的擴(kuò)散率;a根據(jù)邊界條件選出。在lyapunov定理當(dāng)中，不僅食餌可以擴(kuò)散，捕食者同樣可以擴(kuò)散，并且模型參數(shù)帶有隨機(jī)性。在生物學(xué)上，將捕食-食餌

3、模型定義為：在自然條件變動(dòng)以及人類活動(dòng)影響下產(chǎn)生的斑塊環(huán)境，捕食者擴(kuò)散到其他斑塊中捕食食餌，食餌也可以擴(kuò)散到其他斑塊。二、食餌非常數(shù)捕獲的捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)分析在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，人們所依賴的生活、發(fā)展的根本就是生物資源。為了提高生物資源利用率，同時(shí)不造成資源浪費(fèi)、枯竭，必須要對(duì)其進(jìn)行適度開(kāi)發(fā)和管理，因此，要重點(diǎn)考慮捕食-食餌種群收獲率模型。結(jié)合非常數(shù)模型：該模型對(duì)擴(kuò)散隨機(jī)捕食-食餌模型在穩(wěn)定性、極限環(huán)下的存在、不存在、極限環(huán)存在唯一性進(jìn)行了分析。很多收獲模型中都是采用常數(shù)模式，即使對(duì)捕食-食餌模型考慮較為周全，但是還會(huì)受到周圍條件的影響，如食餌發(fā)展?fàn)顩r、人類需求等。因此，采用常數(shù)型收獲不合理，

4、這就需要對(duì)常數(shù)收獲進(jìn)行改善，將食餌常數(shù)收獲更改為非常數(shù)收獲，公式為：公式中，x表示食餌種群密度（斑塊密度）;y表示捕食者種群密度（斑塊密度）;a表示食餌在斑塊中生長(zhǎng)率;d表示捕食種群在斑塊中的死亡率;h在此系統(tǒng)當(dāng)中，可以得出系統(tǒng)所在參數(shù)下平衡點(diǎn)動(dòng)力性態(tài)圖，顯示系統(tǒng)所在參數(shù)平墊點(diǎn)的四個(gè)象限。在利用系統(tǒng)模型取代參數(shù)條件下，正平衡點(diǎn)為中心點(diǎn)。同時(shí)，在系統(tǒng)所取參數(shù)中，在理想條件下，正平衡點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)。由此可知，捕食者種群、食餌種群在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)上，二者都不會(huì)滅亡。三、食餌具有密度制約且擴(kuò)散隨機(jī)功能性反應(yīng)的捕食-食餌模型種群動(dòng)力系統(tǒng)的捕食-食餌系統(tǒng)可以采用以下公式表示：公式中，e>0為捕食者死亡率;

5、x表示t階段食餌密度;y表示t時(shí)刻捕食者密度;k為正數(shù)，表示轉(zhuǎn)化率;g（x）表示食餌種群相對(duì)增長(zhǎng)率;p（x）表示捕食者功能反應(yīng)函數(shù)。文獻(xiàn)1中對(duì)g（x）取為線形或非線性函數(shù)，如果是功能反應(yīng)函數(shù)為具體形式時(shí)，即可得到系統(tǒng)全局穩(wěn)定性、極限存在唯一性結(jié)果。通過(guò)對(duì)上述模型優(yōu)化，將食餌種群密度制約模型用以下公式表示：在條件生態(tài)意義方面可解釋為：捕食-食餌模型當(dāng)中，即使沒(méi)有捕食者對(duì)食餌的影響，食餌種群內(nèi)部也會(huì)有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，其自然增長(zhǎng)率也會(huì)隨著競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的增加而減少，從正值變?yōu)樨?fù)值。從捕食者和食餌種群數(shù)量關(guān)系方面分析，二者成波動(dòng)關(guān)系，某些階段，捕食者密度小于食餌，隨著時(shí)間增加，捕食者種群密度與食餌密度相等，之后二

6、者逐漸趨于穩(wěn)定，在保證其他條件不發(fā)生變化的基礎(chǔ)上，會(huì)一致保持捕食者、食餌的種群平衡。通過(guò)分析可知，在線性捕食率增加并逐漸趨于穩(wěn)定之后，食餌種群數(shù)量會(huì)增加，而捕食者種群數(shù)量會(huì)逐漸趨于0，符合生態(tài)學(xué)規(guī)律。在一定條件下，捕食者、食餌兩個(gè)種群的數(shù)量會(huì)產(chǎn)生周期變化，也就是系統(tǒng)存在周期解，在考慮系統(tǒng)沒(méi)有人為捕獲的狀態(tài)下，整體上兩個(gè)種群數(shù)量是為周期性變化，但相比模型建立之初，捕食者群眾數(shù)量較大，表明在明確人為因素干擾情況下，捕食者的捕食率較高，從而增加了自身的種群量。而通過(guò)改變捕食者和食餌線性收獲率，可以發(fā)現(xiàn)在不同線性收獲率條件下，捕食者-食餌在趨于穩(wěn)定時(shí)，種群數(shù)量變化非常大，說(shuō)明人為因素會(huì)嚴(yán)重影響種群數(shù)量

7、。當(dāng)食餌種群滅絕或非平均持久時(shí)，捕食者種群也會(huì)滅絕，而食餌滅絕時(shí)，捕食者種群也會(huì)隨之滅絕，其中，模型中驗(yàn)證了環(huán)境噪聲會(huì)導(dǎo)致種群滅絕。所以在現(xiàn)實(shí)生活中，我們要盡可能降低環(huán)境噪聲對(duì)生物種群的負(fù)面影響，讓捕食者、食餌之間長(zhǎng)期穩(wěn)定共存，最終將二者都穩(wěn)定在各自的平衡位置。綜上所述，通過(guò)對(duì)捕食者-食餌模型探討之后，可以得出一個(gè)規(guī)律：捕食者-食餌之間是此消彼長(zhǎng)、相互制約、相互依賴的關(guān)系，也就是在捕食者能力不夠強(qiáng)大時(shí)（捕食者能力較弱時(shí)），食餌種群在此環(huán)境下會(huì)變得更加強(qiáng)大，其密度也會(huì)達(dá)到一個(gè)最大容納值。加入捕食者的收獲率較高（捕食能力較強(qiáng)），且外部環(huán)境存在一定限制條件時(shí)，捕食者-食餌之間會(huì)處于一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，也就是兩個(gè)種群密度在某個(gè)穩(wěn)定參數(shù)上穩(wěn)定下來(lái)，捕食者、食餌種群不會(huì)消失。而一旦捕食者的捕食能力超出了穩(wěn)定閾值，此時(shí)捕食者-食餌種群密度會(huì)圍繞唯一正平衡位置周圍產(chǎn)生周期振蕩，不利于捕食者-食餌種群的穩(wěn)定性。此外，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)不斷發(fā)展，近些年各個(gè)機(jī)構(gòu)也陸續(xù)提出了為生態(tài)模型提供數(shù)值服務(wù)的模型軟件，如maple、mathematica等?？梢越柚@些新型軟件設(shè)計(jì)各類生態(tài)模型運(yùn)行程序，可以更加直觀地得出模型相位圖，這樣既有助于理論分析，也可以直觀呈現(xiàn)出生態(tài)規(guī)律?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1吳凡，焦玉娟.一類帶有線性收獲率的捕食者-食餌模型