高等數(shù)學(xué)課件：9.4 線性微分方程(1-69)

1、9.4 線性微分方程線性微分方程我們將方程我們將方程)()()( xRyxQyxPy (1)稱為稱為二階線性微分方程二階線性微分方程 ( 關(guān)于關(guān)于 都是一次的都是一次的 ) ,y, y y若若 R(x) = 0 , 則方程則方程 0 yxQyxPy)()( (2)稱為稱為二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程 . 同樣如果同樣如果 R(x) 0 , 稱方程稱方程 (1) 為為二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程 若若 P(x) = p , Q(x) = q ( p , q 為常數(shù)為常數(shù) )則方程則方程 (1) 為為)( xRqypyy (3)( xRqypyy (3)方程方程 (3)

2、 稱為稱為二階線性常系數(shù)微分方程二階線性常系數(shù)微分方程 同樣地同樣地 , 如果如果 R(x) = 0 , 即即0 qypyy (4)稱方程稱方程 (4) 為二階線性常系數(shù)齊次微分方程為二階線性常系數(shù)齊次微分方程 否則若否則若 R(x) 0 ,稱方程稱方程 (3) 為為二階線性常二階線性常 系數(shù)非齊次微分方程系數(shù)非齊次微分方程 1 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)設(shè)設(shè) P(x) , Q(x) , R(x) 在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) , 下面我們下面我們 討論方程討論方程 (1) , (2) 解的性質(zhì)解的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 1 (齊次方程解的疊加性齊次方程解的疊加性 ) ( 線性

3、性質(zhì)線性性質(zhì) )如果如果 y1(x) , y2(x) 是齊次方程是齊次方程 (2) 的解的解 ,則對(duì)任意則對(duì)任意常數(shù)常數(shù) c1 , c2 R , y(x) = c1 y1(x)+c2 y2(x)也是方程也是方程 (2 ) 的解的解 證明證明, )( )( )( xycxycxy2211 , )( )( )( xycxycxy2211 因?yàn)橐驗(yàn)?() )( 221122112211ycycxQycycxPycyc )()( (1111yxQyxPyc02222 )()( (yxQyxPyc )()()( xycxycxy2211 是方程是方程 (2) 的解的解 問題問題: )()()(xycxy

4、cxy2211 是否為方程是否為方程 (2) 的通解的通解 ?若若 y1(x) 與與 y2(x) 成線性關(guān)系成線性關(guān)系 ,)()()c (1xcyxycL222 )()(xLyxy21 即存在常數(shù)即存在常數(shù) L R 使使 )()(c 1xycxLy222 則則 )()()(xycxycxy2211 此時(shí)此時(shí) 不是方程不是方程 (2) 的通解的通解 )()()(xycxycxy2211 定義定義對(duì)于對(duì)于a , b上的兩個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù) y1(x) , y2(x) , 若其若其中之一是另一個(gè)的常數(shù)倍中之一是另一個(gè)的常數(shù)倍 , 即存在常數(shù)即存在常數(shù) L 使使 )()(xLyxy21 則稱函數(shù)則稱函

5、數(shù) y1(x) , y2(x) 在在 a , b 上上線性相關(guān)線性相關(guān) , 否則否則稱稱 y1(x) , y2(x) 在在 a , b 上上線性無關(guān)線性無關(guān) 說明說明:, cos , sin )(xyxy32311 由于由于Lxxyxy 221tan)()( cos , sinxyxy3231 在任意區(qū)間上都是線性無關(guān)在任意區(qū)間上都是線性無關(guān) )( ln , ln )(02231 xxyxy由于由于)()(xyxy213 xyxyln , ln 231在任一區(qū)間上都是線性相關(guān)的在任一區(qū)間上都是線性相關(guān)的定理定理 1 (二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))如果如果 y1(x) ,

6、y2(x) 是齊次方程是齊次方程 (2) 在在 a , b 上的上的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解任意兩個(gè)線性無關(guān)的解 , 則則是齊次方程是齊次方程 (2) 在在 a , b 上的通解上的通解 ( 這里這里 c1 , c2 是是任意常數(shù)任意常數(shù) ) )()()(xycxycxy2211 (5)定理定理 1 的結(jié)論可類似地推廣到的結(jié)論可類似地推廣到 n 階線性齊次方程階線性齊次方程0111 yxayxayxaynnnn)()()()()(6)定義定義對(duì)于對(duì)于a , b上的函數(shù)上的函數(shù) ),( , , )( , )(2xyxyxyn1則稱這則稱這 n 個(gè)函數(shù)在個(gè)函數(shù)在 a , b 上是上是 線性相關(guān)的線性相

7、關(guān)的 , 如果存在如果存在 n 個(gè)不全為零的常數(shù)個(gè)不全為零的常數(shù) 使在使在, , , , 2nkkk1a , b 上有上有02211 )( )()(xykxykxyknn否則稱這否則稱這 n 個(gè)函數(shù)在個(gè)函數(shù)在 a , b 上是上是線性無關(guān)的線性無關(guān)的 定理定理 2 ( n 階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))如果函數(shù)如果函數(shù) 是齊次方程是齊次方程 (6) )( )()()(xycxycxycxynn 2211是方程是方程 (6) 的通解的通解 )( , , )( , )(xyxyxyn21的的 n 個(gè)線性無關(guān)的特解個(gè)線性無關(guān)的特解 , 則則說明說明: (1) 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理

8、把方程的求線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理把方程的求解歸結(jié)為對(duì)方程的線性無關(guān)解的計(jì)算問題解歸結(jié)為對(duì)方程的線性無關(guān)解的計(jì)算問題 (2) 對(duì)于一般的變系數(shù)線性齊次方程對(duì)于一般的變系數(shù)線性齊次方程 , 對(duì)線性對(duì)線性無關(guān)解的計(jì)算仍是困難的無關(guān)解的計(jì)算仍是困難的 (3) 求解齊次方程求解齊次方程0 yxQyxPy)()( (2)的方法的方法:(a) 求出求出 (2) 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解的兩個(gè)線性無關(guān)的特解 y1(x) , y2(x) ;(b) 寫出通解寫出通解)()()(xycxycxy2211 例例驗(yàn)證驗(yàn)證 是微分方程是微分方程xey 10112 yxyxxy)()( 的一個(gè)解的一個(gè)解 , 并求其通解并求其

9、通解 解解將將 代入方程得代入方程得 ,xey 1,xey 1xey 10112 xxxexexxe)()(xey 1是方程的一個(gè)解是方程的一個(gè)解 由于方程是二階線性齊次微分方程由于方程是二階線性齊次微分方程 , 故為求其故為求其通解通解 , 只需求一個(gè)與只需求一個(gè)與 y1 線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解 y2 設(shè)設(shè) 是方程的解是方程的解 , 其中其中 u(x) 是待定函數(shù)是待定函數(shù)xexuy)( 2由于由于, xxueeuy 222xxxyu eu eue 代入方程得代入方程得0 uxu uxu xuu1 積分得積分得1cxulnlnln xcu1 由于只需取一個(gè)解由于只需取一個(gè)解 , 故取故取

10、c1 = 1 ,于是有于是有xdxdu1 再積分得再積分得2cxu ln取取 c2 = 0 , 則有則有xuln 所以所以 是原方程的一個(gè)解是原方程的一個(gè)解 , 且與且與xeyxln 2xey 1線性無關(guān)線性無關(guān) . 根據(jù)齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理知知 , 方程的通解為方程的通解為xcecxyxxlne)(21 下面討論非齊次方程下面討論非齊次方程 (1) 的解的結(jié)構(gòu)的解的結(jié)構(gòu)證明證明將函數(shù)將函數(shù) 代入方程代入方程 (2) 有有12yxyx( )( ) 121212y xyxP xy xyxQ xy xyx( )( )( )( )( )( )( )( ) 111yxP x y

11、xQ x yx( )( )( )( )( ) 222yxP x yxQ x yx( )( )( )( )( ) 0 )()(xRxR性質(zhì)性質(zhì) 2如果如果 是非齊次方程是非齊次方程 (1)的任意的任意12yxyx( ),( )兩個(gè)特解兩個(gè)特解 ，則，則 是非齊次方程是非齊次方程 (1)所對(duì)所對(duì)12yxyx( )( ) 應(yīng)的齊次方程應(yīng)的齊次方程 (2) 的解的解 進(jìn)一步分析進(jìn)一步分析：若：若 是非齊次方程是非齊次方程 (1)的任意一個(gè)解的任意一個(gè)解y x( ) 是非齊次方程是非齊次方程 (1) 的一個(gè)任意取定的特解的一個(gè)任意取定的特解pyx( )根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì) 2 ， 是齊次方程是齊次方程 (2

12、)hpyxy xyx( )( )( ) 的解，的解，即即非齊次方程非齊次方程 (1)的任意一個(gè)解都可表示為非齊次的任意一個(gè)解都可表示為非齊次方程方程 (1) 的任意一個(gè)取定的特解與其對(duì)應(yīng)的齊次方的任意一個(gè)取定的特解與其對(duì)應(yīng)的齊次方程（程（2）的某一解的和）的某一解的和 。phy xyxyx( )( )( ) 從而有從而有反之，容易驗(yàn)證反之，容易驗(yàn)證phy xyxyx( )( )( ) 也一定是非齊次方程也一定是非齊次方程 (1) 的解的解 定理定理 ( 非齊次方程解的結(jié)構(gòu)非齊次方程解的結(jié)構(gòu))其中其中 c1 , c2 是任意常數(shù)是任意常數(shù) 如果如果 y1(x) , y2(x) 是方程是方程 (1

13、) 對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程 (2)的任一特解的任一特解 , 的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解 , pyx( )是非齊次方程是非齊次方程 (1) 則則是非齊次方程是非齊次方程 (1) 的通解，的通解， 1 122py xyxc yxc yx ( )( )( )( ) 非齊次方程非齊次方程)()()( xRyxQyxPy 的求解方法的求解方法:(1) 求出齊次方程求出齊次方程0 yxQyxPy)()( 的任意兩個(gè)線性無關(guān)的特解的任意兩個(gè)線性無關(guān)的特解 y1(x) , y2(x) ;(2) 求出非齊次方程求出非齊次方程)()()( xRyxQyxPy 的一個(gè)特解的一個(gè)特解 pyx(

14、 )(3) 寫出非齊次方程的通解寫出非齊次方程的通解1 122py xyxc yxc yx ( )( )( )( ) 例例設(shè)設(shè) y1(x) , y2(x) 和和 y3(x) 都是二階線性非齊次都是二階線性非齊次)()()( xRyxQyxPy 微分方程微分方程 的解的解 , 且且)()()()(xyxyxyxy1312 常數(shù)常數(shù) , 求證求證:)()()()()(xyc xycxyccxy32211211 是該方程的通解是該方程的通解 , 其中其中 c1 , c2 是任意常數(shù)是任意常數(shù) .解解因?yàn)橐驗(yàn)?()(1321211yyc )yycyxy 由于由于 是非齊次方程的解是非齊次方程的解 ,

15、所以所以321y, y , y1312yyyy , 是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解 根據(jù)根據(jù)非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理知知)()()()()(xyc xycxyccxy32211211 )()(1321211yyc yycy 是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解由于由于)()()()(xyxyxyxy1312 常數(shù)常數(shù) ,1312yy, y y 解解 線性無關(guān)線性無關(guān) .性質(zhì)性質(zhì) 4 ( 非齊次方程解的疊加原理非齊次方程解的疊加原理 )如果函數(shù)如果函數(shù) y1(x) 和和 y2(x) 分別是二階線性非齊分別是二階線性非齊次方程次方程)()()( xfyxQyxPy1

16、和和)()()( xfyxQyxPy2 的解的解 ,則則 是方程是方程 xyxyxy)()()(21 )()()()( xfxfyxQyxPy21 的解的解 2 二階線性常系數(shù)微分方程二階線性常系數(shù)微分方程考慮二階線性常系數(shù)方程考慮二階線性常系數(shù)方程)( xfqypyy (7)的求解問題的求解問題 (1) 二階線性常系數(shù)齊次方程的求解二階線性常系數(shù)齊次方程的求解設(shè)齊次方程設(shè)齊次方程0 qypyy (8)其中其中 p , q 為常數(shù)為常數(shù) 下面考慮求下面考慮求 (8) 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解的兩個(gè)線性無關(guān)的特解設(shè)方程設(shè)方程 (8) 有形式有形式 的解的解 , xey 代入方程代入方程 (8) 有有

17、02 xxxqeepe 即即02 xeqp )( 待定常數(shù)待定常數(shù) 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程02 qp (9)方程方程 (9) 稱為齊次方程稱為齊次方程 (8) 的的特征方程特征方程 為求方程為求方程 (8) 的兩個(gè)線性無關(guān)的解的兩個(gè)線性無關(guān)的解 , 需分別需分別對(duì)特征方程對(duì)特征方程 (9) 的情況進(jìn)行討論的情況進(jìn)行討論 (a) 如果特征方程如果特征方程 (9) 有兩個(gè)不同的實(shí)根有兩個(gè)不同的實(shí)根)(042 qp設(shè)設(shè) 是特征方程是特征方程 (9) 的根的根 , 則則R 21 , xxey ey2121 ,是方程是方程 (8) 的解的解 .由于由于xxeeyy2121 常數(shù)常數(shù) ,xxey ,ey 2

18、121 是線性無關(guān)解是線性無關(guān)解 ,所以方程所以方程 (8) 的通解的通解 ececxyxx2121 )(b) 如果特征方程如果特征方程 (9) 有兩個(gè)不同的復(fù)根有兩個(gè)不同的復(fù)根)(042 qp設(shè)兩個(gè)復(fù)根設(shè)兩個(gè)復(fù)根 :, iba , iba 21 則有解則有解 eyxiba)( 1)sin(cos)(bxibxeee eyaxibxaxxiba 2)sin(cosbxibxeax ibxaxee 為了獲得方程為了獲得方程 (8) 的兩個(gè)實(shí)線性無關(guān)解的兩個(gè)實(shí)線性無關(guān)解 , 利用性質(zhì)利用性質(zhì)1 知知bxeeeyaxxxcos)( 21211 bxeeeiyaxxxsin)( 21212 都為都為

19、(8) 的解的解并且并且 y1 , y2 是是 (8) 的實(shí)函數(shù)解的實(shí)函數(shù)解 , 同時(shí)是線性無關(guān)的同時(shí)是線性無關(guān)的 .所以方程所以方程 (8) 的通解的通解bxecbxecxyaxaxsincos)(21 )sin(cos)(bxibxeee eyaxibxaxxiba 1)sin(cos)(bxibxeee eyaxibxaxxiba 2(c) 如果特征方程如果特征方程 (9) 有相等的實(shí)根有相等的實(shí)根)(qp42 此時(shí)根此時(shí)根, p221 于是于是xpxeey211 是方程是方程 (8) 的解的解為了獲得為了獲得 (8) 的另外一個(gè)與的另外一個(gè)與 y1(x) 線性無關(guān)的線性無關(guān)的解解 ,

20、采用采用常數(shù)變易法常數(shù)變易法 )()()(xyxcxy12 設(shè)設(shè) (8) 有形如有形如 的解的解 , 其中其中c(x) 為待定函數(shù)為待定函數(shù) .則則)( )()()( )( xyxcxyxcxy112 )( )()( )( )()( )( xyxcxyxcxyxcxy11122 代入方程有代入方程有 )( )()( )( )()( xyxcxyxcxyxc11120111 )()()( )()()( xyxqcxyxcxyxcp )( )()( )()( xcxpyxyxyxc11120111 )()( )( )(xqyxpyxyxc)( )()( )()( xcxpyxyxyxc1112 p

21、xyxyxcxc )()( )( )( 112積分得積分得pxxyxc )(ln)( ln12121 pxpxpxeexyexc )()( xxc )(所以所以 是方程是方程 (8) 的解的解 , 且與且與 y1(x)xxexy12 )(線性無關(guān)線性無關(guān) 所以方程所以方程 (8) 的通解的通解xxxexcc xececxy1112121 )()( 計(jì)算齊次方程計(jì)算齊次方程 (8) 的通解的方法的通解的方法:0 qypyy 設(shè)齊次方程為設(shè)齊次方程為(1) 寫出特征方程寫出特征方程02 qp (2) 根據(jù)特征方程的情況寫出方程的通解根據(jù)特征方程的情況寫出方程的通解(a) 有兩個(gè)不同的實(shí)根有兩個(gè)不同

22、的實(shí)根:21 通解通解: ececxyxx2121 )(b) 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根:iba 21, 通解通解:bxecbxecxyaxaxsincos)(21 (c) 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根:21 通解通解:xxxexcc xececxy1112121 )()( 例例求方程求方程 的通解的通解 096 yyy 解解特征方程特征方程0962 特征根特征根321 , ( 二重根二重根 )所以方程的通解所以方程的通解xexccxy321 )()(例例求方程求方程 的通解的通解 086 yyy 解解特征方程特征方程0862 特征根特征根4221 ,所以方程的通解所以方程的通解 ece

23、cxyxx4221 )(解解特征根特征根 i 321 , 所以方程的通解所以方程的通解 xcxcxy3321sincos)( 例例求方程求方程 滿足初始條件滿足初始條件 09 yy 3000 )( )(y , y的特解的特解 特征方程特征方程092 由由, c y0001 )(由由1333022 c c y)( 又又 xcxcxy333321cossin)( 所以特解所以特解 xxy3sin)( 例例一圓柱形浮體半徑為一圓柱形浮體半徑為 0.25 m , 在水中浮動(dòng)在水中浮動(dòng) . 設(shè)設(shè)它的對(duì)稱軸始終垂直于水面它的對(duì)稱軸始終垂直于水面 , 且水面是平靜的且水面是平靜的 .今今將它輕輕按下再放開將

24、它輕輕按下再放開 , 浮體作周期浮體作周期 2 秒的上下震秒的上下震動(dòng)動(dòng) , 設(shè)忽略阻力設(shè)忽略阻力 , 求浮體的質(zhì)量求浮體的質(zhì)量 解解s 0hs建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示 , 原點(diǎn)原點(diǎn)O 為浮體平衡時(shí)浸水線的位置為浮體平衡時(shí)浸水線的位置 當(dāng)浮體下浮位移當(dāng)浮體下浮位移 s 時(shí)時(shí), ghgsf22250250).().( 浮浮力力由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得原理知原理知: 由阿基米德由阿基米德).().(ghgsmgdtsdm2222250250 由于平衡時(shí)由于平衡時(shí) , ghmg2250).( 所以有所以有g(shù)sdtsdm222250).( 即即025022 smgdtsd2).(

25、( 二階線性齊次方程二階線性齊次方程 )特征根特征根: img 25021., 特征方程特征方程:, mg025022 ).( 方程的通解方程的通解120 250 25ggsctctmmsin( .)cos( .) 此時(shí)的運(yùn)動(dòng)周期此時(shí)的運(yùn)動(dòng)周期mgT 2502. 現(xiàn)由現(xiàn)由 T = 2 , gm2250).( 所以有所以有(2) 二階線性常系數(shù)非齊次方程的求解二階線性常系數(shù)非齊次方程的求解設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程)( xfqypyy ( p , q 常數(shù)常數(shù) )(10)從非齊次方程解的結(jié)構(gòu)理論知從非齊次方程解的結(jié)構(gòu)理論知 , 現(xiàn)只需討論求現(xiàn)只需討論求方程方程 (10) 的一個(gè)特解的方法的一個(gè)特解

26、的方法 下面介紹用待定系數(shù)法求方程下面介紹用待定系數(shù)法求方程 (10) 的特解的方法的特解的方法(a) , xPexfnx)()( 為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù) , Pn(x) 為為 n 次實(shí)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)多項(xiàng)式設(shè)設(shè) (10) 有形式有形式 的解的解 , 其中其中 Q(x) xQexyx)()( 是一待定多項(xiàng)式是一待定多項(xiàng)式由由)( )()( xQeexQxyxx xexQxQ )()( )( )( )()( )( xQxQexQxQexyxx )()( )( xQxQxQex22 代入方程有代入方程有 )()( )( xQxQxQex22 xexQxQp )()( )()(xPexQqenxx 整理

27、得整理得)()()()( )()( xPxQqpxQpxQn 22(11)1) 如果如果 不是特征方程不是特征方程 的根的根02 qp , qp02 則則取取nnnnnbxbxbxbxQxQ 1110)()(其中其中 為待定系數(shù)為待定系數(shù) nnb, b, b, b110 ,)()()()( )()( xPxQqpxQpxQn 22(11)代入代入 (11) 式確定式確定 使使nnb, b, b, b110 , xQexynx)()( 是方程是方程 (10) 的解的解( 不是特征根情形的特解形式不是特征根情形的特解形式 )2) 如果如果 是特征方程是特征方程 的單根的單根 02 qp 0202

28、p , qp則則此時(shí)此時(shí) , 為使為使 (11) 式的左邊為一式的左邊為一 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 , 代入代入 (11) 式確定式確定 使使nnb, b, b, b110 , xQxexynx)()( 是方程是方程 (10) 的解的解 . ( 是單根情形的特解形式是單根情形的特解形式 )()(xxQxQn 可取可取3) 如果如果 是特征方程是特征方程 的二重根的二重根 .02 qp 0202 p , qp則則此時(shí)此時(shí) , 為使為使 (11) 式的左邊為一式的左邊為一 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 , xQexxynx)()( 2 是方程是方程 (10) 的解的解( 是二重根情形的特解形式是二重根情形的

29、特解形式 )代入代入 (11) 式確定系數(shù)式確定系數(shù) 使使nnb, b, b, b110 ,)()(xQxxQn2 可取可取綜合以上結(jié)論知綜合以上結(jié)論知: xQexxynxk)()( 其中其中 為待定為待定 nnnnnnbxbxbxbxQ 1110)(次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 ,0 , 不是特征根不是特征根1 , 是單根是單根2 , 是二重根是二重根k =)( xPeqypyynx ( Pn(x) 為為 n 次實(shí)多項(xiàng)式次實(shí)多項(xiàng)式 )的特解形式為的特解形式為二階線性常系數(shù)非齊次方程二階線性常系數(shù)非齊次方程例例求方程求方程 的通解的通解 xexyyy22644)( 解解特征方程特征方程0442

30、 特征根特征根221 , ( 二重根二重根 )所以齊次方程的通解所以齊次方程的通解:xexccxy221)()( 先求齊次方程先求齊次方程 的通解的通解044 yyy 再求非齊次方程的一個(gè)特解再求非齊次方程的一個(gè)特解由由, exxfx226)()( 是特征方程的二重根是特征方程的二重根 ,故可設(shè)非齊次方程的特解為故可設(shè)非齊次方程的特解為xexbbxxy2102)()( 此時(shí)此時(shí)xexbxbbxbxy21210302232)()( xebxbbxbbxbxy2101210302684124)()()( 代入方程整理得代入方程整理得262610 xbxb令令 , 660 b221 b解得解得111

31、0 b b,所以求得方程的一特解所以求得方程的一特解:xexxxy223)()( 由此求得原方程的通解由此求得原方程的通解xxexccexxxy221223)()()( 例例設(shè)設(shè) f (x) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù) , 且滿足方程且滿足方程 xxdttftxexf02)()()(求求 f (x) 解解原方程可表示為原方程可表示為 xxxdtttfdttfxexf002)()()(將方程兩邊對(duì)將方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()()()( xxfxxfdttfexfxx 022 xxdttfe022)(再將方程兩邊對(duì)再將方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()( xfexfx 24即即xexfxf24

32、)()( 又從上面的等式可得又從上面的等式可得2010 )( )(f , f故知所求函數(shù)故知所求函數(shù) f (x) 滿足以下初值問題滿足以下初值問題xeyy24 2010 )( )(y , y特征方程特征方程, 012 特征根特征根i 21, 所以齊次方程所以齊次方程 通解通解: 0 yy xcxcxyhsincos)(21 設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為xAexy2 )( = 2 不是特征根不是特征根 )代入方程得代入方程得xxxeAeAe22244 54 A所以特解所以特解xexy254 )(于是原方程的通解于是原方程的通解xcxcexyxsincos)(21254 由由, c y

33、51101 )(由由 )( 52202 cy故所求函數(shù)為故所求函數(shù)為xxexyxsincos)(5251542 (b)sin)(cos)()(xxP xPexflnx 此時(shí)方程此時(shí)方程 (11) 為為sin)(cos)( xxPxxPeqypyylnx (12)其中其中 Pn(x) , Pl (x) 分別為分別為 n 次和次和 l 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 .對(duì)于方程對(duì)于方程 (12) 可設(shè)其特解為可設(shè)其特解為sin)(cos)()(xxRxxQexxymmxk 其中其中 m = max n , l , 為為 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 )()(xR , xQmm0 , + i 不是特征方程的根不是特征方程

34、的根1 , + i 是特征方程的單根是特征方程的單根k =例例求方程求方程 的通解的通解 xeyyxcos 210 解解特征方程特征方程012 特征根特征根121 , 所以齊次方程的通解所以齊次方程的通解xxececxy21 )(先求齊次方程先求齊次方程 的通解的通解 0 yy 再求非齊次方程的一個(gè)特解再求非齊次方程的一個(gè)特解此時(shí)此時(shí),x exfxcos)(210 及及 Pn(x) = 10 , Pl (x) = 0 , = 2 , = 1 由于由于 + i = 2 + i 不是特征根不是特征根 , 故設(shè)特解故設(shè)特解)sincos()(xbxaexyx 2此時(shí)此時(shí)sin)(cos)()( xa

35、bxbaexyx 222sin)(cos)()( xabxbaexyx43432 代入原方程并整理得代入原方程并整理得xxabxbacossin)(cos)(104242 1042 ba042 ab令令解得解得 a = 1 , b = 2所以原方程的特解所以原方程的特解:)sin(cos)(xxexyx22 原方程的通解原方程的通解xxxececxxexy2122 )sin(cos)(注意注意: 盡管盡管 中不含中不含 (12) 中中x exfxcos)(210 的的 sin x , 但應(yīng)認(rèn)為是但應(yīng)認(rèn)為是 (12) 式中的式中的 Pl (x) = 0 ,不可設(shè)特解為不可設(shè)特解為xaexyxco

36、s)(2 而應(yīng)設(shè)為而應(yīng)設(shè)為)sincos()(xbxaexyx 2例例求方程求方程 的通解的通解 xexyyyx418622cos)( 解解特征方程特征方程0862 特征根特征根4221 , 所以齊次方程的通解所以齊次方程的通解xxhececxy4221 )(下面考慮求非齊次方程的特解下面考慮求非齊次方程的特解將原方程分解為將原方程分解為xexyyy22186)( (13)xyyy486cos (14)注意到若注意到若 是是 (13) 的特解的特解 , 是是 (14) 的特解的特解 )(xy1)(xy2則則 就是原方程的特解就是原方程的特解 )()()(xyxyxy21 而而 (13) 屬于屬

37、于 (a) 的情形的情形 , (14) 屬于屬于 (b) 的情形的情形 設(shè)方程設(shè)方程 (13) 的特解為的特解為221xy xx axbxc e( )() ( = 2 是特征根是特征根 )將將 代入代入 (13) , 整理得整理得)(xy112246622 xcbxbaax)(令令16 a046 ba122 cb解得解得 434161 c , b , a所以所以xexxxxy221434161)()( 再求方程再求方程 (14) 的特解的特解 . 由于由于 不是特征根不是特征根 , i4 故可設(shè)特解故可設(shè)特解xbxaxy442sincos)( 將將 代入代入 (14) , 整理可得整理可得)(

38、xy2xxabxba442484248cossin)(cos)( 令令1248 ba0248 ab解得解得 , b , a803801 )sin(cos)(xxxy4348012 )()()(xyxyxy21 原方程的特解原方程的特解)sin(cos)(xxexxxx43480143416122 所以原方程的通解所以原方程的通解)()()(xyxyxyh xxecec4221 xexxx22434161)( )sin(cosxx434801例例彈性橫梁的震動(dòng)問題彈性橫梁的震動(dòng)問題有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m 的電動(dòng)機(jī)的電動(dòng)機(jī) , 安裝在梁上安裝在梁上 A 點(diǎn)點(diǎn) , 電電動(dòng)機(jī)開動(dòng)時(shí)動(dòng)機(jī)開動(dòng)時(shí) , 產(chǎn)

39、生一垂直于梁的干擾力產(chǎn)生一垂直于梁的干擾力 psin t ( p , 為常數(shù)為常數(shù) ) , 使梁發(fā)生振動(dòng)使梁發(fā)生振動(dòng) . 梁上梁上 A 點(diǎn)的位移用坐點(diǎn)的位移用坐標(biāo)標(biāo) y 表示表示 , 梁的彈性恢復(fù)力與位移梁的彈性恢復(fù)力與位移 y 成正比成正比 ( 比例比例系數(shù)為系數(shù)為 k 0 ) , 求求 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(不計(jì)阻力與重力不計(jì)阻力與重力)解解 建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示A oyA 點(diǎn)受到的力點(diǎn)受到的力: (1) 干擾力干擾力: psint(2) 彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力 : kykytpdtydm sin22據(jù)牛頓第二定律有據(jù)牛頓第二定律有初始條件初始條件:0000 )( )

40、(y , y即即 y 滿足初值問題滿足初值問題:kytpdtydm sin220000 )( )(y , y特征方程特征方程:02 km 特征根特征根:imk 21, 齊次方程的通解齊次方程的通解:tnkctmkctyhsincos)(21 :mk被稱為被稱為固有頻率固有頻率 下面求非齊次方程的特解下面求非齊次方程的特解(1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , 設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為mk tbtaty sincos)( 代入方程整理得代入方程整理得tptmkatmkb sincos)(sin)( 22令令02 )( mka2b kmp() 解得解得2 mkpb 0 a)(mk tmkpty s

41、in)(2 非齊次方程的特解非齊次方程的特解:非齊次方程的通解非齊次方程的通解:tmkctmkcsincos21 tmkpty sin)(2 由由, y , y0000 )( )(2210 mkpkmc , c 所以初值問題的解所以初值問題的解)sin(sin)(tmkkmtmkpty 2(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , 設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為mk )sincos()(tbtatty 代入方程可得代入方程可得:02 b , kpa ttkpty cos)(2 非齊次方程的特解非齊次方程的特解:非齊次方程的通解非齊次方程的通解:kpc , c 2021 tmkctmkcsincos21

42、ttkpty cos)(2 由由 可確定可確定 y , y0000 )( )(所以初值問題的解所以初值問題的解tmkkpttkptysincos)(22 tkpttkp sincos22 注意注意: 位移位移 y(t) 的振幅為的振幅為 2212tkp 將隨將隨 t 的增大而無限增大的增大而無限增大 , 從而引起從而引起共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ,mk 3 n 階線性常系數(shù)微分方程階線性常系數(shù)微分方程 n 階方程階方程 )()()(xfyayayaynnn 0111(15)其中其中 是常數(shù)是常數(shù) , 稱為稱為 n 階線性階線性)(2110 n a , a , an常系數(shù)微分方程常系數(shù)微分方

43、程 而稱而稱 n 階方程階方程00111 yayayaynnn)()(16)為方程為方程 (15) 所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的 n 階線性常系數(shù)齊次方程階線性常系數(shù)齊次方程 與二階線性方程類似與二階線性方程類似 , 非齊次方程非齊次方程 (15) 的通解為的通解為:phy xyxyx( )( )( ) 其中其中 yh(x) 為其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 ,pyx( )為為 (15)的一個(gè)特解的一個(gè)特解 )()(, )(xy , , xy xyn21若若 為齊次方程為齊次方程 (16) 的的n 個(gè)線性無關(guān)解個(gè)線性無關(guān)解 ( 即其中的任何一個(gè)都不能被其余即其中的任何一個(gè)都不能被其余的線性表示

44、的線性表示 ) , )()()()(xyc xycxycxynn 2211則齊次方程則齊次方程 (16) 的通解為的通解為為求齊次方程為求齊次方程 (16) 的的 n 個(gè)線性無關(guān)解個(gè)線性無關(guān)解 , 求出特征方程的根求出特征方程的根 , 并寫出對(duì)應(yīng)的解并寫出對(duì)應(yīng)的解:(1) 若若 是是 (17) 的單重實(shí)根的單重實(shí)根 , 則確定其對(duì)應(yīng)的則確定其對(duì)應(yīng)的解為解為:xe (2) 若若 是是 (17) 的的 k 重實(shí)根重實(shí)根 , 則確定其對(duì)應(yīng)的則確定其對(duì)應(yīng)的k 個(gè)解為個(gè)解為 :xkxxxex , , ex , xe , e 12 其有形式其有形式 的解的解 , xexy )(可設(shè)可設(shè)(17)方程方程 (

45、16) 的特征方程的特征方程00111 aaannn 代入代入 (16) 得得 滿足滿足則確定其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解為則確定其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解為 : bxe ,bx eaxaxsincos(3) 若若 是是 (17) 的單重共軛復(fù)根的單重共軛復(fù)根 : iba (4) 若若 是是 (17) 的的 k 重共軛復(fù)根重共軛復(fù)根 : iba 則確定其對(duì)應(yīng)的則確定其對(duì)應(yīng)的 2k個(gè)解為個(gè)解為 :bxex bxex ,bx eaxkaxaxcos,coscos1 bxex bxex ,bx eaxkaxaxsin,sinsin1 于是就可根據(jù)方程于是就可根據(jù)方程 (17) 根的情況根的情況 , 寫出齊次寫出齊次方程方程 (16) 的的 n 個(gè)線性無關(guān)解個(gè)線性無關(guān)解 , 從而獲得齊次方程從而獲得齊次方程(16) 的通解的通解 yh(x) 例例求方程求方