高中數(shù)學必修一 第1章 1.5 1.5.1　全稱量詞與存在量詞 1.5.2　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

1、1 / 7 1.5 全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞 1.5.1 全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞 1.5.2 全稱量詞命題和存在量詞命題的否全稱量詞命題和存在量詞命題的否定定 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.通過生活和數(shù)學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱量詞命題和存在量詞命題的意義. 2.掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判定(重點、難點) 3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定(重點、易混點) 1.通過含量詞的命題的否定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng). 2.借助全稱量詞命題和存在量詞命題的應用，提升數(shù)學運算素養(yǎng). 1全稱量詞與全稱量詞命題 (1)短語“所有的”“任意

2、一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示 (2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量 x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，變量 x的取值范圍用 m表示，那么全稱量詞命題“對 m中任意一個 x，p(x)成立”可用符號簡記為xm，p(x) 2存在量詞與存在量詞命題 (1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示 2 / 7 (2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在 m中的元素 x，使 p(x)成立”，可用符號簡記為“xm，p(x)” 思考：“一元二次方程 ax22x10 有實數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？

3、請改寫成相應命題的形式 提示：是存在量詞命題，可改寫為“存在 xr，使 ax22x10” 3含有一個量詞的命題的否定 一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結論： 全稱量詞命題 p：xm，p(x)，它的否定p：xm，p(x)； 存在量詞命題 p：xm，p(x)，它的否定p：xm，p(x) 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題 1下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是( ) 任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)； 有的菱形是正方形； 三角形的內(nèi)角和是 180 . a0 b1 c2 d3 答案 c 2下列全稱量詞命題為真命題的是( ) a所有的質數(shù)是奇數(shù) bxr，x211 c對每

4、一個無理數(shù) x，x2也是無理數(shù) d所有的能被 5整除的整數(shù)，其末位數(shù)字都是 5 答案 b 3下列命題中的假命題是( ) axr，|x|0 bxn*，(x1)20 cxr，x20190. 解 (1)因為面積相等的三角形不一定相似故它是假命題 (2)因為當 x2y20時，xy0， 所以不存在 x，y為正實數(shù)，使 x2y20，故它是假命題 (3)由有序實數(shù)對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題 (4)因為 0n,020，所以命題“xn，x20”是假命題 含有一個量詞的命題的否定 【例 2】 (1)設命題 p：nn，n22n，則命題 p的否定為( ) ann，n22n bnn，n22n cn

5、n，n22n dnn，n22n (2)命題“xr，nn*，使得 nx2”的否定形式是( ) axr，nn*，使得 nx2 bxr，nn*，使得 nx2 cxr，nn*，使得 nx2 dxr，nn*，使得 nx2 (1)c (2)d (1)因為“xm，p(x)”的否定是“xm，p(x)”，所以命題“nn，n22n”的否定是“nn，n22n”，故選 c. (2)由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“xr，nn*，使得 nx2”的否定形式為“xr，nn*，使得 nx2” 5 / 7 含有一個量詞的命題的否定的方法 (1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否

6、定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論 (2)對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定 2寫出下列命題的否定并判斷其真假： (1)p：xr，x1220； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xr，x22x30； (4)s：至少有一個實數(shù) x，使 x310. 解 (1) p：xr，x1220，假命題 因為xr，x1220恒成立，所以p 是假命題 (2) q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題 (3) r：xr，x22x30，真

7、命題 因為xr，x22x3(x1)2220恒成立，所以r 是真命題 (4) s：xr，x310，假命題 因為 x1時，x310，所以s 是假命題 全稱量詞命題與存在量詞命題的應用 【例 3】 對于任意實數(shù) x，函數(shù) yx24x1的函數(shù)值恒大于實數(shù) m，求m的取值范圍 解 令 yx24x1，xr， 則 y(x2)25， 因為xr，不等式 x24x1m恒成立， 所以只要 m5即可 所以所求 m的取值范圍是m|m0的否定是xr，x23x30.( ) 答案 (1) (2) (3) 7 / 7 2下列存在量詞命題中，是假命題的是( ) axz，x22x30 b至少有一個 xz，使 x能同時被 2 和 3

8、整除 c有的三角形沒有外接圓 d某些四邊形不存在外接圓 c a中，x1滿足題意，是真命題；b 中，x6滿足題意，是真命題；c 中，所有的三角形都有外接圓，是假命題只有對角互補的四邊形才有外接圓，故選 c. 3命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是( ) a任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) b任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) c存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) d存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) b 量詞“存在”改為“任意”，結論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它的平方不是有理數(shù)”，故選 b. 4判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假 (1)對某些實數(shù) x，有 2x10； (2)x3,5,7,3x1 是偶數(shù)； (3)xq，x23. 解 (1)命題中含有存在量詞“某些”，因此是存在量詞命題，真命題 (2)命題中含有全稱量詞的符號“”，因此是全