高中數(shù)學(xué)必修一 第1章 1.5 1.5.1　全稱(chēng)量詞與存在量詞 1.5.2　全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定

1、1 / 7 1.5 全稱(chēng)量詞與存在量詞全稱(chēng)量詞與存在量詞 1.5.1 全稱(chēng)量詞與存在量詞全稱(chēng)量詞與存在量詞 1.5.2 全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定定 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義以及全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的意義. 2.掌握全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題真假性的判定(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) 1.通過(guò)含量詞的命題的否定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng). 2.借助全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題 (1)短語(yǔ)“所有的”“任意

2、一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“”表示 (2)含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)量詞命題，通常將含有變量 x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，變量 x的取值范圍用 m表示，那么全稱(chēng)量詞命題“對(duì) m中任意一個(gè) x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為xm，p(x) 2存在量詞與存在量詞命題 (1)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示 2 / 7 (2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在 m中的元素 x，使 p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“xm，p(x)” 思考：“一元二次方程 ax22x10 有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱(chēng)量詞命題？

3、請(qǐng)改寫(xiě)成相應(yīng)命題的形式 提示：是存在量詞命題，可改寫(xiě)為“存在 xr，使 ax22x10” 3含有一個(gè)量詞的命題的否定 一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論： 全稱(chēng)量詞命題 p：xm，p(x)，它的否定p：xm，p(x)； 存在量詞命題 p：xm，p(x)，它的否定p：xm，p(x) 全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題 1下列命題中全稱(chēng)量詞命題的個(gè)數(shù)是( ) 任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)； 有的菱形是正方形； 三角形的內(nèi)角和是 180 . a0 b1 c2 d3 答案 c 2下列全稱(chēng)量詞命題為真命題的是( ) a所有的質(zhì)數(shù)是奇數(shù) bxr，x211 c對(duì)每

4、一個(gè)無(wú)理數(shù) x，x2也是無(wú)理數(shù) d所有的能被 5整除的整數(shù)，其末位數(shù)字都是 5 答案 b 3下列命題中的假命題是( ) axr，|x|0 bxn*，(x1)20 cxr，x20190. 解 (1)因?yàn)槊娣e相等的三角形不一定相似故它是假命題 (2)因?yàn)楫?dāng) x2y20時(shí)，xy0， 所以不存在 x，y為正實(shí)數(shù)，使 x2y20，故它是假命題 (3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題 (4)因?yàn)?0n,020，所以命題“xn，x20”是假命題 含有一個(gè)量詞的命題的否定 【例 2】 (1)設(shè)命題 p：nn，n22n，則命題 p的否定為( ) ann，n22n bnn，n22n cn

5、n，n22n dnn，n22n (2)命題“xr，nn*，使得 nx2”的否定形式是( ) axr，nn*，使得 nx2 bxr，nn*，使得 nx2 cxr，nn*，使得 nx2 dxr，nn*，使得 nx2 (1)c (2)d (1)因?yàn)椤皒m，p(x)”的否定是“xm，p(x)”，所以命題“nn，n22n”的否定是“nn，n22n”，故選 c. (2)由于存在量詞命題的否定形式是全稱(chēng)量詞命題，全稱(chēng)量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“xr，nn*，使得 nx2”的否定形式為“xr，nn*，使得 nx2” 5 / 7 含有一個(gè)量詞的命題的否定的方法 (1)一般地，寫(xiě)含有一個(gè)量詞的命題的否

6、定，首先要明確這個(gè)命題是全稱(chēng)量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱(chēng)量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱(chēng)量詞，同時(shí)否定結(jié)論 (2)對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫(xiě)成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來(lái)寫(xiě)出命題的否定 2寫(xiě)出下列命題的否定并判斷其真假： (1)p：xr，x1220； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xr，x22x30； (4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x，使 x310. 解 (1) p：xr，x1220，假命題 因?yàn)閤r，x1220恒成立，所以p 是假命題 (2) q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題 (3) r：xr，x22x30，真

7、命題 因?yàn)閤r，x22x3(x1)2220恒成立，所以r 是真命題 (4) s：xr，x310，假命題 因?yàn)?x1時(shí)，x310，所以s 是假命題 全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用 【例 3】 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，函數(shù) yx24x1的函數(shù)值恒大于實(shí)數(shù) m，求m的取值范圍 解 令 yx24x1，xr， 則 y(x2)25， 因?yàn)閤r，不等式 x24x1m恒成立， 所以只要 m5即可 所以所求 m的取值范圍是m|m0的否定是xr，x23x30.( ) 答案 (1) (2) (3) 7 / 7 2下列存在量詞命題中，是假命題的是( ) axz，x22x30 b至少有一個(gè) xz，使 x能同時(shí)被 2 和 3

8、整除 c有的三角形沒(méi)有外接圓 d某些四邊形不存在外接圓 c a中，x1滿(mǎn)足題意，是真命題；b 中，x6滿(mǎn)足題意，是真命題；c 中，所有的三角形都有外接圓，是假命題只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，故選 c. 3命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是( ) a任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) b任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) c存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) d存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) b 量詞“存在”改為“任意”，結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它的平方不是有理數(shù)”，故選 b. 4判斷下列命題是全稱(chēng)量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假 (1)對(duì)某些實(shí)數(shù) x，有 2x10； (2)x3,5,7,3x1 是偶數(shù)； (3)xq，x23. 解 (1)命題中含有存在量詞“某些”，因此是存在量詞命題，真命題 (2)命題中含有全稱(chēng)量詞的符號(hào)“”，因此是全