高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件.PPT

1、數(shù) 列數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.數(shù)列的定義數(shù)列的定義 按照按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中 的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). .一定順序一定順序2.2.數(shù)列的分類數(shù)列的分類分類原則分類原則類型類型滿足條件滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)無窮數(shù)列無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)按項(xiàng)與項(xiàng)間按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系的大小關(guān)系分類分類遞增數(shù)列遞增數(shù)列a an n+1+1 a an n其中其中n nnn* *遞減數(shù)列遞減數(shù)列a an n+1+1 a an n常數(shù)列常數(shù)列a an n+1+1= =a an

2、 n按其他按其他標(biāo)準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列有界數(shù)列存在正數(shù)存在正數(shù)mm，使，使| |a an n|mm擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列a an n的符號(hào)正負(fù)相間，如的符號(hào)正負(fù)相間，如1 1，-1-1，1 1，-1-1，有限有限無限無限3.3.數(shù)列的表示法：數(shù)列的表示法： 數(shù)列有三種表示法，它們分別是數(shù)列有三種表示法，它們分別是 、 和和 . .4.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列如果數(shù)列 a an n 的第的第n n項(xiàng)項(xiàng)a an n與與 之間的關(guān)系可之間的關(guān)系可 以用一個(gè)公式以用一個(gè)公式 來表示，那么這個(gè)公式叫來表示，那么這個(gè)公式叫 做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. .列表法列表法圖象法圖象

3、法解析法解析法序號(hào)序號(hào)n na an n= =f f( (n n) ).,.,.)2( ,) 1(,. 5nnnnnnnnnaaaaaaannas則最小若則最大若中數(shù)列則已知s s1 1s sn n- -s sn n-1-1a an n-1-1a an n+1+1a an n-1-1a an n+1+1基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.下列對(duì)數(shù)列的理解有四種：下列對(duì)數(shù)列的理解有四種： 數(shù)列可以看成一個(gè)定義在數(shù)列可以看成一個(gè)定義在n n* *（或它的有限子集（或它的有限子集 11，2 2，3 3，n n ）上的函數(shù)；）上的函數(shù)； 數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的；數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的； 數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一

4、群孤立數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立 的點(diǎn)；的點(diǎn)； 數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一的數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一的. . 其中說法正確的序號(hào)是其中說法正確的序號(hào)是 （ ） a.a. b. b. c. c. d. d. 解析解析 由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系知由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系知對(duì)，由數(shù)對(duì)，由數(shù) 列的分類知列的分類知不對(duì)，數(shù)列的通項(xiàng)公式不是惟一不對(duì)，數(shù)列的通項(xiàng)公式不是惟一 的，的，不對(duì)不對(duì). . c2.2.數(shù)列數(shù)列1 1， ，的一個(gè)通項(xiàng)公式的一個(gè)通項(xiàng)公式a an n是（是（ ） a. b. c. d.a. b. c. d. 解析解析 11可以寫成可以寫成 ，分母為分母為3 3，5 5，7 7，9 9， 即即2 2

5、n n+1,+1,分子可以看為分子可以看為1 13,23,24,34,35,45,46,6,故故 為為n n( (n n+2)+2)，即，即 . . 此題也可用排除法求解，只需驗(yàn)證當(dāng)此題也可用排除法求解，只需驗(yàn)證當(dāng)n n=1=1時(shí)，時(shí)，a a 選項(xiàng)為選項(xiàng)為 ，b b選項(xiàng)為選項(xiàng)為 ，c c選項(xiàng)為選項(xiàng)為 ，均不為，均不為1 1，故，故 排除排除a a、b b、c c，從而選，從而選d d. .924,715,58122nn1)2(nnn) 1(21) 1(2nn12)2(nnn12)2(nnnan312343d333.3.在數(shù)列在數(shù)列 a an n 中中, ,a a1 1=1,=1,a a2 2=

6、5,=5,a an n+2+2= =a an n+1+1- -a an n ( (n nn n* *),), 則則a a100100等于等于 （ ） a.1a.1b.-1b.-1c.5c.5d.-5d.-5 解析解析 方法一方法一 由由a a1 1=1,=1,a a2 2=5,=5,a an n+2+2= =a an n+1+1- -a an n ( (n nn n* *) )可得該數(shù)列為可得該數(shù)列為1 1，5 5，4 4，-1-1，-5-5，-4-4， 1 1，5 5，4 4，. 由此可得由此可得a a100100=-1.=-1. 方法二方法二 a an n+2+2= =a an n+1+1

7、- -a an n，a an n+3+3= =a an n+2+2- -a an n+1+1， 兩式相加可得兩式相加可得a an n+3+3=-=-a an n，a an n+6+6= =a an n， a a100100= =a a16166+46+4= =a a4 4=-1. =-1. b4 .4 . 若 數(shù) 列若 數(shù) 列 a an n 的 前的 前 n n 項(xiàng) 和項(xiàng) 和 s sn n= = n n2 2- 1 ,- 1 , 則則a a4 4等于等于( ( ） a.7a.7b.8b.8c.9c.9d.17d.17 解析解析 a a4 4= =s s4 4- -s s3 3=4=42 2-1

8、-1-（3 32 2-1-1）=7. =7. a5.5.數(shù)列數(shù)列 a an n 中，中， ，s sn n=9=9，則，則n n= = . . 解析解析999911nnan.99. 91112312nnnnsn,111nnnnan題型一題型一 由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫數(shù)列的通項(xiàng)公式由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫數(shù)列的通項(xiàng)公式【例例1 1】 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一 個(gè)通項(xiàng)公式：個(gè)通項(xiàng)公式： （1 1）-1-1，7 7，-13-13，1919， （2 2）0.80.8，0.880.88，0.8880.888， （3 3） （4 4） （5 5）0 0，1 1，0 0，1

9、1， ,6461,3229,1613,85,41,21,179,107, 1 ,23題型分類題型分類 深度剖析深度剖析思維啟迪思維啟迪 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系間的關(guān)系. . （1 1）由數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)）由數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，可使用添項(xiàng)、還公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，可使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求來求. .（2 2）由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫

10、出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是）由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代不完全歸納法，得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)值檢驗(yàn), ,對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化, ,可用可用(-1)(-1)n n或或(-1)(-1)n n+1+1來調(diào)整來調(diào)整. . 探究提高探究提高題型二題型二 由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)a an n【例例2 2】根據(jù)下列條件，確定數(shù)列根據(jù)下列條件，確定數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. . （1 1）a a1 1=1=1，a an n+1+1=3=3a an n+2+2； （2 2）a a1 1=1=1，a a

11、n n+1+1= =（n n+1+1）a an n； （3 3）a a1 1=2=2，a an n+1+1= =a an n+ + （1 1）構(gòu)造等比數(shù)列；）構(gòu)造等比數(shù)列；( (待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）（2 2）轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解；（轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解；（3 3）轉(zhuǎn)化后利用累加法求解）轉(zhuǎn)化后利用累加法求解. . 解解 （1 1）a an n+1+1=3=3a an n+2+2，a an n+1+1+1=3+1=3（a an n+1+1），）， 數(shù)列數(shù)列 a an n+1+1為等比數(shù)列，公比為等比數(shù)列，公比q q=3,=3,又又a a1 1+1=2,+1=2, a an n+1=23+1=

12、23n n-1-1，a an n=23=23n n-1-1-1.-1.1ln (1)n思維啟迪思維啟迪3111nnaa. ！. ！123)2() 1(,. 1, 2, 3, 1,1,) 1()2(1122321111nannnnaaaaaanaanaanaaanannnnnnnnnn故累乘可得. 2ln, 2.ln12ln21ln1ln,12ln,21ln,1ln.1ln)11ln(),11ln()3(111221111naannnnnaaaannaannaannnaanaannnnnnnnnn又探究提高探究提高 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、

13、累乘、構(gòu)造法求解時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解. .當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)a an n= =a an n - 1- 1+ +m m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)a an n= =xaxan n-1-1+ +y y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)a an n= =a an n-1-1+ +f f( (n n) )時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) 時(shí)，用累乘時(shí)，用累乘法求解法求解. .)(nfaann1知能遷移知能遷移2 2 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列 a an n 的首項(xiàng)和基本的首項(xiàng)和基本 關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式. . （1 1）

14、a a1 1=1,=1,a an n= =a an n-1-1+3+3n n-1-1 ( (n n2);2); （2 2）a a1 1=1,=1,a an n= = a an n-1-1 ( (n n2).2). 解解 （1 1）a an n= =a an n-1-1+3+3n n-1-1 ( (n n2),2), a an n-1-1= =a an n-2-2+3+3n n-2-2, , a an n-2-2= =a an n-3-3+3+3n n-3-3, , a a2 2= =a a1 1+3+31 1. . 以上（以上（n n-1-1）個(gè)式子相加得）個(gè)式子相加得 a an n= =a

15、a1 1+3+31 1+3+32 2+3+3n n-1-1 =1+3+3 =1+3+32 2+3+3n n-1-1= .= .nn 1213 n.113221) 1(.21,12),2(1）2（1112211nnannaanaaannanannannnnn個(gè)式子相乘得以上題型三題型三 由由s sn n與與a an n的關(guān)系求通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)a an n【例例3 3】（1212分）已知數(shù)列分）已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n滿足滿足 a an n+2+2s sn ns sn n-1-1=0 (=0 (n n2,2,n n n n* *),),a a1 1= ,= ,求求

16、a an n. . 由已知條件可將由已知條件可將a an n= =s sn n- -s sn n-1-1（n n2)2)代代 入等式，得關(guān)于入等式，得關(guān)于s sn n與與s sn n-1-1的一個(gè)等式，經(jīng)變形推的一個(gè)等式，經(jīng)變形推 得數(shù)列得數(shù)列 具有等差數(shù)列的特征，進(jìn)而求得具有等差數(shù)列的特征，進(jìn)而求得s sn n， 再得再得a an n. . 1ns思維啟迪思維啟迪21解解 當(dāng)當(dāng)n n2, 2, n nnn* *時(shí)，時(shí)，a an n= =s sn n- -s sn n-1-1,s sn n- -s sn n-1-1+2+2s sn ns sn n-1-1=0=0，分又分的等差數(shù)列是公差為數(shù)列分

17、即8.21,22) 1(21, 21,216.214, 21111111nsnnssassssnnnn分時(shí)當(dāng)12.)n, 2() 1(21) 1(21,) 1(21) 1(212122,n, 21*nnnn*nnnnnannnnssann 數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)a an n與前與前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n的關(guān)系是的關(guān)系是 , ,此公式經(jīng)常使用，應(yīng)引起此公式經(jīng)常使用，應(yīng)引起足夠的重視足夠的重視. .已知已知a an n求求s sn n時(shí)方法千差萬別，但已知時(shí)方法千差萬別，但已知s sn n求求a an n時(shí)方法卻是高度統(tǒng)一時(shí)方法卻是高度統(tǒng)一. .當(dāng)當(dāng)n n22時(shí)求出時(shí)求出a an n也適合也適合

18、n n=1=1時(shí)的情形時(shí)的情形, ,可直接寫成可直接寫成a an n= =s sn n- -s sn n-1-1, ,否則分段表示否則分段表示. .)2() 1(11nssnsannn探究提高探究提高知能遷移知能遷移3 3 已知下列數(shù)列已知下列數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n, ,求求 a an n 的通項(xiàng)公式：的通項(xiàng)公式： （1 1）s sn n=2=2n n2 2-3-3n n；(2)(2)s sn n=3=3n n+ +b b. . 解解 （1 1）a a1 1= =s s1 1=2-3=-1=2-3=-1， 當(dāng)當(dāng)n n22時(shí)，時(shí)，a an n= =s sn n-

19、-s sn n-1-1 = =（2 2n n2 2-3-3n n）- -2(2(n n-1)-1)2 2-3(-3(n n-1)-1)=4=4n n-5-5， 由于由于a a1 1也適合此等式，也適合此等式，a an n=4=4n n-5.-5. （2 2）a a1 1= =s s1 1=3+=3+b b, , 當(dāng)當(dāng)n n22時(shí)時(shí), ,a an n= =s sn n- -s sn n-1-1=(3=(3n n+ +b b)-(3)-(3n n-1-1+ +b b)=23)=23n n-1-1. . 當(dāng)當(dāng)b b=-1=-1時(shí)，時(shí)，a a1 1適合此等式；適合此等式； 當(dāng)當(dāng)b b-1-1時(shí)，時(shí)，a

20、 a1 1不適合此等式不適合此等式. . 當(dāng)當(dāng)b b=-1=-1時(shí)，時(shí)，a an n=23=23n n-1-1; ; 當(dāng)當(dāng)b b-1-1時(shí)，時(shí)，. 2,32, 1,31nnbann題型四題型四 數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)【例例4 4】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . . （1 1）0.980.98是不是它的項(xiàng)？是不是它的項(xiàng)？ （2 2）判斷此數(shù)列的增減性）判斷此數(shù)列的增減性. . （1 1）令）令a an n=0.98,=0.98,看能否求出正整數(shù)看能否求出正整數(shù)n n; ; （2 2）判斷）判斷a an n+1+1- -a an n的正負(fù)的正負(fù). . 解解 （1 1）假設(shè)）假設(shè)0.98

21、0.98是它的項(xiàng)，則存在正整數(shù)是它的項(xiàng)，則存在正整數(shù)n n, , 滿足滿足 =0.98=0.98，n n2 2=0.98=0.98n n2 2+0.98.+0.98. n n=7=7時(shí)等式成立，時(shí)等式成立，0.980.98是它的項(xiàng)是它的項(xiàng). . 思維啟迪思維啟迪122nnan122nn此數(shù)列為遞增數(shù)列此數(shù)列為遞增數(shù)列. . （1 1）看某數(shù)）看某數(shù)k k是否為數(shù)列中的項(xiàng)，就是是否為數(shù)列中的項(xiàng)，就是看關(guān)于看關(guān)于n n的方程的方程a an n= =k k是否有正整數(shù)解是否有正整數(shù)解. .（2 2）判斷數(shù)列的單調(diào)性就是比較）判斷數(shù)列的單調(diào)性就是比較a an n與與a an n+1+1的大小的大小.

22、. . 0) 1(1) 1(1211) 1() 1(）2（2222221nnnnnnnaann探究提高探究提高知能遷移知能遷移4 4 已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n=-=-n n2 2+24+24n n （n nn n* *）. . （1 1）求）求 a an n 的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； （2 2）當(dāng)）當(dāng)n n為何值時(shí)為何值時(shí), ,s sn n達(dá)到最大達(dá)到最大? ?最大值是多少最大值是多少? ? 解解 （1 1）n n=1=1時(shí)，時(shí)，a a1 1= =s s1 1=23.=23. n n22時(shí)，時(shí)，a an n= =s sn n- -s sn n-1-1=-=-n n2 2+24+24n n+(+(n n-1)-1)2 2-24(-24(n n-1)-1) =-2 =-2n n+25.+25. 經(jīng)驗(yàn)證，經(jīng)驗(yàn)證，a a1 1=23=23符合符合a an n=-2=-2n n+25,+25, a an n=-2=-2n n+25+25（n nn n