高中數(shù)學(xué)必修一專題強(qiáng)化訓(xùn)練（五）函數(shù)應(yīng)用問題期末復(fù)習(xí)重點知識點

1、1 / 11 函數(shù)的應(yīng)用問題函數(shù)的應(yīng)用問題 1.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟 利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進(jìn)行： (1)審題；(2)建模；(3)求模；(4)還原. 2.2.常見的函數(shù)模型常見的函數(shù)模型 一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型 ( ,0)ykxb k bk=+為常數(shù)， 二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型 2( , ,0)yaxbxc a b ca=+為常數(shù)， 指數(shù)型函數(shù)模型指數(shù)型函數(shù)模型 ( , ,0,01)xybac a b cbaa=+為常數(shù)，且 對數(shù)型函數(shù)模型對數(shù)型函數(shù)模型 log( , ,0,01)aymxn m a nmaa=+為常數(shù)，且 冪函數(shù)型模

2、型冪函數(shù)型模型 ( , ,0)nyaxb a n ba=+為常數(shù)， 分段函數(shù)分段函數(shù) ( )( ),f xxayg xxa= 經(jīng)典例題經(jīng)典例題 一選擇題（共一選擇題（共 3 小題）小題） 1今有一組實驗數(shù)據(jù)如圖：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，2 / 11 其中最接近的一個是( ) x 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 a2logyt= b12logyt= c212ty= d2 2y t= 2某流行病調(diào)查中心的疾控人員針對該地區(qū)某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過現(xiàn)場調(diào)查與傳染源傳播途徑有關(guān)的蛛絲馬跡，根據(jù)傳播鏈

3、及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立了與傳染源相關(guān)確診病例人數(shù)( )h t與傳染源感染后至隔離前時長t（單位：天）的模型：().k thte+=已知甲傳染源感染后至隔離前時長為 5 天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為 8；乙傳染源感染后至隔離前時長為 8 天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為 20打某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為( ) a44 b48 c80 d125 3人們通常以分貝（符號是)d b為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級，強(qiáng)度為x的聲音對應(yīng)的等級為( )10 ( 100 ) ()fx l gx db=聽力會受到嚴(yán)重影響的聲音約為9 0 d b，室內(nèi)正常交談的聲音約為6 0 d b，則聽力會受到嚴(yán)

4、重影響的聲音強(qiáng)度是室內(nèi)正常交談的聲音強(qiáng)度的倍數(shù)為( ) a31 0 b11 0 0 0 c3 d32 二解答題（共二解答題（共 6 小題）小題） 4勤儉節(jié)約是中華民族的傳統(tǒng)美德為避免舌尖上的浪費(fèi)，各地各部門采取了精準(zhǔn)供應(yīng)的措施某學(xué)校食堂經(jīng)調(diào)查分析預(yù)測，從年初開始的前(1n n=，2，3，1 2 )個月對某種食材的需求總量ns（公斤）近似地滿足26 3 5( 16 )67 7 46 1 8 (71 2 )nnnsnnn=+為保證全年每一個月該食材都夠用，食堂前n個月的進(jìn)貨總量須不低于前n個月的需求總量 （1）如果每月初進(jìn)貨 646公斤，那么前 7 個月每月該食材是否都夠用？ 3 / 11 （2）

5、若每月初等量進(jìn)貨p（公斤），為保證全年每一個月該食材都夠用，求p的最小值 5在不考慮空氣阻力的情況下火箭的最大速度v（單位：/ )m s和燃料的質(zhì)量m（單位：)k g，火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：)k g滿足2000(1)(vmeem=+為自然對數(shù)的底） （1）當(dāng)燃料質(zhì)量m為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的兩倍時，求火箭的最大速度（單位：/ )m s結(jié)果精確到0 .1)； （2）當(dāng)燃料質(zhì)量m為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的多少倍時，火箭的最大速度可以達(dá)到8 0 0 0/ms（結(jié)果精確到0 .1) 6小王想進(jìn)行理財投資，根據(jù)長期收益率市場頂測，投資a類產(chǎn)品和b類產(chǎn)品的收益分別為1y，2y（萬元），它們與投

6、資額x（萬元）存在如下關(guān)系式：11602yx=+，27 0 6yx= +，小王準(zhǔn)備將 200 萬元資金投入a、b兩類理財產(chǎn)品，公司要求每類產(chǎn)品的投資金額不能低于 25萬元 （1）若對b類產(chǎn)品的投資金額為x（萬元），求總收益y（萬元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）請你幫助小王預(yù)算如何分配投資資金，才能使總收益最大，并求出最大總收益 4 / 11 7碳 14 是碳的一種具有放射性的同位素，它常用于確定生物體的死亡年代，即放射性碳定年法在活的生物體內(nèi)碳 14 的含量與自然界中碳 14 的含量一樣且保持穩(wěn)定，一旦生物死亡，碳 14攝入停止，生物體內(nèi)的碳 14 會按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減，大約經(jīng)過 5730

7、年衰減為原來的一半，通過測定生物遺體內(nèi)碳 14 的含量就可以測定該生物的死亡年代設(shè)生物體內(nèi)的碳 14 的含量為p，死亡年數(shù)為t （1）試將p表示為t的函數(shù)； （2）不久前，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一塊生物化石上的碳 14 的含量為自然界中碳 14 的含量的8%，請推算該生物死亡的年代距今多少年？（參考數(shù)據(jù)：2 0 .3 )lg 5 / 11 9近年來，共享單車的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資 240 萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資 80 萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益p與投入a（單位：萬元）滿足42 6pa=，乙城市收益q與投入a（單位：萬元）

8、滿足：12,80120432,120160aaqa+=，設(shè)甲城市的投入為x（單位：萬元），兩個城市的總收益為( )f x（單位：萬元） （1）當(dāng)投資甲城市 128 萬元時，求此時公司總收益； （2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大？ 6 / 11 參考答案參考答案 一選擇題（共一選擇題（共 3 小題）小題） 1【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0 x時，y隨著x的增大而增大，且不是 2 倍遞增，故b、d錯誤； 再由增加速度越來越快，可知a錯誤，c正確 故選：c 2【解答】解：依題意得，h（5）58ke+=，h（8）82 0ke+=， 835(8 )2 0 5(5 )82kkk

9、heehe+=， 1 453 335( 1 4 )( ) 8() 1 2 52kkkh ee e+ = = 故某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為 125人 故選：d 3【解答】解：聽力會受到嚴(yán)重影響的聲音約為9 0 d b，11 0( 1 0 0)9 0l g x=，得711 0 x=， 室內(nèi)正常交談的聲音約為6 0 d b，21 0( 1 0 0)6 0l g x=，得421 0 x=， 73142101010 xx=， 故選：a 二解答題（共二解答題（共 6 小題）小題） 4【解答】解：（1）當(dāng)16n時，每月需求量 635 公斤，每月進(jìn)貨 646 公斤，1 到 6

10、 月都夠用， 當(dāng)7n=時，因為76467 6467( 6497747618) 160s=+=，第 7個月該食7 / 11 材夠用， 所以，前 7 個月每月該食材都夠用 （2）為保證該食材全年每一個月都夠用，不等式npn s對1n=，2，12 恒成立， 當(dāng)16n時，6 3 5p nn恒成立，可得6 3 5p， 當(dāng)71 2n時，26774618pnn n+ 恒成立，即103774 6()pnn+恒成立， 因為1 0 31 0 37 7 4 6 ()7 7 4 6 26 5 2 . 2nnnn+ ，當(dāng)且僅當(dāng)1 0 3nn=，即1 0 3 1 0 . 1 5n = 時，等號成立， 又因為*nn，且12

11、n，所以當(dāng)1 0n =時，1037746()nn+的最大值為 652.2， 綜上所述，6 5 2 .2p， 所以為保證全年每一個月該食材都夠用，每月初進(jìn)貨量p的最小值為 652.2公斤 5【解答】（）2 0 0 0( 1)vmem= +， 2 0 0 0( 1)2 0 0 0( 1)mmv l nl nmm = +=+， 當(dāng)燃料質(zhì)量m為火箭（除燃料外）質(zhì)量m兩倍時，即2m m=， 2000320001. 0992198( / )vl nms= =； 答：當(dāng)燃料質(zhì)量m為火箭質(zhì)量m兩倍時，火箭的最大速度為2 1 9 8/m s （）2 0 0 0( 1)vmem= +， 20001vmem=， 8

12、 0 0 042 0 0 011 5 4meem= ，5 9 815 4， 答：當(dāng)燃料質(zhì)量m為火箭質(zhì)量m的 54倍時，火箭最大速度可以達(dá)到8/k ms 8 / 11 6【解答】解：（1）根據(jù)題意，對b類產(chǎn)品的投資x萬元， 則對a類產(chǎn)品的投資(2 0 0) x萬元， 11( 2 0 0)6 0 7 0 66 2 3 022yxx x x= + + += +， 所以函數(shù)的定義域為 2 5，1 7 5 （2）令tx=， 2 5x ，1 7 5 ，5 ,5 7t， 則22116 2 3 0( 6 ) 2 4 822yttt= + = +， 6t=時，即3 6x=時，2 4 8ma xy = 因此當(dāng)a類

13、產(chǎn)品投入 164萬元， b類產(chǎn)品投入 36 萬元時總收益最大為 248萬元 7【解答】解：（1）已知碳 14含量與死亡年數(shù)成指數(shù)函數(shù)關(guān)系，設(shè)tpa=， 由經(jīng)過 5730年衰減為原來的一半，可得573012a=， 所以157301()2a =， 故碳 14的含量p與死亡年數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式為57301()2tp =； （2）由已知573018()2100t=， 所以12888 1 0 0 2321 11 0 015 7 3 01 0 02232l gtl g l gl gl o gl gl gl g=， 即2 1 0 1 0t， 所以推算該生物死亡的年代距今 21010年 8【解答】解：（1）設(shè)p

14、 a m=，p b n=，則2 0m n+ =， 9 / 11 在a o p 中由正弦定理得sinsin 60paop=， 在b o p 中由正弦定理得sin(90)sin60pbop=， sinsin(90)papb=， 即sincosmn=，又20mn+ =，則2 0nm= ， cos( 20) s i nmm= ， ( s i n cos ) 20s i nm +=， 2 0sinsinco sp a m= =+， 20cossincosp b n= =+ （2）過p 作p mo a 于m，作p n o b 于n， 60paopbo = = ， 13,22a mmp mm=，13,22b

15、nn pnn=， 四邊形花圃o a p b 面積： 10 / 11 11()()22sa mp np m b np m p n=+ 1 13 3 1 133()()2 2 2 2 2 2 22m n mnm n=+ 2233()84m nm n=+， 又222222222 0s i n2 0c o s( s i n c o s) ( s i n c o s)m n+ =+ 24 0 04 0 0(s inc o s )1 s in2=+， 24 0 0 s in c o s2 0 0 s in 2( s inc o s )1 s in 2m n =+， 3 4 0 032 0 0 s i n

16、281s i n 241s i n 2s=+ 5 0 31 5 0sin21 sin21 sin2=+ 5 03 1 5 0 s in 2 1 5 0 1 5 01 s in 2+=+ 150 50 31501 sin2=+， 當(dāng)s i n 2 1= 即4= 時， 1 5 05 031sin 2+ 最小值為7 5 2 5 3， 150 ( 75 25 3) 75 25 3maxs = = + 9【解答】解：（1）當(dāng)投資甲城市 128 萬元時，投資乙城市 112萬元， 此時公司總收益： 1( )4 2 128 6 112 2 4 16 6 28 2 884fx = + + = + + =（萬元） （2）甲城市的投入為x，則乙城市投資2 4 0 x萬元， 11 / 11 當(dāng)8 0 2 4 0 1 2 0 x，即1 2 0 1 6 0 x時，11( )4 26( 2 4 0)2 4 25 644fxxxx x= + + = +， 1( 8 2 )()2244xxxfxxx =，令() 0f x=，