高中數(shù)學(xué)講義微專題82求二項(xiàng)式的展開項(xiàng)

1、- 1 - / 7 微專題 82 求二項(xiàng)式展開后的某項(xiàng) 一、基礎(chǔ)知識： 1、二項(xiàng)式()()nabnn+展開式()011222nnnnrn rrnnnnnnnabc ac abc abc abc b+=+，從恒等式中我們可以發(fā)現(xiàn)這樣幾個特點(diǎn) （1）()nab+完全展開后的項(xiàng)數(shù)為()1n + （2）展開式按照a的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，對于展開式中的每一項(xiàng)，, a b的指數(shù)呈此消彼長的特點(diǎn)。指數(shù)和為n （3）在二項(xiàng)式展開式中由于按a的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，所以規(guī)定“+”左邊的項(xiàng)視為a，右邊的項(xiàng)為b，比如：()1nx +與()1nx+雖然恒等，但是展開式卻不同，前者按x的指數(shù)降冪排列，后者按1的指數(shù)降冪排列。

2、如果是()nab，則視為()nab+ 進(jìn)行展開 （4）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式1rn rrrntc ab+= （注意是第1r +項(xiàng)） 2、二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的01,nnnnc cc稱為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n 二項(xiàng)式系數(shù)的來源：多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律（分配律，交換律，結(jié)合律），所以在展開時(shí)有這樣一個特征：每個因式都必須出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個因式所出的項(xiàng)乘在一起便成為了展開時(shí)中的某項(xiàng)。對于()nab+可看作是n個()ab+相乘，對于n rrab 意味著在這n個()ab+中，有()nr個式子出a，剩下r個式子出b，那么這種出法一共有rnc種。所以二項(xiàng)式展開式的每一項(xiàng)都可看做是

3、一個組合問題。而二項(xiàng)式系數(shù)便是這個組合問題的結(jié)果。 3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過化簡后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù) 注：（1）在二項(xiàng)式定理中要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是展開式通項(xiàng)公式中的rnc，對于確定的一個二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由r決定。而系數(shù)是指展開并化簡后最后項(xiàng)前面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：()521x +展開式中第三項(xiàng)為()3223521tcx=，其中25c為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而()3223352180tcxx= 化簡后的結(jié)果80為該項(xiàng)的系數(shù) - 2 - / 7 （2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均為1時(shí)（排除項(xiàng)本

4、身系數(shù)的干擾），則展開后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例如()51x + 展開式的第三項(xiàng)為 ( )322351tcx=，可以計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為 10 3、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù),次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如212,5xx就是有理項(xiàng)，而3, 5xx就不是有理項(xiàng)。 4、()nab+與()nab的聯(lián)系：首先觀察他們的通項(xiàng)公式： ()nab+：1rn rrrntc ab+= ()nab：()()11rrrn rrn rrrnntc abc ab+= 兩者對應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對值相等。所以在考慮()nab系數(shù)的絕對值問題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為求()nab+系數(shù)的問題 5、二項(xiàng)式系數(shù)的

5、最大值：在01,nnnnc cc中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若n為奇數(shù)（共有偶數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間兩個，例如5n =時(shí)，最大項(xiàng)為2355cc=，若n為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間項(xiàng)，例如6n =時(shí)，最大項(xiàng)為36c 證明：在01,nnnnc cc中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最大項(xiàng)為rnc，則有()()()()()()11!11!1 !1 !1!11!11 !1 !rrnnrrnnnnrnrrnrccrnrnnccrnrnrrrnr+ + 所以解得：1212nrnr+ 即1122nnr+ 所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（21nk=），不等式變?yōu)?krk ，即1rk=或rk=為中間

6、項(xiàng) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（2nk=），不等式變?yōu)?1+22krk，即rk=為中間項(xiàng) 6、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)自身系數(shù)影響，所以沒有固定的結(jié)論，需要計(jì)算所得，大致分為兩種情況： ()_n+型：不妨設(shè)項(xiàng)1rt+的系數(shù)為1rp+ ，則理念與二項(xiàng)式系數(shù)最值類似，最大值首先要比- 3 - / 7 相鄰項(xiàng)大，所以有112rrrrpppp+，再根據(jù)通項(xiàng)公式代入解不等式即可 ()_n型：其展開式的特點(diǎn)為項(xiàng)的符號有正有負(fù)，所以在解決此類問題時(shí)有兩種方法：一種是只選取其中的正項(xiàng)進(jìn)行比較，但序數(shù)相隔。即1113rrrrpppp+，在運(yùn)算上較為復(fù)雜；一種是先考慮系數(shù)絕對值的最大值，從而把問題轉(zhuǎn)化為()_n+

7、的最大值問題，然后在考慮符號確定系數(shù)最大值。 例 1：二項(xiàng)式8312xx 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_ 方法一：思路：考慮先求出此二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為 0，求出r的值再代入計(jì)算即可 解：()88118331881122rrrrrrrrrxtcxcxx+= 依題意可得：18063rrr = 常數(shù)項(xiàng)為()266781172tc= = 方法二：思路：對8312xx中的 8 個312xx因式所出的項(xiàng)進(jìn)行分配，若最后結(jié)果為常數(shù)項(xiàng)，則需要兩個式子出2x，六個式子出31x相乘， 所以常數(shù)項(xiàng)為：62283172xcx= 答案：7 小煉有話說：通過本題說明求二項(xiàng)式展開式中某項(xiàng)的兩種主流方法：一是通過通項(xiàng)

8、公式，先化簡通項(xiàng)公式，再利用題目中所求項(xiàng)的特征求出r的值，進(jìn)而求解；二是分析展開式中每一項(xiàng)構(gòu)成的本質(zhì)，即每一個因式僅出一項(xiàng)，然后相乘得到，從而將尋找所求項(xiàng)需要的出項(xiàng)方案，將其作為一個組合問題求解。 - 4 - / 7 例 2：在621xx+的展開式中，3x的系數(shù)是_ 思路一：考慮二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式：()()()62 62112 31666rrrrrrrrrtcxxc xc x+= 由所求可得：12333rr= 3334620tc xx= 思路二：可將其視為 6 個因式出項(xiàng)的問題，若要湊成3x，需要3個2x，3個1x 所以該項(xiàng)為：()333236120cxxx= 答案：20 小煉有話說：利用二項(xiàng)

9、式定理求某項(xiàng)，通常兩種思路：一種是利用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出r的值再求出該項(xiàng)；另一種是將問題轉(zhuǎn)化為因式如何安排出項(xiàng)的問題。 例 3：若二項(xiàng)式71xx的展開式中的第四項(xiàng)等于 7，則x的值是_ 思路：條件中涉及到項(xiàng)的序數(shù)，那么只能考慮利用通項(xiàng)公式：7171rrrrtc xx+=，第四項(xiàng)中3r =，3344717tc xx=，解得：15x = 答案：15x = 例 4：已知91xax+的展開式中3x項(xiàng)的系數(shù)為212，則實(shí)數(shù)a的值為_ 思路：先利用通項(xiàng)公式求出3x的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出a的值即可 解：99 219911rrrrrrrtc xcxaxa+= 9233rr = 333349

10、3184tcxxaa= 3842122aa= = 答案：2a = 例 5：已知二項(xiàng)式2()nxx+的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是 16，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_ 思路：要想求得展開式的某項(xiàng)，首先要先確定n的取值，先利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出n：- 5 - / 7 216n=即4n =，再求42()xx+展開式的常數(shù)項(xiàng)為2224224c xx= 答案：24 例 6：()()5211xxx+的展開式中，4x項(xiàng)的系數(shù)為_ 思路：已知表達(dá)式展開式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得4x，不妨從其中一個式子切入進(jìn)行分類討論（以()21xx+為例） 1：()21xx+出 1，則()51x出4x，該項(xiàng)為：()4445

11、115cxx = 2：()21xx+出x，則()51x出3x，該項(xiàng)為：()33245110 x cxx = 3：()21xx+出2x，則()51x出2x，該項(xiàng)為：()222345110 xcxx = 綜上所述：合并后的4x項(xiàng)的系數(shù)為 5 例 7：()1021xx+ 展開式中3x項(xiàng)的系數(shù)為（ ） a. 210 b. 210 c. 30 d. 30 思路：本題不利于直接展開所有項(xiàng)，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為 10 個因式如何分配所出項(xiàng)的問題：若要湊成3x有以下幾種可能： （1）：1 個2x，1 個()x，8 個 1，所得項(xiàng)為：()1218 831098190c xcxcx= （2）：3 個()x，7 個

12、1，所得項(xiàng)為：()337731071120cxcx= 所以3x項(xiàng)的系數(shù)為210 答案：a 例 8：二項(xiàng)式2441xx+展開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（ ）項(xiàng) a. 3 b. 4 c. 5 d. 7 思路：有理項(xiàng)是指變量的指數(shù)是整數(shù)，所以考慮從通項(xiàng)公式入手： 24241136442424241rrrrrxcxxc xx+=，其中0,1,2,24r =，r的取值只需要讓364rz，則0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有 7 個有理項(xiàng) - 6 - / 7 小煉有話說：在整理通項(xiàng)公式時(shí)可將x的根式（或倒數(shù)）轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，方便進(jìn)行化簡。 例 9：二項(xiàng)式()821x +展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

13、_ 思路：考慮()821x +展開式的通項(xiàng)公式為88182rrrrtc x+=， 其系數(shù)設(shè)為1rp+， 即818=2rrrpc+，若要1rp+最大，則首先要大于相鄰項(xiàng)，即112rrrrpppp+ ，代入解得r的范圍即可確定出r的值，從而求出該項(xiàng) 解：()888188212rrrrrrrtcxc x+= 設(shè)1rt+項(xiàng)的系數(shù)為818=2rrrpc+ 若1rp+最大，則()()81818818+18+112882222rrrrrrrrrrrrccppppcc+ ()() ()()() ()89878!8!1222! 8!1 ! 9!98!8!2122! 8!1 ! 7!81rrrrrrrrrrrrr

14、rrr+ 解得：23r 2r =或3r = 經(jīng)檢驗(yàn)：系數(shù)最大的項(xiàng)為5341792ttx= 答案：51792x 例10 ： 已 知( )( )210901210019,g xaa xa xa xh xbb xb x=+=+， 若()()()( )( )19101121xxxg xh x+=+，則9a =（ ） a. 0 b. 19102 c. 18102 d. 1832 思路：由條件中恒等式的特點(diǎn)可得對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，在()( )101xg x中，與9a相關(guān)的最高次項(xiàng)為19x，故以此為突破口求9a，等式左邊19x的系數(shù)為()()1918181922c+，而右邊19x的系數(shù)為()99910101aac+，所以()()(acc+= +，只需再求出10a即可，同樣選取含10a的最高次項(xiàng)，即20 x，左邊20 x的系數(shù)為(