高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)64

1、1 / 5 專題層級快練專題層級快練(六十四六十四) 1(2021 衡水中學(xué)調(diào)研卷)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為12，且過點 p(2，3) (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點 p 作兩條直線 l1，l2，與橢圓 c 分別交于 m，n(點 m，n 與點 p 不重合)兩點，若l1，l2的斜率之和為1，求證：直線 mn恒過定點 答案 (1)x216y2121 (2)證明略 解析 (1)離心率 e12，橢圓 c 的方程可化為x24y23t. 點 p(2，3)在該橢圓上，13t，t4. 橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y2121. (2)證明：設(shè)直線 mn的方程為 ykxm

2、(k 不存在時不滿足要求)， 聯(lián)立ykxm，x216y2121，消去 y 并整理，得(4k23)x28kmx4m2480.(8km)24(4k23)(4m248)48(16k2m212) 設(shè)點 m(x1，y1)，n(x2，y2)， x1x28km4k23，x1x24m2484k23. 設(shè)直線 pm，pn的斜率分別為 k1，k2，則 k1k2kx1m3x12kx2m3x221， 整理得(2k1)x1x2(m2k5)(x1x2)164m0， 把代入上式得(2km3)(8km)0，m2k3或 m8k. 當(dāng) m2k3 時，直線 mn過點 p(2，3)，不符合題意，舍去； 當(dāng) m8k時，48(16k26

3、4k212)，由 0，得 k20. 所以 x1x22k24k2，x1x21. 由拋物線的定義，知|ab|x1x228，所以 x1x26， 所以2k24k26，即 k21，解得 k 1， 所以直線 l 的方程為 yx1 或 yx1. (2)證明：由(1)知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，因為點 a 關(guān)于 x 軸的對稱點為 d，所以 d(x1，y1)， 則直線 bd的斜率為 kbdy2y1x2x1y2y1y224y1244y2y1， 所以直線 bd的方程為 yy14y2y1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y124x4x1. 因為 y124x1，y224x2，x1x21，所以(y1y2)2

4、16x1x216，即 y1y24(因為 y1，y2異號)， 所以(y2y1)y4y124x4y124， 所以直線 bd的方程為 4(x1)(y1y2)y0. 由x10，y0，解得x1，y0，所以直線 bd過定點(1，0) 3(2021 南充市測試)已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)經(jīng)過點 a(0，1)，且離心率為32， (1)求橢圓 e 的方程； (2)過點 p(2，1)的直線與橢圓 e 交于不同兩點 b，c.求證：直線 ab 和 ac 的斜率之和為定值 答案 (1)x24y21 (2)證明略 解析 (1)由橢圓 e 經(jīng)過點 a(0，1)得，b1，設(shè)半焦距為 c，由離心率為32得，ca

5、32，又因為 a2b2c2，所以 a213a24，解得 a2， 故橢圓 e 的方程為x24y21. (2)因為直線 bc 過點 p(2，1)且與橢圓 e 有兩個不同交點， 所以直線 bc的斜率一定存在且大于零 3 / 5 于是可設(shè)直線 bc 的方程為 yk(x2)1(k0) 代入 x24y24 并整理得(4k21)x28k(2k1)x16k(k1)0. 8k(12k)24(14k2)(16k216k)64k0. 設(shè) b(x1，y1)，c(x2，y2)，則 x1x28k（2k1）4k21，x1x216k（k1）4k21. 設(shè)直線 ab 和 ac 的斜率分別為 k1和 k2，則 k1k2y11x1

6、y21x2k（x12）2x1k（x22）2x2 2k2（k1）（x1x2）x1x22k16k（k1）（2k1）16k（k1） 2k(2k1)1，為定值 4(2020 蘭州市模擬)已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，點 a(2，2)，點 b在拋物線c 上，且滿足offb2fa(o為坐標(biāo)原點) (1)求拋物線 c 的方程； (2)過焦點 f任作兩條相互垂直的直線 l 與 l，直線 l與拋物線 c交于 p，q兩點，直線 l與拋物線 c 交于 m，n兩點，opq 的面積記為 s1，omn的面積記為 s2，求證：1s121s22為定值 答案 (1)y24x (2)證明略 解 析 (1) 設(shè)

7、b(x1， y1) fp2，0 ， a(2 ， 2) ， of fb 2 fap2，0 x1p24p，y14 ，p2x1p24p，y140，x14，y14. 點 b 在拋物線 c 上，422p4，p2，y24x. (2)證明：由(1)知 f(1，0)，由題意得直線 l 的斜率存在且不為零，設(shè) l：xmy1(m0)，代入 y24x 得 y24my40，(4m)24(4)16m2160，y1y24m，y1y24，|y1y2|16m2164 m21. s112|y1y2|12 m21，同理可得 s221m21， 1s121s2214（m21）141m2114（m21）m24（m21）14，為定值 5

8、.已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 f1(1，0)，f2(1，0)，過點 f1且斜率為24的直線與橢圓的一個交點在 x軸上的射影恰好為 f2. (1)求橢圓 e 的方程； 4 / 5 (2)如圖，橢圓 e 的下頂點為 a，過點 b(0，2)作一條與 y 軸不重合的直線，該直線交橢圓e 于 c，d兩點，直線 ad，ac 分別交 x 軸于點 h，g.求證：abg與aoh的面積之積為定值，并求出該定值 答案 (1)x22y21 (2)證明見解析 12 解析 (1)過點 f1(1，0)且斜率為24的直線方程為 y24(x1)， 令 x1，則 y22，由題意可得a2b21，1a212b21，解得 a22，b21， 所以橢圓 e 的方程為x22y21. (2)由題意知，直線 bc 的斜率存在，設(shè)直線 bc 的方程為 ykx2， 設(shè) d(x1，y1)，c(x2，y2)，將 ykx2 代入x22y21，得(12k2)x28kx60， 所以 x1x28k12k2，x1x2612k2，由 16k2240，得 k232， 所以 y1y2k(x1x2)4412k2， y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)442k212k2， 由題意知直線 ad的方程為 yy11x1x1，令 y0，解得 xx11y1， 則 hx11y1，0，同理可得 gx21y