高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 (2)

1、1 / 11 函數(shù)的奇偶性與周期性 考試要求 1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義. 2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性. 3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義， 會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性 1函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 定義 如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x 都有 f(x)f(x)，那么函數(shù) f(x)是偶函數(shù) 都有 f(x)f(x)，那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù) 圖象特征 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 提醒：(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件 (2)若 f(x)0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下： f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(

2、x)0f(x)f(x)1. f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)1. 2函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù) 對(duì)于函數(shù) yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) t，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(xt)f(x)，那么就稱函數(shù) yf(x)為周期函數(shù)，稱 t為這個(gè)函數(shù)的周期 (2)最小正周期 如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期 提醒：若 t是函數(shù) f(x)的一個(gè)周期，則 nt(nz，n0)也是函數(shù) f(x)的周2 / 11 期 常用結(jié)論 1函數(shù)奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論 (1)如果一個(gè)奇函數(shù) f(x)在 x0

3、處有定義，那么一定有 f(0)0. (2)如果函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，那么 f(x)f(|x|) (3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性 (4)若 yf(xa)是奇函數(shù)，則 f(xa)f(xa)；若 yf(xa)是偶函數(shù)，則 f(xa)f(xa) 2周期性的幾個(gè)常用結(jié)論 對(duì) f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值 x，周期為 t，則 (1)若 f(xa)f(x)，則 t2a(a0)； (2)若 f(xa)1f(x)，則 t2a(a0)； (3)若 f(xa)1f(x)，則 t2a(a0) 3函數(shù)的圖象的對(duì)稱性 (1)函數(shù) yf(x)，若其圖象

4、關(guān)于直線 xa對(duì)稱(a0 時(shí)，f(x)為偶函數(shù))，則 f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)；f(2ax)f(x) (2)函數(shù) yf(x)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(a0時(shí)，f(x)為奇函數(shù))，則 f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)； f(2ax)f(x) (3)函數(shù) yf(x)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱，則 f(ax)f(ax)2b；f(2ax)f(x)2b；f(2ax)f(x)2b. (4)函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱，則 g(x)f(2ax) (5)函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象關(guān)于直線 ya 對(duì)稱，則 g(x)2af(x) 一、易錯(cuò)

5、易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù) yx2，x(0，)是偶函數(shù)( ) 3 / 11 (2)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)( ) (3)若函數(shù) yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱( ) (4)函數(shù) f(x)在定義域上滿足 f(xa)f(x)，則 f(x)是周期為 2a(a0)的周期函數(shù)( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( ) ayx3 byx2 cy|ln x| dy2x b a 為奇函數(shù)，c，d 為非奇非偶函數(shù)，b 為偶函數(shù)，故選 b. 2已知函數(shù) f(x)是定義在 r 上的奇

6、函數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)，f(x)x(1x)，則 f(1)_. 2 f(1)122， 又 f(x)為奇函數(shù)， f(1)f(1)2. 3設(shè) f(x)是定義在 r 上的周期為 2的函數(shù)，當(dāng) x1,1)時(shí)，f(x) 4x22，1x0，x，0 x1，則 f 32_. 1 f 32f 12412221. 4設(shè)奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?,5，若當(dāng) x0,5時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式 f(x)0的解集為_(kāi) (2,0)(2,5 由圖象可知，當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)0； 當(dāng) 2x5時(shí)，f(x)0， 又 f(x)是奇函數(shù)， 當(dāng)2x0時(shí)，f(x)0，當(dāng)5x2 時(shí)，f(x)0. 綜上，f(x)0 的解集為(2

7、,0)(2,5 4 / 11 考點(diǎn)一 函數(shù)奇偶性的判斷 判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法： (2)圖象法： (3)性質(zhì)法： 在公共定義域內(nèi)有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 典例 1 (1)設(shè)函數(shù) f(x)，g(x)的定義域?yàn)?r，且 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( ) af(x)g(x)是偶函數(shù) b|f(x)|g(x)是奇函數(shù) cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) d|f(x)g(x)|是奇函數(shù) (2)判斷下列函數(shù)的奇偶性： f(x) 3x2 x23； f(x)lg(1x2)|x2|2； f(x) x2x，x0，x2x，x0. (1)c 令 f1(x)f(

8、x) g(x)， 則 f1(x)f(x) g(x)f(x) g(x) f1(x)， f(x)g(x)為奇函數(shù)，故 a錯(cuò)誤 5 / 11 令 f2(x)|f(x)|g(x)，則 f2(x)|f(x)|g(x) |f(x)|g(x)f2(x)，f2(x)為偶函數(shù)，故 b錯(cuò)誤 令 f3(x)f(x)|g(x)|，則 f3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f3(x)，f3(x)為奇函數(shù)，故 c正確 令 f4(x)|f(x)g(x)|，則 f4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f4(x)，f4(x)為偶函數(shù)，故 d錯(cuò)誤 (2)解 由 3x20，x230，得 x23，解得 x 3，

9、即函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?3， 3， 從而 f(x) 3x2 x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函數(shù) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 由 1x20，|x2|2，得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，x20，|x2|2x，f(x)lg(1x2)x. 又f(x)lg1(x)2xlg(1x2)xf(x)， 函數(shù) f(x)為奇函數(shù) 顯然函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 當(dāng) x0時(shí)，x0， 則 f(x)(x)2xx2xf(x)； 當(dāng) x0時(shí)，x0， 則 f(x)(x)2xx2xf(x) 綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意 x，總有 f(x)f(x)成立，函

10、數(shù) f(x)為奇函數(shù) 點(diǎn)評(píng)：(1)本例 t(2)第小題求出定義域后，利用定義域去掉絕對(duì)值號(hào)是解題的關(guān)鍵 (2)yln1x1x，ylg( x21x)都是奇函數(shù) 6 / 11 跟進(jìn)訓(xùn)練 1下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( ) ayx21 by1x1x cy1x dyx|x| d 對(duì)于 a，f(x)(x)21x21f(x)，函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，排除 a. 對(duì)于 b，函數(shù)的定義域?yàn)?，1)(1，)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除 b. 對(duì)于 c，函數(shù)是奇函數(shù)，但在定義域(，0)(0，)上不是增函數(shù)，排除 c. 對(duì)于 d，f(x)x|x|x|x|f(x)，函數(shù)為奇函數(shù)，又 yx|x| x2，

11、x0 x2，x0，則函數(shù)為增函數(shù)，故選 d. 2設(shè)函數(shù) f(x)exex2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) a|f(x)|是偶函數(shù) bf(x)是奇函數(shù) cf(x)|f(x)|是奇函數(shù) df(|x|)f(x)是偶函數(shù) d f(x)exex2， 則 f(x)exex2f(x) f(x)是奇函數(shù) f(|x|)f(|x|)， f(|x|)是偶函數(shù)，f(|x|)f(x)是奇函數(shù) 考點(diǎn)二 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 已知函數(shù)奇偶性可以解決的三個(gè)問(wèn)題 7 / 11 利用函數(shù)的奇偶性求值 典例 21 (1)(2019 全國(guó)卷)已知 f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)，f(x)eax.若 f(ln 2)8，則 a_. (2)(20

12、18 全國(guó)卷)已知函數(shù) f(x)ln( 1x2x)1，f(a)4，則 f(a)_. (1)3 (2)2 (1)法一：由 x0可得x0，由 f(x)是奇函數(shù)可知 f(x)f(x)， x0時(shí)，f(x)f(x)ea(x)eax， 則 f(ln 2)ealn 28， aln 2ln 83ln 2，a3. 法二：由 f(x)是奇函數(shù)可知 f(x)f(x)，f(ln 2)f ln 12(ealn 12)8，aln 12ln 83ln 2，a3. (2)f(a)f(a)ln( 1a2a)1ln( 1a2a)1 ln(1a2a2)22. f(a)2f(a)242. 點(diǎn)評(píng)：本例 t(2)中含有奇函數(shù)的解析式，解

13、答此類題目時(shí)可先求 f(x)f(x)的值，再求所求 求函數(shù)解析式 典例 22 (2019 全國(guó)卷)設(shè) f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)，f(x)ex1，則當(dāng) x0時(shí)，f(x)( ) aex1 bex1 8 / 11 cex1 dex1 d 當(dāng) x0， 當(dāng) x0時(shí)，f(x)ex1，f(x)ex1. 又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)ex1. 故選 d. 點(diǎn)評(píng)：先設(shè) x 為待求區(qū)間上的任意量，然后將x 轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，從而求出 f(x)，然后利用奇偶性求 f(x) 利用奇偶性求參數(shù)的值 典例 23 若函數(shù) f(x)k2x1k 2x在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) k_. 1 法一：(定義法)因?yàn)楹瘮?shù)

14、f(x)k2x1k 2x在定義域上為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即k2x1k 2xk2x1k 2x， 化簡(jiǎn)得(k21)(22x1)0， 即 k210，解得 k 1，經(jīng)檢驗(yàn) k 1 時(shí)，函數(shù) f(x)為奇函數(shù) 法二：(特值法)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)k2x1k 2x為奇函數(shù)，所以 f(1)f(1)，即k211k 21k212k， 即2k12k2k2k1.整理得 k21，解得 k 1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) k 1 時(shí)，函數(shù) f(x)為奇函數(shù) 點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)：一是利用 f(x)f(x)(奇函數(shù))或 f(x)f(x)(偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數(shù)一般利用 f

15、(0)0 求解，偶函數(shù)一般利用 f(1)f(1)求解用兩種方法求得參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證 跟進(jìn)訓(xùn)練 1函數(shù) f(x) 4xt， x0，g(x)， x0，為定義在 r 上的奇函數(shù)，則 f(log2 13)等于( ) 9 / 11 a23 b9 c8 d13 c 由 f(0)40t0得 t1. 則 f(log2 13)f(log2 3)f(log2 3)(4log2 31)2log2 918.故選c. 2已知函數(shù) f(x)x3sin x1(xr)，若 f(a)2，則 f(a)_. 0 設(shè) f(x)f(x)1x3sin x，顯然 f(x)為奇函數(shù) 又 f(a)f(a)11，所以 f(a)f(a)11

16、，從而 f(a)0. 3函數(shù) f(x)1xlog21ax1x為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a_. 1 函數(shù) f(x)1xlog21ax1x為奇函數(shù)，f(x)f(x)0. 即1xlog21ax1x1xlog21ax1x0， 即 log21ax1x1ax1x0. 1ax1x1ax1x1a2x21x21，則 1a2x21x2，a21，即 a 1. 當(dāng) a1時(shí)，f(x)1xlog21x1x， 則 f(x)的定義域?yàn)閤|x0 且 x1， 此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意； 當(dāng) a1 時(shí)，f(x)1xlog21x1x，定義域?yàn)閤|1x1 且 x0，滿足題意，a1. 考點(diǎn)三 函數(shù)的周期性、圖象的對(duì)稱

17、性及應(yīng)用 1.函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用 10 / 11 2函數(shù)圖象的對(duì)稱性的判斷與應(yīng)用 典例 3 (1)(2020 南昌模擬)已知函數(shù) f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，且滿足f(4x)f(x)，當(dāng) 0 x2時(shí)，f(x)2x2x，則 f(5)( ) a3 b3 c7 d7 (2)(多選)(2020 福建畢業(yè)班質(zhì)檢)已知 f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱以下關(guān)于 f(x)的結(jié)論正確的是( ) af(x)是周期函數(shù) bf(x)滿足 f(x)f(4x) cf(x)在(0,2)上單調(diào)遞減 df(x)cosx2是滿足條件的一個(gè)函數(shù) (1)d (2)abd (1)法一：(利用對(duì)稱

18、性)：由 f(4x)f(x)得函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x2對(duì)稱，則 f(5)f(1)，又函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，則 f(5)f(1)f(1)(2121)7，故選 d. 法二：(利用等式轉(zhuǎn)化)：由 f(4x)f(x)得 f(5)f4(1)f(1)f(1)(231)7.故選 d. (2)因?yàn)?f(x)為偶函數(shù)，所以 f(x)f(x)，又 f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以 f(x)f(2x)，故 f(x2)f(x)，故 f(x4)f(x2)f(x)，即 f(x)是11 / 11 以 4 為周期的周期函數(shù)，故 a正確f(x)f(x)f(x4)，以 x 代換x 可得f(x)f(4x)，故 b正確f(x)cosx2是定義在 r 上的偶函數(shù)，點(diǎn)(1,0)是 f(x)圖