高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題08 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性（同步練習(xí)）（文）（解析版）

1、1 / 9 專(zhuān)題專(zhuān)題 08 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性（同步練習(xí)）（同步練習(xí)） 一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性 例 1-1求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)|34|)(2+=xxxf；(2) 1(log)(22=xxf。 【解析】(1)作函數(shù)342+=xxy的圖像，由于絕對(duì)值， 把x軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù)|34|2+ xx的圖像， 則)(xf的單調(diào)增區(qū)間為21 ，和)3+， 單調(diào)減區(qū)間為 1(，和32 ，； (2)函數(shù)的定義域?yàn)?12x，即1x或1x，令1)(2= xxg， 則)(xg在) 1(，上是減函數(shù)，在)1 (+，上是增函數(shù)， 而

2、)(xgf為增函數(shù)， 則)(xf的單調(diào)增區(qū)間為)1 (+，單調(diào)減區(qū)間為) 1(，。 點(diǎn)評(píng)：(1)是利用函數(shù)圖像求單調(diào)區(qū)間，一般來(lái)說(shuō)，用定義不易判斷單調(diào)性，而圖像又較易作出時(shí)，可以用圖像法求單調(diào)區(qū)間； (2)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，將一個(gè)函數(shù)“拆分”成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則判斷。 例 1-2函數(shù))3(log)(221aaxxxf+=在)2+，上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是( )。 a、4(， b、44， c、44(， d、)4+， 【答案】c 【解析】設(shè)aaxxxgt3)(2+=，則ttf21log)(=，1210，)(tf單調(diào)遞減， )(xg在)2+，內(nèi)單調(diào)遞增，4a，且0)

3、2(g44a，故選 c。 例 1-3若函數(shù)|2|)(2+=xaxxf在)0+，上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。 a、04， b、34， c、)1+ ， d、)3+， 【答案】a 【解析】+=2222)(22xaaxxxaaxxxf，要使)(xf在)0+，上單調(diào)遞增，則：0222aa，解得04a， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是04，故選 a。 2 / 9 例 1-4已知函數(shù)+=) 1(log) 1(382)(2xxxaxxxfa在rx內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是( )。 a、)210( ， b、)320( ， c、8521 ， d、)32()320(， 【答案】c 【解析】分段函數(shù)要是單調(diào)減函數(shù)，

4、必須滿(mǎn)足每一個(gè)函數(shù)是減函數(shù)， 且左邊函數(shù)最小值大于等于緊挨著它的右邊函數(shù)最大值， 有12 a，10 a，1log382aa+8521 a，故選 c。 變式 1-4設(shè)0a，若數(shù)列na滿(mǎn)足=)7( ,)7( , 3)3(6nannaann且na是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。 a、)0(， b、2(， c、)32( ， d、)3+， 【答案】c 【解析】03 a，1a，6837)3(aa32 a，故選 c。 例 1-5若函數(shù)xaxxxf1)(2+=在)21(+，上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是( )。 a、01， b、)1+ ， c、3 , 0 d、)3+， 【答案】d 【解析】012)(2+

5、=xaxxf在)21(+，上恒成立，即xxa212在)21(+，上恒成立。 即max2)21(xxa在)21(+，上恒成立，設(shè)xxxh21)(2=，)(xh則在)21(+，上為減函數(shù)， 3)21()(max= hxh，3a，故選 d。 變式 1-5若函數(shù)xaxxxf1)(2+=在)21(+，上存在減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。 a、0(， b、)3(， c、)3 , 0( d、)3+， 【答案】b 【解析】212)(xxxxf+=，)(xf在)21(+，上存在減區(qū)間則0)( xf在)21(+，上有解， 即xxa212在)21(+，上有解，設(shè)xxxg21)(2=，)(xg則在)21(+，上

6、為減函數(shù)， 3)21()(max= gxg，3a，故選 b。 3 / 9 例 1-6函數(shù)+=0,)2(0, 1)(2xeaxxaxfax為r的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。 a、)0(+， b、)01， c、)02(， d、)2(， 【答案】b 【解析】+=0,)2(0,2)(xeaaxaxxfax， 若0=a，不符合題意， 若0a，0 x時(shí)，0)( xf，即函數(shù))(xf在)0+，上單調(diào)遞增，且112+ax， 要使)(xf在r上為單調(diào)函數(shù)，則0 x時(shí)，0)2(+aa， 0a，解得2a，并且12 +a，1a，不符合0a，這種情況不存在， 若0a，0 x時(shí)，0)( xf，即函數(shù))(xf在)

7、0+，上單調(diào)遞減，且112+ax， 要使)(xf在r上為單調(diào)函數(shù)，則0 x時(shí)，0)2(+aa，解得02a，并且12 +a， 1a，01a， 綜上得a的取值范圍為)01，故選 b。 總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的三個(gè)應(yīng)用 (1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖像：通過(guò)求導(dǎo)找出增減區(qū)間，結(jié)合排除法和特殊值法解題。 (2)利用導(dǎo)數(shù)解不等式：這類(lèi)題目很多時(shí)候要構(gòu)造特殊函數(shù)，通過(guò)觀(guān)察式子的特點(diǎn)，構(gòu)造特殊函數(shù)，然后求導(dǎo)找其增減區(qū)間，進(jìn)而對(duì)不等式求解。 (3)求參數(shù)的取值范圍：已知函數(shù))(xfy =在)(ba，的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍的方法： 利用集合間的包含關(guān)系處理：)(xfy =在)(ba，上單調(diào)，則區(qū)間)(ba，是相

8、應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集； 轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題求解：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則0)( xf；若函數(shù)單調(diào)遞減，則0)( xf”。 例 1-7 已 知 函 數(shù))(xf的 定 義 域 為r， 當(dāng)0 x時(shí) ，1)(xf， 且 對(duì) 任 意 的x、ry都 有)()()(yfxfyxf=+，則不等式) 1(log1)(log2121+xfxf的解集為( )。 a、)0(， b、 1(， c、)32( ， d、)4+， 【答案】d 【解析】令1=x，0=y，代入)()()(yfxfyxf=+中得：)0() 1 () 1 (fff=， 由01，可得1) 1 (f，可得1)0(=f，當(dāng)0 x時(shí)，0 x，得1)(xf，

9、令xy=，則0=+ yx，代入)()()(yfxfyxf=+中得，1)0()()(=fxfxf， 即有1)(1)(0=xfxf，設(shè)21xx ，則012 xx且1)(12 xxf，0)(1xf， 4 / 9 則 1)()()()()()()()()(1211112111212=+=xxfxfxfxfxxfxfxxxfxfxf， 由012 xx，可得1)(12 xxf，即01)(12 xxf，則有0)()(12xfxf， 即)()(21xfxf，可得)(xf在r上單調(diào)遞增， ) 1(log1)(log2121+xfxf即為1) 1(log)(log2121+xfxf， 由1)0(=f，)()()(

10、yxfyfxf+=，可得，)0() 1log2(21fxf+， 即為01log221+x，即有21log21x，解得4x，故選 d。 注意：(1)對(duì)于抽像函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意1x、2x在所給區(qū)間內(nèi)比較)()(21xfxf與0的大小，或)()(21xfxf與1的大小。有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝?121xxxx=或2211)(xxxx+=等。 (2)若已知函數(shù)在區(qū)間d上遞增，求參數(shù)的范圍，求解的關(guān)鍵是利用單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系。 二、函數(shù)的奇偶性二、函數(shù)的奇偶性 例 2-1若)(xf是奇函數(shù)，且在)0(+，內(nèi)是增函

11、數(shù)，又0)3(=f，則0)(xfx的解集是( )。 a、)30()3(， b、)3()3(+， c、)30()03(， d、)3()03(+， 【答案】c 【解析】)(xf為奇，)0(+，內(nèi)為增，0)3()3(=ff， 則0)(xfx時(shí)為x和)(xf異號(hào)，解集為)30()03(， ，故選 c。 例 2-2定義在r上的函數(shù))(xf在)2(，上是增函數(shù)，且函數(shù))2( +=xfy為偶函數(shù)，則( )。 a、)211()4() 1(fff b、)211() 1()4(fff c、) 1()4()211(fff d、)4() 1()211(fff 【答案】b 【解析】)2( +=xfy為偶函數(shù))(xf關(guān)于

12、直線(xiàn)2=x軸對(duì)稱(chēng)， )(xf在)2(，上是增函數(shù)，在)2(+，上是增函數(shù)， )5() 1(ff=，)5 . 5()211(ff=，5 . 554， 則)5 . 5()5()4(fff，即)211() 1()4(fff，故選 b。 5 / 9 例 2-3已知)(xf不是常數(shù)函數(shù)，對(duì)于rx有)8()8(xfxf=+且)4()4(xfxf=+，則)(xf滿(mǎn)足( )。 a、是奇函數(shù)不是偶函數(shù) b、是奇函數(shù)也是偶函數(shù) c、是偶函數(shù)不是奇函數(shù) d、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 【答案】c 【解析】)8()8(xfxf=+，則關(guān)于8=x對(duì)稱(chēng)，)4()4(xfxf=+，則關(guān)于4=x對(duì)稱(chēng)， 則關(guān)于0=x對(duì)稱(chēng)，是偶函

13、數(shù)，又)(xf不是常數(shù)函數(shù)，則不能等于0，不是奇函數(shù)，故選c。 例 2-4已知偶函數(shù))(xf和奇函數(shù))(xg的定義域都是)44(，且在04(，上的圖像如圖所示，則關(guān)于x的不等式0)()(xgxf的解集是 。 【答案】)20()24(， 【解析】)()(xgxf為奇，則當(dāng)04(，x時(shí)，0)()(xgxf的解集為)(xf與)(xg異號(hào)，即24x， 當(dāng))4 , 0(x時(shí)，0)()(xgxf的解集為)(xf與)(xg同號(hào)，即20 x， 解集為)20()24(，?；蚩梢匝a(bǔ)全圖像。 例 2-5已知函數(shù)412)(324+=xxxxf，( 10()01， x)的最大值為a，最小值為b，則=+ba( )。 a、

14、2 b、4 c、8 d、12 【答案】c 【解析】設(shè)32412)(xxxxg+=，由于 10()01， x，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 又)()(xgxg=，)(xg為奇函數(shù)，設(shè))(xg的最大值為m，最小值為n， 即有0=+ nm，則)(xf的最大值為4+=ma，最小值為4+= nb， 即有8808)(=+=+=+nmba，故選 c。 三、函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性三、函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性 例 3-1定義在r上的偶函數(shù))(xf滿(mǎn)足)2()(+=xfxf，當(dāng)4 , 3x時(shí)xxf2)(=，則下列不等式中正確的是( )。 a、)21(cos)21(sinff b、)3(cos)3(sinff 6 / 9 c、

15、) 1(cos) 1(sinff d、)23(sin)23(cosff 【答案】c 【解析】4 , 3x時(shí)，xxf2)(=，故偶函數(shù))(xf在4 , 3上是增函數(shù)，2=t， 偶函數(shù))(xf在)01(，上是增函數(shù)，)(xf在) 10( ，上是減函數(shù)， 對(duì)于 a，21cos21sin，)21(cos)21(sinff， 對(duì)于 b，3cos3sin，)3(cos)3(sinff， 對(duì)于 c，1cos1sin ，) 1(cos) 1(sinff， 對(duì)于 d，23sin23cos，)23(sin)23(cosff，故選 c。 例 3-2函數(shù))(xf滿(mǎn)足5)2()(=+xfxf，若3)3(=f，則=)20

16、21(f( )。 a、32021 b、53 c、35 d、52021 【答案】c 【解析】5)2()(=+xfxf，)(5)2(xfxf=+，周期4=t，35) 3(5) 1 ()2021(=fff，故選c。 例 3-3設(shè))(xf是定義在r上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間 11，上+=1012011)(xxbxxaxxf，(rba、)，若)23()21(ff=，則=+ ba3( )。 a、10 b、2 c、2 d、10 【答案】a 【解析】aff211)21()23(=，34)21(+=bf，又)23()21(ff=，34211+=ba， 又) 1 () 1(ff=，02=+ba，由解得2=a，4=

17、b；103=+ ba，故選 a。 例 3-4已知函數(shù))(xf是定義域?yàn)閞的偶函數(shù)，且)()2(xfxf=+，若)(xf在01，上是減函數(shù)，記)2(log5 . 0fa =， )4(log2fb =，)2(5 . 0fc =，則( )。 a、cba b、bca c、acb d、cab 【答案】b 【解析】2=t，)(xf為偶函數(shù)，)(xf在01，上是減函數(shù)，)(xf在 10 ，上單調(diào)遞增， 又) 1 () 1()2(log5 . 0fffa=，)0()2()4(log2fffb=， 7 / 9 )22()2()2()2(5 . 0=ffffc，1220，bca，故選 b。 例 3-4已知函數(shù)2)

18、()(xxfxg+=是奇函數(shù)，當(dāng)0 x時(shí)，函數(shù))(xf的圖象與函數(shù)xy2log=的圖象關(guān)于xy =對(duì)稱(chēng)，則=+)2() 1(gg( )。 a、13 b、11 c、9 d、7 【答案】b 【解析】0 x時(shí)，)(xf的圖像與函數(shù)xy2log=的圖像關(guān)于xy =對(duì)稱(chēng)， 0 x時(shí)，xxf2)(=，0 x時(shí)，22)(xxgx+=， 又)(xg是奇函數(shù)，11)4412()2() 1 ()2() 1(=+=+=+gggg，故選 b。 例 3-5函數(shù)121)(2=xexf的圖像的對(duì)稱(chēng)中心為( )。 a、)00( ， b、)210( ， c、) 10( ， d、)20( ， 【答案】d 【解析】解法一：依題意知012xe，即0 x，函數(shù)圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形， 對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)